Średnie ruchome

Rozdział 4

Średnie ruchome

              Średnie ruchome zwane są wygładzarkami danych liczbowych, ponieważ gładzenie jest dokładnie tym, co one wyczyniają z kształtami fal. Usuwają one krótkoterminowe zakrętasy w pierwotnych danych liczbowych. Pracując z cyklami wykorzystujemy zalety chirurgicznej precyzji średnich ruchomych, a nie ich możliwość ogólnego gładzenia danych. Krótkoterminowe zakrętasy tworzone są przez składniki o wyższej częstotliwości w fali złożonej. Są one usuwane, ponieważ średnie ruchome działają jak dolnoprzepustowe filtry.  Dolnoprzepustowy filtr przepuszcza składniki o niskiej częstotliwości nie osłabiając ich, natomiast blokuje przejście składników o wyższej częstotliwości. Nasza analiza opisuje jak utworzyć i wykorzystywać w transakcjach filtry dolnoprzepustowe.

              Zasadniczo istnieją dwa rodzaje filtrów dolnoprzepustowych, tj. filtry Finite Impulse Response (FIR) (Skończone Oddziaływanie Impulsowu) i filtry Infinite Impulse Response (IIR) (Nieskończone Oddziaływanie Impulsu). Prosta średnia ruchoma (SMA) (Simple Moving Average) należy do rodziny filtrów FIR. Filtry FIR dlatego tak są nazwane, ponieważ gdy sygnałem wejściowym będzie krótki szpic, to w wyniku działania tego filtra, sygnał wyjściowy pojawi się tylko dla ustawionej przepustowości okienka filtra FIR. Tak więc, odpowiedź filtra na impuls jest skończona w czasie. Filtr IIR wykorzystuje obliczenia rekursywne do uzyskania sygnału wyjściowego. To jest, aktualny sygnał wyjściowy jest rezultatem nie tylko aktualnego sygnału wejściowego, ale także rezultatem poprzednio obliczonych sygnałów wyjściowych. Ponieważ obliczenia są rekursywne, każdy sygnał wejściowy jest teoretycznie na zawsze obecny w sygnale wyjściowym. Wykładnicza średnia ruchoma (EMA) (Exponential Moving Average) należy do rodziny filtrów IIR.

              Opóźnienie charakterystyczne dla filtrów jest prawdopodobnie największym zmartwieniem graczy. Jest to znacznie ważniejsze przy przeprowadzaniu transakcji, niż sama możliwość osiągnięcia gładzenia. Łatwo sprawdzić, że opóźnienie SMA jest w przybliżeniu równe połowie przepustowości filtra. Ponieważ sygnał wyjściowy reprezentuje wartość bliską horyzontalnego środka filtra, który ma szerokość N słupków, opóźnienie SMA wynosi dokładnie (N-1)/2. Inżynierowie nazywają opóźnienie filtra opóźnieniem grupowym. Rozgraniczają oni opóźnienie grupowe od opóźnienia fazowego. Aby najlepiej zobaczyć różnice pomiędzy tymi różnymi opóźnieniami, musimy rozważyć prędkość fal. Wyobraźmy sobie obraz fal oceanicznych zmierzających w stroną lądu, na plażę. Grupowa prędkość to szybkość, z jaką fale przemieszczają się w kierunku prostopadłym do ruchu fal. Jeśli fale uderzą w plażę pod jakimś ukośnym kątem, to prędkość fazowa jest szybkością, z jaką szczyt fali przemieszcza się w dół do plaży. Przykładem filtra, funkcjonującego w rzeczywistym świecie, jest osłona anteny radiolokatora w samolocie. Osłona anteny radiolokatora jest przeźroczysta dla częstotliwości radaru, ale jest nieprzeźroczysta dla innych częstotliwości radiowych. Tak więc, osłona anteny radiolokatora jest rodzajem filtra. Grupowa prędkość nie może nigdy przekroczyć prędkości światła, ponieważ jest to prędkość przenoszenia energii. Z drugiej strony, prędkość fazowa może być bardzo duża.

Filtry FIR

Wracając do tradycyjnych rodzajów filtrów, rozważmy 2-słupkową SMA. Jasne jest, że grupowe przesunięcie odpowiada środkowi filtra lub 0.5-słupkowemu przesunięciu. Przesunięcie fazowe zmienia się liniowo wraz z częstotliwością. Przesunięcie fazowe wynosi zero dla częstotliwości równej zeru i wzrasta do wartości pi dla kątowej próby częstotliwości. Częstotliwość kątowa jest 2pi razy większa od rzeczywistej częstotliwości, ponieważ pełny cykl ma 2pi radianów. Dana rynkowa jest daną próbkowaną, a teoria próby losowej stwierdza, że musimy mieć co najmniej  dwie próbki na cykl. Najwyższa z możliwych częstotliwości nazywana jest częstotliwością Nyquista. Na przykład, częstotliwość Nyquista wynosi 0.5-cykla na słupek. Ponieważ zazwyczaj myślimy w kategoriach okresów cykli, a nie jego odwrotności, to okres Nyquista wynosi 2 słupki na cykl. Rezultaty systemów prób losowych danych, często przedstawiane są w postaci normalizowanej do częstotliwości Nuquista. Na przykład, amplituda i faza danych wyjściowych 2-słupkowej SMA pokazane są na Rys. 4.1. Amplituda filtra wyjściowego jest wykreślona w decybelach (20*log(amplituda fali)).

Rysunek 4.1 Amplituda i faza odpowiadająca 2-słupkowej SMA.

              Rys. 4.1 pokazuje, że 2-słupkowy cykl jest prawie wyeliminowany, ponieważ dwie próby na cykl średnio dają zero. Wykres fazy pokazuje fazę jako funkcję częstotliwości. Okres cyklu jest obliczany jako dwa podzielone przez normalizowaną częstotliwość. Dlatego normalizowana częstotliwość dla 5-słupkowego cyklu wynosi 0.25. Tak więc, 5-słupkowy cykl doznaje 25-stopniowego opóźnienia fazowego w 2-słupkowej SMA. Podobnie, 3-słupkowy cykl (normalizowana częstotliwość=0.667) ma 60-stopniowe opóźnienie fazowe.

Definicja opóźnienia grupowego to rozpiętość zmian fazy w stosunku do częstotliwości kątowej. Rozpiętość zmian fazy 2-słupkowej SMA jest stała dla wszystkich częstotliwości. Rozpiętość można obliczyć jako fazę, przy częstotliwości Nyquista (1/2*pi), podzieloną przez kątową częstotliwość Nyquista=2*π*0.5. Przeprowadzając dzielenie zobaczymy, że grupowe przesunięcie wynosi 0.5 słupka – dokładne opóźnienie wyciągniemy z opóźnienia (N-1)/2 obliczonego z szerokości rozważanego filtra. To obliczenie opóźnienia jest bardziej powszechną definicją opóźnienia, ponieważ ma zastosowanie również do filtrów IIR.

              Rys. 4.2 pokazuje, że 2-słupkowy cykl i 4-słupkowy cykl są prawie wyeliminowane w 4-słupkowej SMA. Faza odpowiadająca filtrowi narysowana jest z 90-stopniową przerwą przy amplitudzie o zerowej wartości, ale rozpiętość zmian fazy jest liniowa, za wyjątkiem częstotliwości o dokładnie zerowej wartości. Całkowite przesunięcie fazowe wynosi (3*pi)/2 dla częstotliwości kątowej Nyquista wynoszącej pi, w rezultacie czego opóźnienia 1.5 słupka są obliczane jako rozpiętość zmian fazy. Opóźnienie jest stałe dla wszystkich częstotliwości.

Rysunek 4.2 Amplituda i faza odpowiadająca 4-słupkowej SMA.

              Podwajając ponownie szerokość SMA, zobaczymy opisaną na Rys. 4.3 8-słupkową SMA. Wszystkie 2-, 8/3-, 4- i 8-słupkowe cykle usuwane są przez filtr, ponieważ każdy odpowiada wielokrotności liczby całkowitej szerokości filtra. Całkowita liczba okresów cyklu powoduje, że filtr uśrednia te cykle do zera. Całkowite przesunięcie fazowe przy częstotliwości Nyquista wynoszącej (7*pi)/2 daje rezultat opóźnienia, chociaż filtr wynosi 3.5 słupków.

35