Co może się przydać do rozwiązywania zadań.doc

Co może się przydać do rozwiązywania zadań.

ŚREDNIA J

Przykład:

Średnia arytmetyczna

W pokoju znajduje się 10 osób, dwie z nich mają 11 lat, trzy z nich 21, jedna ma 40 lat, dwie 32 lata, jedna ma 16 lat i ostatnia ma 69 ;D . Oblicz jaki jest średni wiek osób znajdujących się w pokoju .

11∙2+3∙21+40+2∙32+16+69

______________________________________= 27 lat   to jest szereg prosty

                   10

Jeżeli mamy do czynienia z szeregiem rozdzielnym jednostopniowy który kształtuje się tak:

Mając podaną liczbę dziadków w rodzinach danych osób, oblicz jaka jest średnia dziadków w rodzinach.

Xi –ilość osób posiadających daną liczbę dziadków ni – liczba dziadków.

Obliczamy Xi ∙ni a następnie wykonujemy działanie

           0 + 2 + 10 + 6 + 8              26

________________________________ =______= 1,3

                   20                            20

N              |20              | 26

Średnia arytmetyczna ważona

Jasio dostał dwie dwójki wagi 1, trzy trójki wagi 5, dwie piątki wagi 2, oblicz jaka jest średnia ocen Jasia J

Średnią ważoną oblicza się metodą:

              ___              ∑ ocena ∙ waga              2+2+15+15+15+10+10             

                X     =-----------------------  =  ----------------------------------- =

                                   ∑ waga                                          21

                            69

                   = -------------  =  3,28

                            21

N            |  21       |  69

Szereg rozdzielczy wielostopniowy

Stosujemy go wtedy kiedy mamy do czynienia z takim zadaniem :

Mamy 50 osób. 6 z nich jest w wieku między 16 a 18 lat, 4 z nich między 18 a 20 lat, 20 z nich między 20 a 22, 10 z nich między 22 – 24 , 2 z nich między 24-26, 8 z nich między 26-28.

Xi – przedziały wiekowe

Ni – ilość osób w danym przedziale

No i zaczynamy sobie liczyć tak:

Obliczamy średnią arytmetyczną  ( x’i) z najwyższej i najniższej wartości szeregu. Czyli np. (16+18)÷2=17

Później sumujemy wszystkie ni (wariant i , gdzie i należy do liczb naturalnych) by wyszło nam N(liczba wariantów). W tym przypadku N=50

Obliczamy średnią szeregu rozdzielczego wielostopniowego:

              ___              ∑ x’i ∙ ni                            17∙6+19∙4+…+27∙8                            1094

                X     =-----------------------  =  ----------------------------------- = ------------- = 21,88

                                   ∑ni                                                        50                                            50

By obliczyć średnią arytmetyczną w przedziale rozdzielnym warunkiem muszą być równe przedziały klasowe. Czyli tak jak w przykładzie powyżej w przedziałach znajduje się ta sama liczba elementów.

Jak obliczyć odchylenia.

W szeregu prostym   -   pierwiastek kwadratowy z ( xi – średnia)2÷N

W szeregu rozdzielczym jednostopniowym    -  pierwiastek kwadratowy z (xi- średnia) 2∙ni ÷N

W szeregu rozdzielczym wielostopniowym    - Pierwiastek kwadratowy z   (x’i – średnia) 2∙ni ÷N

KWARTYLE

Kiedy w zadaniu trafisz na coś takiego jak kwartyl  np.

Następujące dane są liczbami pasażerów korzystających z rejsów  jakiś tam w określonym czasie i masz teraz  ciąg liczb….. i pisze że znajdz dolny środkowy i górny kwartyl dla tego zbioru danych. I jaki jest odstęp między kwartylowy .

No to bierzesz i patrzysz co znajduje się w pierwszym (dolnym ) kwartylu – mamy np. szereg składający się z 40 liczb. 1 kwartyl to jest kwartyl dolny (25%) czyli dzielimy 40/  25% ( ¼) = 10 i sprawdzamy jaka wartość jest na 10 pozycji, kolejny to jest kwartyl średni ( 50%) i patrzymy co jest na 20 pozycji, następny to górny (75%)  metoda sprawdzania ta sama( jeżeli pozycja kwartyla wyjdzie Ci np. 10,5 to bierzesz średnią z pozycji 10 i 11 ).

Odstęp między kwartylowy to coś takiego, że bierzesz wartość trzeciego kwartyla i odejmujesz wartość pierwszego kwartyla i wychodzi Ci odstęp. J

Dominanta – jest to wartość zbioru która występuje najczęściej.

Mediana – wartość która występuje na środku zbioru.

Rozstępem w zbiorze wyników nazywamy różnicę między największą i najmniejszą zaobserwowaną wartością.

Wariacją  w zbiorze wyników obserwacji nazywamy przeciętne kwadratowe odchylenie poszczególnych wyników od ich średniej, czyli na chłopski rozum  robisz to za pomocą wzoru :

n

∑  (xi – średnia ) 2

i=1

­­­­­­­­­­­­­________________ = wariacja  w próbie  ( s2) w populacji masz tak samo  J

n – 1

Odchyleniem standardowym nazywamy dodatni pierwiastek kwadratowy wariacji

S=√s2 

Średnia geometryczna prosta  jest n-tym pierwiastkiem z iloczynu wszystkich wartości z szeregu czyli

_          ­­­­­­­­­­­­­­­­­____________

X  g= n√x1∙ x2∙ x3∙ …∙ xn∙

Zaś jeśli jest ważona to wtedy stosujemy taki wzór

_          ­­­­­­­­­­­­­­­­­____________

X  g= n√x1n1∙ x2n2∙ x3n3∙ …∙ xnnn

Jeśli napiszą Ci że średnią chronologiczną masz policzyć to jedziesz ze wzoru

_          ­­­­­­­­­­­­­½ x1+ x2+ x3+…+ ½ xn                                                        Gdzie:

X  ch=---------------------------------                                                                      x1, x2,… - stan na dany moment

                              N-1                                                                                    N – liczba obserwacji w szeregu

Obszar zmienności – czyli rozstęp to nic innego jak    xmax – xmin

Współczynnik zmienności to stosunek odchylenia standardowego (lub przeciętnego) do średniej arytmetycznej podawany w %  jeżeli jest  Vx≤35% =mała dyspersja

35%<Vx≤60% - dyspersja umiarkowana

60%<Vx≤75% = dyspersja duża

75%<Vx≤100% = dyspersja bardzo duża.