Stany nieustalone.doc

1. Wstęp:

Celem ćwiczenia jest obserwacja czasowych przebiegów przejściowych przy załączaniu i wyłączaniu napięcia stałego w obwodach RL, RC, RLC, przy różnych wartościach rezystancji.

Każdy obwód elektryczny, a więc także w stanie nieustalonym, opisany jest układem równań różniczkowych. Dla obwodu typu LSS (liniowy, skupiony, stacjonarny) jest to układ równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach. Jak wiadomo, by uzyskać jednoznaczne rozwiązanie takiego układu równań należy ustalić dla niego warunki początkowe (t=0-).

Prawdziwe są następujące zależności:

              - dla indukcyjności:

              - dla pojemności:

Powyższe warunki wynikają z ciągłości zmian energii zgromadzonej w elementach reaktancyjnych.

Podane wyżej warunki określają tzw. prawa komutacji dla układów fizykalnych i pozwalają na stosunkowo proste określenie warunków początkowych dla układu.

Dodatkowo zakładamy (dla wszystkich układów analizowanych w tym ćwiczeniu), iż przed każdym przełączeniem przełącznika panował w układzie stan ustalony (jest to założenie prawdziwe, gdyż odpowiednio dobrano stałe czasowe układu) oraz zakładamy nieskończenie krótki i praktycznie bezłukowy przebieg komutacji.

              Naszym zadaniem jest porównanie charakterystyk uzyskanych na podstawie pomiarów, z przewidywanymi – wykreślonymi teoretycznie na podstawie znajomości wartości elementów oraz schematów obwodów.

2. Obserwacja przebiegu napięcia na rezystancji R1 przy odłączaniu i załączaniu napięcia stałego w obwodzie RL:

a)  schemat obwodu:

b) obliczenia analityczne:

Z prawa komutacji wiemy, że: .

Po przełączeniu przełącznika w pozycję 2 odłączamy źródło zasilania, a więc składowa ustalona będzie równa 0.

Składową przejściową prądu obliczamy z równania różniczkowego:

Ostatecznie:

gdzie jest stałą czasową i wynosi .

Aby obliczyć stałą A, przyjmiemy: i skorzystamy z prawa komutacji:

A więc spadek napięcia na rezystancji R1 wynosi:

3. Obserwacja przebiegu napięcia na kondensatorze C przy odłączaniu i załączaniu napięcia stałego w obwodzie RC:

a)  schemat obwodu:

b) obliczenia analityczne:

Z prawa komutacji wiemy, że: .

Po przełączeniu przełącznika w pozycję 2 odłączamy źródło zasilania, a więc składowa ustalona będzie równa 0.

Składową przejściową napięcia obliczamy z równania różniczkowego:

Ostatecznie:

gdzie jest stałą czasową i wynosi .

Aby obliczyć stałą A, przyjmiemy: i skorzystamy z prawa komutacji:

4. Obserwacja przebiegu napięcia na kondensatorze C przy odłączaniu i załączaniu napięcia stałego w obwodzie RLC:

a)  schemat obwodu:

b) obliczenia analityczne:

Z prawa komutacji wiemy, że: .

Po przełączeniu przełącznika w pozycję 2 odłączamy źródło zasilania, a więc składowa ustalona będzie równa 0.

Ze względu na złożoność obliczeń metodą klasyczną ze względu na występowanie w obwodzie kondensatora i cewki, zalecono obliczenia wykonać metodą operatorową.

Ze względu na niezerowe warunki początkowe, należy wstawić dodatkowe źródło związane z napięciem na kondensatorze, w chwili przed przełączeniem. Źródło to należy wstawić przeciwnie skierowane do płynącego prądu przez kondensator. Ostateczny schemat obwodu będzie wyglądał następująco:

Ogólny wzór na będzie wyglądał następująco:

Z powyższej zależności doskonale widać, że w mianowniku otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

Musimy dokonać dwu obliczeń. Będą one uzależnione od zmieniającej się wartości rezystancji R. Wówczas można rozróżnić trzy przypadki:

·         gdy , czyli . Mamy wówczas przypadek wyładowania oscylacyjnego tłumionego i dwa pierwiastki zespolone w równaniu kwadratowym.

·         gdy , czyli . Mamy wówczas przypadek wyładowania aperiodycznego krytycznego i jeden pierwiastek rzeczywisty w równaniu kwadratowym.

·         gdy , czyli . Mamy wówczas przypadek wyładowania aperiodycznego i dwa pierwiastki rzeczywiste w równaniu kwadratowym.

Jak widać, zmiana rezystancji będzie pociągała za sobą zmianę rozpatrywanego przypadku.

Wartości elementów reaktancyjnych są stałe, a wyrażenie:

Zatem, dla R=10Ω, zachodzi przypadek wyładowania oscylacyjnego tłumionego.

W związku z tym, że operacje na liczbach zespolonych są uciążliwe, a wykonanie wykresu dość kłopotliwe, wprowadźmy kilka uproszczeń, przechodząc w konsekwencji do funkcji trygonometrycznych.

Oznaczmy bieguny zespolone sprzężone poprzez: to :

Postać czasowa napięcia na kondensatorze, przyjmie postać:

Dla R=300Ω, mamy przypadek wyładowania aperiodycznego.

Podobnie w tym przypadku, posłużymy się odpowiednimi przekształceniami, choć dla takiej wartości rezystancji, pierwiastki równania kwadratowego są liczbami rzeczywistymi i nie ma kłopotu z operacjami na liczbach zespolonych.

Jeśli oznaczymy bieguny zespolone sprzężone poprzez: to :

Postać czasowa napięcia na kondensatorze, przyjmie postać:

c) obliczenie rezystancji krytycznej:

5. Wnioski:

Celem ćwiczenia było porównanie wykresów wydrukowanych na ćwiczeniach (za pomocą karty oscyloskopowej podłączonej do komputera) i wykresów stworzonych w oparciu o analityczne obliczenia. Z porównania tych wykresów zauważyć można, że są one prawie identyczne (różnica tkwi jedynie w lekkiej rozbieżności wartości, co może być związane z niedokładnością pomiarów i błędami odczytu).

Wszystkie wykresy zostały narysowane w arkuszu kalkulacyjnym:

MICROSOFTâ EXCEL 2000.

Wykaz użytych przyrządów pomiarowych:

- komputer PC

- karta oscyloskopowa

- przełącznik synchroniczny

- układy do badania stanów nieustalonych RL, RC, RLC.

ZAŁĄCZNIKI:

- wykresy ćwiczeniowe,

- wykresy w oparciu o obliczenia analityczne.