kinematyka_bryly.pdf

(849 KB) Pobierz
3081840 UNPDF
5.3.1. Zmiana układów odniesienia
Z każdą bryłą sztywną możemy związać układ współrzędnych opisujący ruch
tej bryły w przestrzeni. Dlatego w dalszym ciągu w kinematyce bryły będziemy
się zajmować głównie
wzajemnym ruchem układów
współrzędnych. Znając ruch
układu współrzędnych
′ ′ ′
z′
z
y′
k ′
j ′
, , (rys. 5.8) sztywno
związanego z bryłą (układu
ruchomego) względem
nieruchomego układu
odniesienia x, y, z, będziemy
mogli obliczyć prędkość
i przyśpieszenie wszystkich
punktów bryły. W dalszej ko-
lejności wyprowadzimy
zależności geometryczne
pomiędzy tymi układami
współrzędnych.
O′
r ′
r O′
i ′
M
k
r ′
O
j
y
i
x′
x
Rys. 5.8. Wyznaczenie zależności pomiędzy układami
współrzędnych
W tym celu ustalmy zależności pomiędzy współrzędnymi w obu układach tego
samego punktu M.
W pierwszej kolejności rozpatrzmy zależności pomiędzy wersorami obu
układów współrzędnych. Wersory ′ ′ ′
ijk
, , ruchomego układu współrzędnych
xyz
′ ′ ′
, ,
zapiszemy
w
układzie
nieruchomym
x,
y,
z:
i
′
=
( ) ( ) ( ) k
i
′
i
i
+
i
′
j
j
+
i
′
k
. (a)
Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów są rzutami wersora
odpowiednio na osie x, y, z, są one również kosinusami kierunkowymi między osią
a osiami x, y, z, które oznaczymy
i
′
x
′
p
′ ′
, , ′
p
xy
p
xz
:
i
′
i
=
cos
( )
( )
( )
x
′
,
x
=
p
x
x
,
⎬
i
′
j
=
cos
x
′
,
y
=
p
x
′
y
,
)
⎭
i
′
k
=
cos
x
′
,
z
=
p
x
z
.
xyz
xx
′
⎫
′
3081840.001.png
Podstawiwszy powyższe oznaczenia do wzoru (a) oraz postąpiwszy podobnie
z wersorami ′ ′
i
′
=
p
x
′
x
i
+
p
x
y
j
+
p
x
′
z
k
,
⎬
j
′
=
p
y
′
x
i
+
p
y
′
y
j
+
p
y
′
z
k
,
.)
⎭
k
′
=
p
z
x
i
+
p
z
′
y
j
+
p
z
′
z
k
.
Widzimy, że do zapisania wersorów ruchomego układu współrzędnych w
układzie nieruchomym należy znać dziewięć kosinusów kierunkowych
zestawionych w poniższej tabeli.
x
y
z
i
j
k
x′ i ′ p x′x
p x′y
p x′z
y′ j ′ p y′x
p y′y
p y′z
z′ k ′ p z′x
p z′y
p z′z
Między tymi dziewięcioma kosinusami kierunkowymi istnieje sześć zależności.
Otrzymamy je ze wzorów na iloczyny skalarne wersorów (2.16).
i
′
i
′
=
p
2
+
p
2
+
p
2
=
1
⎫
x
′
x
x
′
y
x
′
z
⎪
j
′
j
′
=
p
2
+
p
2
+
p
2
=
1
⎪
y
′
x
y
y
y
z
k
′
k
′
=
p
2
+
p
2
+
p
=
1
⎪
z
′
x
z
′
y
z
′
z
⎬
(5.24)
i
′
j
′
=
p
p
+
p
p
+
p
p
=
0
x
′
x
y
′
x
x
′
y
y
′
y
x
′
z
y
′
z
⎪
⎪
j
′
k
′
=
p
y
′
x
p
z
′
x
+
p
y
′
y
p
z
′
y
+
p
y
′
z
p
z
z
=
0
⎪
k
′
i
′
=
p
p
+
p
p
+
p
p
=
0
.
⎪
z
′
x
x
′
x
z
′
y
x
′
y
z
′
z
x
z
⎭
Dla wyznaczenia położenia układu współrzędnych ′ ′ ′
xyz
, , wędem układu x,
y, z wystarczy podać 6 wielkości:
a) trzy współrzędne wektora (
r
O
′ ′ ′ ′
xyz
OOO
,
,
)
,
b) trzy niezależne kosinusy kierunkowe.
Obecnie wyznaczymy współrzędne wektora wodzącego r punktu M w układzie
x, y, z. Z rysunku 5.8 widzimy, że wektor wodzący r tego punktu możemy zapisać
jako sumę dwóch wektorów:
rr r
= + ′
O
′
. .)
jk
i otrzymamy wzory:
′
⎫
′
′
′
′
′
3081840.002.png
Wektor jest wektorem łączącym początki obu układów współrzędnych.
Zapiszemy go analitycznie w układzie współrzędnych x, y, z:
r ′
O
r
O
′
= + +
x
O
′
i
y
O
′
j
z
O
′ k
. (5.26)
Wektor jest wektorem wodzącym punktu M w układzie
r
′
xyz
, , . M żna go
wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:
r
′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′
x y z k . . )
i
j
Po podstawieniu wzorów (5.26) i (5.27) do równania (5.25) otrzymamy:
=+′ = + + + ′′+ ′′+ ′′
′
x
O
′
i j k i j k
y
O
′
z
O
′
x
y
z
. (5.28)
Po zrzutowaniu powyższego wektora na osie układu współrzędnych x, y, z oraz
wykorzystaniu zależności (b) otrzymamy jego współrzędne w tym układzie
współrzędnych:
x
=
r
⋅
i
=
x
O
′
+
x
′
p
x
′
x
+
y
′
p
y
x
+
z
′
p
z
x
,
⎬
y
=
r
⋅
j
=
y
O
′
+
x
′
p
x
′
y
+
y
′
p
y
y
+
z
′
p
z
y
,
(5.29)
⎭
z
=
r
⋅
k
=
z
O
′
+
x
p
x
′
z
+
y
′
p
y
z
+
z
′
p
z
z
.
, ,
Analogicznie można zapisać dowolny wektor c dany w jednym układzie
współrzędnych w drugim.
′ ′ ′
rr r
O
′
′
⎫
′
′
′
′
′
W podobny sposób można wyrazić współrzędne wektora r w układzie
.
xyz
′ ′ ′
5.3.2. Prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu
ogólnym
Dla rozpatrzenia kinematyki bryły przyjmiemy, tak jak w poprzednim punkcie,
dwa układy współrzędnych prostokątnych: jeden nieruchomy o osiach x, y, z i
początku w punkcie O, a drugi o osiach ′ ′ ′
xyz
O
Wektor wodzący dowolnego punktu M bryły w nieruchomym układzie
współrzędnych x, y, z jest zgodnie ze wzorem (5.25) sumą dwóch wektorów
,których znaczenie omówiono w p. 5.3.1:
′
rr
′
′
rr r
= + ′
O
′
.
Wiadomo z kinematyki punktu, że prędkość punktu jest pochodną wektora
wodzącego r względem czasu t (wzór 5.4). Zatem szukaną prędkość punktu M
wyraża zależność:
v
= +
d
O
dt
r
′
d
dt
′
. . )
Pochodna wektora r względem czasu jest prędkością punktu
′
O
O:
v
= = + +
d
r
′
dx
dt
O
′
i
dy
dt
O
′
j
dz
dt
O
′
k
. (a)
O
′
dt
Po zróżniczkowaniu względem czasu wzoru (5.27) otrzymamy:
d
dt
′ =
dx
dt
′ ′+
i
dy
dt
′ ′+
j
dz
dt
′
k
′+ ′
x
d
dt
i
′ + ′
y
d
dt
j
′ + ′
z
d
dt
k
′
. (b)
Ponieważ wektor jest wektorem łączącym dwa punkty bryły sztywnej, więc
jego moduł jest stały,
r
′
′ r const , a co za tym idzie, jego współrzędne ą
wielkościami stałymi niezależnymi od czasu. Zatem ich pochodne względem czasu
są równe zeru.
xyz
dx
dt
′ =
dy
dt
′ =
dz
dt
′ = 0.
Wzór (b) przyjmuje więc postać:
d
dt
′ = ′
x
d
dt
i
′ + ′
y
d
dt
j
′ + ′
z
d
dt
k
′
. (c)
, , i początku w dowolnym punkcie
(biegunie) , poruszający się razem z bryłą (rys. 5.8).
O i
r
O
r
′ ′
, , ′
r
3081840.003.png
,,′ układu
ruchomego są miarą zmiany ich kierunków w czasie, ponieważ ich moduły są stałe.
Można wykazać [9], że pochodne te można wyrazić za pomocą wzorów:
ijk
d
i
′
=
ω
×
i
′
,
d
j
′
=
ω
×
j
′
,
d
k
′
=
ω
×
k
′
. (5.31)
d
t
d
t
d
t
Wektor ω jest prędkością kątową charakteryzującą zmiany kierunków osi
w czasie. W ruchomym układzie współrzędnych prędkość kątową ω można
wyrazić za pomocą współrzędnych:
x ′
′ ,
y
′
z
ω ω ω ω
=
x
′
i
′+ ′+ ′
y
′
j
z
′
k . )
Po podstawieniu zależności (5.31) do wzoru (c) otrzymamy:
d
r
′
=
x
′
( ) ( ) ( ) (
×
i
′
+
y
′
ω
×
j
′
+
z
′
ω
×
k
′
=
ω
×
x
′
i
′
+
y
′
j
′
+
z
′
k
′
) .
d
t
Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie z zależnością (5.27), jest wektorem
. Zatem
′
d
r
′
=
ω
×
r
′
. )
d
t
Po podstawieniu do wzoru (5.30) wzorów (a) i (e) otrzymujemy ostatecznie wzór
na prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu ogólnym.
v
=
v
O
′
+
ω
×
r
′
. .)
O, przyjętego za
początek ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego
v ′
O
dowolnie obranego bieguna
ω ′
×
r
prędkości kątowej ω i promienia wodzącego
r punktu M w ruchomym układzie
′
współrzędnych.
Na podstawie wzoru (5.32) możemy ponadto sformułować następujące wnioski:
a) Prędkość punktu zależy od wyboru tego punktu.
O
b) Prędkość kątowa ω nie zależy od wyboru punktu ′
′
O , lecz jedynie od zmiany
, , ′
c) Mimo zmiany punktu O prędkość punktu M nie ulegnie zmianie, ponieważ
zmieni się również odpowiednio wyrażenie
xyz
′ ′
w czasie.
ω ′
× .
r
Występujące w tym wzorze pochodne względem czasu wersorów ′ ′
,
ω
r
Z otrzymanego wzoru wynika, że prędkość dowolnego punktu M bryły jest
równa sumie prędkości
kierunków osi
3081840.004.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin