Chaos wyborczy.pdf

mate matyka

Wszyscy mamy w pamięci hałas wokìł

wyborìw do Parlamentu Europejskiego

(13 czerwca 2004 r.), spory związane z obję-

ciem stanowiska Prezesa Rady Ministrìw

przez Marka Belkę, a o wyborach parlamen-

tarnych i prezydenckich słyszymy w mediach

bez przerwy.

CHAOS WYBORCZY,

CZYLI CO ROBIĆ, ŻEBY WYGRAŁ NASZ KANDYDAT 1)

na drugim miejscu Euklides, potem Tales, Apoloniusz

i na koñcu Heron. Mogê powiedzieæ, ¿e ja te¿ za

Heronem nie przepadam - ten jego wzór na pole trój-

k¹ta jest dla mnie za skomplikowany. Nastêpna par-

tia (dwadzieœcia g³osów) postawi na pierwszym

miejscu Talesa (s³usznie, bo to m¹dry Achaj), na dru-

gim (brr) Herona, a potem... zreszt¹, co ja bêdê d³ugo

mówiæ. Zobacz sobie tabelkê. Widzê, ¿e masz u pasa

swój przenoœny, gliniany dysk. Przekopiuj. W domu

sobie wszystko obliczysz. Masz w domu komputer i

Excela?

– Mam, mam. Komputerus to imiê

naszego niewolnika, a Excelus to jego

synek. Obaj s¹ bardzo m¹drzy.

Michał Szurek

krzy¿yk. Twórca jednego z totalitarnych ustrojów XX

wieku mawia³: niewa¿ne, jak siê g³osuje - wa¿ne,

jak siê liczy g³osy. Zobaczymy, ¿e ma to znaczenie nie

tylko takie, jakiego wszyscy siê spodziewaj¹ (czyli

przypisanie g³osów oddanych partii X komu innemu),

ale i matematyczne. To, ¿e mo¿na oszukiwaæ w maje-

stacie matematyki, wiemy, czytaj¹c ró¿ne opracowania

statystyczne. Ale manewry nad ordynacj¹ wyborcz¹ s¹

równie efektowne.

Oto przyk³ad:

– No, to sobie przetworzysz te informacje. Pr¹du elek-

trycznego nie mamy, bo zostanie wynaleziony dopie-

ro za 2500 lat, ale baterie s³oneczne nam wystarcza-

j¹. Oto tabelka:

MIEJSCE

Pitagoras

Tales

Heron Apoloniusz Euklides Pitagoras

Euklides

Heron Apoloniusz Euklides

Heron Apoloniusz

Tales

Apoloniusz Euklides

Heron Apoloniusz Euklides

Apoloniusz Euklides

Tales

Heron

Pitagoras Pitagoras Pitagoras Pitagoras

Heron

Wzi¹æ Pytiê na „spytki”

– Ale kto zostanie prezydentem?

– Ju¿ i tak za du¿o powiedzia³am. Wam, œmiertelnym,

nie mo¿na za wiele przysz³oœci pokazywaæ, bo potem

wypisujecie takie horrory, jak w literaturze „fantazy”.

W wyborach na stanowisko prezydenta Grecji

startuj¹: Pitagoras, Euklides, Tales, Apoloniusz i He-

ron. Prezydentem zostanie ten, kogo wybior¹ w g³oso-

waniu Dostojni. Jest ich równo 100. W Zgromadzeniu

Narodowym trwaj¹ w³aœnie spory nad ordynacj¹

wyborcz¹.

Odwa¿ny m³odzieniec, Elektoriusz, dotar³ do

wyroczni w Delfach i uda³o mu siê stan¹æ przed obli-

czem Pytii. Stan¹æ, to mocno powiedziane. Elektoriu-

szowi dr¿a³y kolana ze strachu i g³os siê ³ama³. No, ale

nie codziennie spotykamy kogoœ, kto wie, co bêdzie

jutro, za rok, sto i dwieœcie lat, za ca³e milenium.

Z pewnoœci¹ w pamiêci operacyjnej Pytii by³o zapisane

i to, ¿e Grecy zrobi¹ tak¹ niespodziankê w Mistrzo-

stwach Europy w pi³ce no¿nej w 2756 roku od za³o¿e-

nia Rzymu.

– M³odzieñcze - rzek³a Pytia - oczywiœcie, ¿e wiem, jak

bêd¹ g³osowaæ Dostojni. Znam przecie¿ przysz³oœæ.

– Powiedz, proszê.

– No, dobrze, skoro tak nalegasz. Oto ich preferencje.

Jak wiesz, w Zgromadzeniu jest piêæ partii: Kwadry-

ga Obywatelska, Liga Greckich Familii, Samostano-

wienie Plebejskie, Sprzysiê¿enie Lewego Demosu,

Greckie Stronnictwo Agrarne, wreszcie Tyrania i

Samodzier¿awie. Wiesz, ile maj¹ miejsc w Zgroma-

dzeniu, prawda: 25, 20, 19, 17, 10, 9. Ta partia z dwu-

dziestoma piêcioma g³osami ustali³a na swoim kon-

wentyklu nastêpuj¹c¹ kolejnoœæ: najpierw Pitagoras,

Ale kto wygra?

Tyle Elektoriusz i Pytia. Kto zatem zostanie pre-

zydentem? Zobaczmy, jak to zale¿y od ordynacji.

1. Jeœli ordynacja stanowi, ¿e zwyciê¿a ten kandydat,

kogo na pierwszym miejscu postawi najwiêcej

wyborców, to wygra Pitagoras, bo bêdzie pierwszy

Wybory do Parlamentu Europejskiego, 13 czerwca 2004 r.

Mndt G ł osìw

15 1467775 1467775

733888

489258

366944

LPR

969689

484845

323230

242422

PiS

771858

385929

257286

192965

666782

333391

222261

166696

SLD+UP 5

569311

284656

189770

142328

446549

223275

148850

111637

PSL

386340

193170

128780

96585

SdPl

324707

162354

108236

81177

razem 54 5603011

Ta c zęść tabelki zawiera 54 największe ilorazy z szeregu utworzonego

J ak wybraæ? To nie tylko problem, gdzie postawiæ

jaka ordynacja wyborcza, takie wyniki wyborìw

na 34 listach. Tales na 20, Heron na 19 i tak dalej.

Pitagoras wybrañcem narodu!

2. We wspó³czesnych wyborach prezydenckich czêsto

stosuje siê system drugiej tury. G³osujemy wpraw-

dzie na jednego kandydata, ale je¿eli nikt nie prze-

kroczy 50 procent, to odbywa siê druga tura. W niej

wygrywa ten, kto zdobêdzie wiêcej g³osów ni¿ jego

przeciwnik. W takim uk³adzie do drugiej tury przej-

d¹ Pitagoras (34 g³osy) i Tales (20). W drugiej turze

wyborcy przerzucaj¹ g³osy na tych, których wol¹.

Wszyscy poza pitagorejczykami wol¹ Talesa od Pita-

gorasa. Zatem w dogrywce Pitagoras nie zyska ani

jednego g³osu. Wynik 66:34 dla Talesa i zdecydowa-

ne zwyciêstwo. Podobna sytuacja zdarzy³a siê nie-

dawno na S³owacji, gdzie kandydat, który wyraŸnie

wygra³ pierwsz¹ turê, przegra³ w drugiej. Niech

¿yje prezydent Tales!

3. W wyœcigach kolarskich interesuj¹cy jest tzw. sys-

tem australijski. Po ka¿dym okr¹¿eniu toru odpada

ostatni. Ten wariant ordynacji wyborczej nosi nazwê

„wyborów dyrektorskich”. W Sejmie zastosowano go

przy g³osowaniu nad tym, który wariant raportu Ko-

misji do sprawy Rywina nale¿y przyj¹æ. Wyniki, nie-

stety, znamy. Jak by to wygl¹da³o w odniesieniu do

naszych wirtualnych wyborów w staro¿ytnej Grecji?

Pierwsza tura: najmniej g³osów ma Euklides. Elekto-

rat Euklidesa g³osuje w II turze na Herona. W dru-

giej turze Heron ma 19 + 10 = 29. Odpada zatem

Apoloniusz (17 g³osów). Jego zwolennicy g³osuj¹

potem na Herona. W III turze Pitagoras (o sta³ym

elektoracie) ma 34, Tales 20, a Heron 29+17 = 46.

Odpada Tales. Talesiacy nie lubi¹ pitagorejczyków -

wol¹ heroniarzy. W ostatniej turze Heron - Pitagoras

66: 34. Vivat prezydent Heron!

4. W dorocznym konkursie Eurowizji na najlepsz¹ pio-

senkê przyznaje siê 12 punktów za umieszczenie

piosenki na pierwszym miejscu listy, 10 za drugie

miejsce, 9 za trzecie i tak dalej. Proszê Czytelników

o przeliczenie, ¿e gdyby przyj¹æ taki system w „na-

szych wyborach” (punktuj¹c 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1), to

wygra.. .. Euklides, zgromadziwszy 352 punkty i wy-

przedzaj¹c wyraŸnie Herona (319). Ludu grecki, oto

Twój prezydent Euklides!

5. Czytelnicy domyœlaj¹ siê, ¿e do kompletu potrzebny

jest nam tylko taki sposób liczenia g³osów, ¿eby

okaza³o siê, ¿e najlepszy jest Apoloniusz. I rzeczy-

wiœcie, Apoloniusz jest najlepszy - bo jest lepszy od

wszystkich innych. Ka¿dy przegrywa z Apoloniu-

szem! Dlaczego?

Ilu bowiem Dostojnych stawia Apoloniusza przed

Heronem? Policzmy: 25 + 17 + 9 = 51, a wiêc wiêk-

szoœæ. Niewielka, ale jednak.

Ilu stawia Apoloniusza przed Euklidesem? 20 + 19

+ 17 + 9 = 61, wiêkszoœæ.

Ilu preferuje Apoloniusza w porównaniu z Talesem:

19 + 17 + 10 + 9 = 55.

Wreszcie, Apoloniusza od Pitagorasa woli 20 + 19 +

17 + 10 = 66 elektorów na 100.

Skoro zatem - ludu grecki, przecie¿ umiesz myœleæ lo-

gicznie - wiêkszoœæ woli Apoloniusza ni¿ ka¿dego in-

nego kandydata: to jest najlepsza rekomendacja na to,

by on w³aœnie przewodzi³ nam przez najbli¿sz¹ kaden-

cjê!! Zbli¿ siê, Apoloniuszu, nasz prezydencie-elekcie!

A teraz „na powa¿nie”

Mimo nieco groteskowej formy, zdajemy sobie spra-

wê, ¿e problem jest jak najbardziej powa¿ny. Jaka or-

dynacja, takie wyniki. Ordynacja wyborcza nie pomo¿e

tylko tam, gdzie jest... jednomyœlnoœæ narodu... a wtedy

pojawiaj¹ siê zupe³nie, ale to zupe³nie inne problemy,

wykraczaj¹ce poza zasiêg problematyki naszego mie-

siêcznika. Ale wróæmy na polskie podwórko, gdzie do

jednomyœlnoœci narodu nam, jak wiemy, nieco daleko.

W wyborach ostatnich lat by³o du¿o s³ów, obiet-

nic i rzucania inwektyw na przeciwników politycznych.

Bêdzie tak i w nadchodz¹cych wyborach parlamentar-

nych. Jednego, jak zwykle, nie bêdzie w mediach. Spo-

sobu przeliczania g³osów na mandaty. Mocno podejrze-

wam, ¿e redaktorzy gazet codziennych obawiaj¹ siê, ¿e

nikt tej metody nie zrozumie (nic dziwnego: lider zwy-

ciêskiego ugrupowania w wyborach parlamentarnych

oœwiadczy³ kiedyœ publicznie, ¿e bez œci¹gania na

maturze nie da³by sobie rady). Dlatego algorytm nie

by³ publikowany. Czy¿ jednak nie powinniœmy sobie

z niego zdawaæ sprawy? Zobaczmy, ¿e ma to trochê

wspólnego z tymi wyborami w Grecji, które opisaliœmy

wy¿ej. Przeczytajmy najpierw fragment ordynacji

wyborczej (do znalezienia w Internecie).

Art. 127. Ustawy Dz U nr 25 poz 219 z 2004 roku.

1. Pañstwowa Komisja Wyborcza dokonuje podzia³u

wszystkich mandatów pomiêdzy uprawnione komite-

ty wyborcze w sposób nastêpuj¹cy:

Kolejne ilorazy

Dzielnik:

293555

244629

209682

183472

163086

146778

133434

122315

112906

104841

97852

91736

193938

161615

138527

121211

107743

96969

88154

80807

74591

69264

64646

60606

154372

128643

110265

96482

85762

77186

70169

64322

59374

55133

51457

48241

133356

111130

95255

83348

74087

66678

60617

55565

51291

47627

44452

41674

113862

94885

81330

71164

63257

56931

51756

47443

43793

40665

37954

35582

89310

74425

63793

55819

49617

44655

40595

37212

34350

31896

29770

27909

77268

64390

55191

48293

42927

38634

35122

32195

29718

27596

25756

24146

64941

54118

46387

40588

36079

32471

29519

27059

24977

23193

21647

20294

ze wszystkich ilorazìw łącznie

Nieważ ne jak się gł osuje, waż ne jak się liczy gł osy.

Jìzef Stalin

1) liczbê g³osów wa¿nych oddanych ³¹cznie na listy

okrêgowe ka¿dego z komitetów wyborczych dzieli

siê kolejno przez: 1; 2; 3; 4 i dalsze kolejne liczby

a¿ do chwili, gdy z otrzymanych w ten sposób ilo-

razów da siê uszeregowaæ tyle kolejno najwiêk-

szych liczb, ilu pos³ów do Parlamentu Europej-

skiego jest wybieranych w Rzeczypospolitej Pol-

skiej;

2) ka¿demu komitetowi wyborczemu przyznaje siê

tyle mandatów, ile spoœród ustalonego w powy¿-

szy sposób szeregu ilorazów przypada mu liczb

kolejno najwiêkszych.

Oto pytania - nietrudno na nie odpowiedzieæ,

wykonuj¹c obliczenia nawet zwyk³ym kalkulatorem. Le-

piej oczywiœcie pos³u¿yæ siê arkuszem kalkulacyjnym.

Polecam wszystkim nauczycielom na lekcje matematyki

albo informatyki, a wszystkim Czytelnikom jako lekcjê

z przedmiotu, który za moich szkolnych czasów zwa³

siê „wiedza o Polsce i œwiecie wspó³czesnym”.

1. Jakie by³yby wyniki, gdyby stosowano regu³ê z wy-

borów parlamentarnych w 1997 roku, gdzie dzielni-

kami nie by³y kolejne liczby naturalne, tylko kolejno

liczby 1,4 (jeden i cztery dziesi¹te), a nastêpnie ko-

lejne liczby nieparzyste: 3, 5, 7, 9,...? Dlaczego w

formule wziêto 1,4? Dlaczego „nowy” system pre-

miuje wiêksze partie (tak pisa³y gazety codzienne,

oczywiœcie bez uzasadnienia). Czy to jest prawda?

WyobraŸmy sobie, ¿e - politycznie to absurdalne -

PO i LPR po³¹czy³y siê w jedn¹ wielk¹ partiê, o na-

zwie, dajmy na to, Rodzinna Platforma Ligi Polskich

Obywateli, i zdoby³yby razem 1467775 + 969689 g³o-

sów. Czy dosta³yby 15 + 10 mandatów? Co to

bowiem znaczy, ¿e „system preferuje wiêksze par-

tie”?

2. Co by siê sta³o, gdyby SdPl nie przekroczy³a progu

wyborczego piêciu procent? Kto by zgarn¹³ jej man-

daty? Odp. PiS i SLD!

3. Co by siê sta³o, gdyby 830 wyborców, którzy g³oso-

wali na PSL, zmieni³o preferencje i zag³osowali na

LPR? OdpowiedŸ: PSL straci³oby mandat na rzecz...

PiS!

Zobaczmy. Oto wyniki - liczba g³osów na po-

szczególne partie i liczba mandatów, jakie w wyborach

do Parlamentu Europejskiego 13 czerwca 2004 roku

zdoby³y te ugrupowania, które przekroczy³y 5% próg

wyborczy.

Platforma Obywatelska

1 467 775

Liga Polskich Rodzin

969 689

Prawo i Sprawiedliwość

771 858

Samoobrona RP

666 782

Sojusz Lewicy Demokratycznej + Unia Pracy

569 311

Unia Wolności

446 549

Polskie Stronnictwo Ludowe

386 340

Socjaldemokracja Polska

324 707

A¿ siê prosi wzi¹æ arkusz kalkulacyjny i spraw-

dziæ te wyniki. To ³atwe i wci¹gaj¹ce zadanie. Poni¿ej

widzimy fragment tabelki z zaznaczonymi ilorazami -

tabelka nie obejmuje jeszcze 6 mandatów dla PO i jed-

nego dla LPR.

W podstawie programowej Ministerstwa Eduka-

cji Narodowej i Sportu jest nieodpowiedzialne zdanie

o tym, ¿e uczniowie maj¹ umieæ tworzyæ modele mate-

matyczne zjawisk. To jest nie do zrealizowania przy ta-

kim programie matematyki szkolnej. Niektóre rzeczy s¹

jednak dostêpne. Na przyk³ad pe³na dyskusja mo¿liwo-

œci rozdzia³u mandatów w okrêgu, w którym s¹ tylko

dwie partie. Oznaczmy procent g³osów na pierwsz¹ z

tych partii przez x ; zatem na drug¹ partiê g³osuje 100 -

x . Niech n oznacza liczbê mandatów w tym okrêgu.

Badamy zatem „przebieg zmiennoœci” funkcji f ( x , n )

okreœlonych wzorem f ( x , n ) = liczba mandatów, jakie

otrzyma pierwsza partia, gdy zdobêdzie x procent g³o-

sów.

Jest to wystarczaj¹co ciekawe i wci¹gaj¹ce

zadanie. Polecam. W Excelu nale¿y pos³u¿yæ siê funk-

cjami licz.je¿eli i max.k oraz formatowaniem warunko-

wym (¿eby wyró¿niæ kolorem odpowiednie pola) A co

dla trzech partii? Wyjdzie... chaos. Taki matematyczny,

bo chaos wyborczy mamy, niestety, w kraju od dawna.

Matematyka jest wszêdzie. Mo¿na za pomoc¹

niej oszukiwaæ. Mo¿na tak¿e broniæ siê ni¹ przed mani-

pulacjami. Nie jest uniwersalnym sposobem na pozna-

wanie œwiata. Zacytujê ksiêdza profesora Józefa Tisch-

nera (Historia filozofii po góralsku, wyd. Znak): „No, nie

jest dobrze! Ale, ¿eby by³o tak Ÿle, to te¿ nie powiem!”.

Powodzenia w nowym roku szkolnym.

Artyku³ ten napisa³em po wys³uchaniu wyk³adu Krzysztofa Cie-

sielskiego z UJ. Tekst i opracowanie przyk³adów jest w pe³ni

mojego autorstwa (M. Sz.), jednak sam pomys³ nale¿y do prof.

Ciesielskiego. Artyku³ jest opublikowany za jego zgod¹.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: