Komputer i zdanie z olimpiady matematycznej.pdf

mate matyka

Nie milkną spory o maturze, ktìra w nowym

ujęciu czeka uczniìw (a więc wielu naszych

Czytelnikìw) za kilka miesięcy. Przez ten czas

w kąciku matematycznym będzie o tej matu-

rze - ale ogìlnie. Poradnikìw szczegìłowych

jest bardzo dużo. A mnie chodzi o ogìlne spoj-

rzenie - przyda się ono i młodym, i starszym.

Ś rodowisko naukowe i nauczycielskie jest konserwa-

Czysta geometria, prawda? Nie chcia³o mi siê

myœleæ. W³¹czy³em program, który narysowa³ mnie taki

rysunek, jak wy¿ej i jeszcze „zanimowa³”. Wszystko siê

rusza³o. Trójk¹t zmienia³ kszta³t, a proste AE i CF za-

wsze sta³y do siebie ortogonalnie. Jak drut. „No, to siê

zgadza”, pomyœla³em i w³aœciwie straci³em zaintereso-

wanie. Wszyscy widzimy, ¿e siê zgadza. Po co wiêc da-

lej rozdzielaæ w³os na czworo? Istnieje powiedzenie, ¿e

dowody twierdzeñ matematycznych s¹ w ogóle niepo-

trzebne, bo je¿eli twierdzenie jest prawdziwe, to po co

jeszcze dowód, a je¿eli nieprawdziwe, to i tak siê udo-

wodniæ nie da.

Program, o którym mówiê, jest autorstwa nie-

mieckiego profesora Grothmanna. Jest freeware, w

wersji angielskiej nazywa siê c.a.r (compass and ruler),

w niemieckiej Z.u.L (Zirkel und Lineal). Mo¿na go (pro-

gram, nie profesora, i to w wersji polskiej) legalnie za-

instalowaæ na swoim komputerze, wyszukuj¹c po na-

zwisku lub po nazwie programu.

KOMPUTER I ZADANIE

Z OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ

Michał Szurek

Jak? W tym w³aœnie problem - nie na ³amy „M³odego

Technika”.

No tak, ale to niegodne matematyka. Zacz¹³em

myœleæ, ale w moim wieku nie jest to ju¿ takie ³atwe.

Jerzy Hajdukiewicz, polski himalaista lat szeœædziesi¹-

tych XX wieku, napisa³ kiedyœ artyku³ „Stary cz³owiek

w górach”. Nie wiem, czy napiszê artyku³ „Stary cz³o-

wiek i matematyka”, ale ¿e myœleæ mi siê nie chce, to

fakt.

Skalê trudnoœci ujmuje autentyczna historia z za-

daniem z Olimpiady Matematycznej (paŸdziernik 2004).

Ubarwiê nieco fabu³ê, zachowuj¹c istotê sprawy. Zada-

nie by³o oto takie:

W trójk¹cie ostrok¹tnym (rysunek) punkt D jest

spodkiem wysokoœci poprowadzonej z C na AB , punkt

E jest rzutem D na CB , zaœ punkt F dzieli odcinek

Bo mo¿na obejœæ siê bez myœlenia. Wprowadzi-

³em uk³ad wspó³rzêdnych tak, by punkty A , B , C mia³y

odpowiednio wspó³rzêdne ( a , 0), ( b , 0), (0, c ), zaœ po-

cz¹tek uk³adu by by³ w punkcie D. Nauczy³em program

Mathematica, jak prowadziæ prost¹ przez dwa punkty

(to znaczy jak obliczyæ jej równanie!), jak prost¹ prosto-

pad³¹ itp. Po naciœniêciu Enter, nim mój kot merdn¹³

ogonem, mia³em na ekranie wszystkie wspó³rzêdne

i równania:

DE tak, ¿e .

AB =

Wykazaæ, ¿e proste AE i CF s¹ prostopad³e.

punktE = {b * c^2/(b^2+c^2), b^2 * c/(b^2+c^2)};

punktF = {b^2 * c^2/(b–a)/(b^2+c^2), b^3 * c/(b–a)/(b^2+c^2)};

Nawet nie chcia³o mi siê sprawdziæ, czy rzeczy-

wiœcie CF jest prostopad³e do AE . Móg³bym obliczyæ

stosowny iloczyn skalarny, ale czy to warto? Na pewno

wyjdzie zero - wiêc po co jeszcze chleb, Króliku? Dla

rozrywki wyliczy³em równania prostych (dok³adniej:

„lewe strony” tych równañ):

tywne. To dobrze. Wychowanie i nauczanie powinno

siê opieraæ na solidnych, sprawdzonych podsta-

wach. Reformy winny byæ powolne i starannie przygo-

towane. Ale konserwatyzm ma swoje z³e strony. Wci¹¿

bronimy siê przed dopuszczeniem na egzaminy urz¹-

dzeñ licz¹cych, z kalkulatorami na czele. Wielu uczo-

nych i wielu wyk³adowców starszej daty nie dostrzega,

¿e komputery po prostu s¹, ¿e uczyæ trzeba inaczej.

Komputery po prostu są i moż e coś z tego powinno

wreszcie wynikać

In[1]= Simplify [(Tan[beta] + q * Sin[beta] * Cos[beta] / (p + q * Sin[beta]^2))/

(1 – Tan[beta] * (q * Sin[beta] * Cos[beta]) / (p + q * Sin[beta]^2))]

(p + q)

–––––– p –––––

Tan[beta]

––– .

ale nie odkry³em niczego specjalnie ciekawego i zacz¹-

³em siê zastanawiaæ nad rozwi¹zaniem bardziej god-

nym matematyka. Ociê¿a³oœæ umys³owa znów da³a

znaæ o sobie. Wzi¹³em siê za trygonometriê - tam my-

œleæ nie trzeba, bo samo idzie. Oznaczy³em punkty jak

na rysunku. Punkt G to punkt wspólny prostych AE

i CF . Trzeba wykazaæ, ¿e k¹t G ma 90 stopni.

Zauwa¿my, ¿e k¹t CDE jest te¿ równy β, k¹towi

trójk¹ta przy wierzcho³ku B . Popatrzmy na trójk¹ty pro-

stok¹tne CED i CEF . Z warunków zadania i definicji

tangensa wynika, ¿e

Zadanie rozwi¹zane, bo w³aœnie to jest tangens δ.

W tym momencie ju¿ zupe³nie odechcia³o mi siê

myœleæ... Ale po chwili zacz¹³em - lecz ju¿ nie jak roz-

wi¹zaæ zadanie, tylko nad sprawami ogólniejszymi. Czy

Komitet Olimpiady Matematycznej uzna³by takie roz-

wi¹zanie (to znaczy: weŸ komputer i wylicz)? A po dru-

gie: sposób drugi jest tak prosty i bezmyœlny, ¿e algo-

rytm da siê przes³aæ SMS-em. Próbowa³em: umiem siê

z zapasem zmieœciæ w trzech (po 160 znaków). Czy da

siê kompletny dowód (bo rachunki s¹ oczywiste) zmie-

œciæ w jednym SMS-ie? Czy Komitet bêdzie kiedyœ

uznawaæ tak opracowane dowody?

NIECH H RZUT E NA AB NIECH G WSPOLNY

AE,CF WTEDY KAT CDE= CDB Z WAR ZAD POROWN

TG CFE I TG CDE WYLICZ LATWIUTKO DH I TG EAB

W 4KACIE AGFD SUMA 360 STOPNI ZASTOS WZOR

NA SUME TG (EDC+EAB)I WYLICZ ZE AGF PROSTY.

Coraz wiêcej zadañ z konkursów umiem rozwi¹-

zaæ w³aœnie tak. Czy to oznaka starzenia siê? Mojego

czy... konkursów?

Nie tylko w matematyce, ale w ka¿dej nauce

i mo¿e we wszystkim, co robimy, piêkne jest stosowa-

nie nowych, nieoczekiwanych i pomys³owych metod.

Dotyczy to naprawdê wszystkich obszarów dzia³alnoœci

ludzkiej. Przypomnijmy sobie rewolucyjne zmiany, które

dokona³y siê w muzyce za spraw¹ Bacha, a póŸniej Mo-

zarta. Przypomnijmy sobie wymyœlony przez Johna

Fossbury’ego powszechny dziœ styl skakania wzwy¿

(„flop”). Przypomnijmy sobie kubistów w malarstwie

(oczywiœcie zdarza siê bezsensowne nowatorstwo, za

które pisz¹cy te s³owa uwa¿a turpizm, czyli zachwyt

nad brzydot¹, np. twórczoœæ Jerzego Dudy-Gracza).

W samej matematyce rozwi¹zanie 350-letniego proble-

mu Fermata by³o mo¿liwe dziêki zastosowaniu metod

z zupe³nie innej dyscypliny matematycznej, mianowicie

geometrii algebraicznej. I tak dalej.

Jeœli ktokolwiek zastanawia siê nad „praktyczn¹

filozofi¹” matematyki, to dostrzega dwie przeciwne

tendencje: ograniczania stosowanych metod i rozpatry-

wania zagadnieñ w jak najszerszej ogólnoœci. S¹ to

przeciwne, ale nie sprzeczne tendencje. Zawodowych

matematyków raduje zarówno dowód taki, w którym

u¿ywamy jak najskromniejszych œrodków, jak i ten, w

którym szczegó³owe zadanie okazuje siê nam w ca³ej

ogólnoœci - niekiedy w bardzo ogólnej ogólnoœci....

Ale ka¿dy z radoœci¹ patrzy na zagadnienia,

w których mo¿na powiedzieæ: „Dorysuj jedn¹ kreskê,

a rozwi¹¿esz!”. Przeczuwa³em, ¿e w tym zadaniu wy-

starczy tak¹ kreskê narysowaæ. Ale gdzie?

Honorarium, jakie dostanê za ten artyku³, z na-

wi¹zk¹ przewy¿szy koszt telefonów do kolegi ze Szcze-

cina. Bo to on dostawi³ ow¹ kreskê. Có¿, m³odoœæ...

Trzeba poprowadziæ DK równolegle do AE , punkt K to

ten, gdzie owa prosta przecina CB . W trójk¹cie DEK k¹t

przy wierzcho³ku K jest równy β + ε .

gdzie p jest d³ugoœci¹ odcinka AD , zaœ q - d³ugoœci¹

odcinka DB . Wyliczmy st¹d tangens δ:

⋅

Na koñcu oka¿e siê, ¿e to by³o wa¿ne.

Standardowa analiza zale¿noœci w trójk¹tach

DEB i HEB daje - myœleæ prawie nie trzeba - zale¿noœci:

DE = q sin β ; EB = q cos β ; EH = DE sin (90° – β) = q

sin β cos β ;

HD = DE cos (90° – β) = DE sin β = q sin 2 β .

Zatem patrz¹c na trójk¹t AEH i stosuj¹c definicjê tan-

gensa, mamy:

tg ε

sin

cos

sin

A teraz skierujmy wzrok na czworok¹t AGFD .

Jak by tu wykazaæ, ¿e k¹t przy wierzcho³ku G jest pro-

sty? Ojej, co za problem? Oznaczmy ten k¹t przez ξ. To

³adna grecka litera. Lubiê j¹. Suma k¹tów czworok¹ta

AGFD jest równa 360 stopni. No, to dodawajmy:

ε + ξ + (180° – δ) + (β + 90°) = 360° .

A zatem jeœli wyka¿emy, ¿e β + ε = δ , to bêdzie

dobrze. Nie myœleæ, nie myœleæ... Jak w jednym z opo-

wiadañ Stanis³awa Lema - tam robot porusza³ siê na

planecie z zamro¿onej rtêci, a ¿e myœlenie powodowa³o

wzrost temperatury, wiêc warunkiem przetrwania by³a

bezmyœlnoœæ. Jakie to wspó³czesne... Jako ¿ywo, histo-

ria est magistra vitae .

Oczywiste: wystarczy porównaæ tangensy - czy

tangens β + ε jest równy tg δ. To jeszcze pamiêtam ze

szko³y:

(

)

−

Komputerze, nie kuœ... program Mathematica da³ odpo-

wiedŸ.

Out[1]= –––

mate matyka

Bardzo zwraca siê na to uwagê w szkole amery-

kañskiej i w ogóle w amerykañskim wychowaniu. Pra-

ca w zespole. Teamwork. To prawda, ¿e niekiedy prze-

szkadzamy sobie wzajemnie - jak tych stu robotników

kopi¹cych studniê w 10 minut... Ale tylko niekiedy. Nie

wszystko, co pochodzi z Ameryki, jest niedobre.

I jeszcze jeden wniosek. Mo¿e najwa¿niejszy. Jeœli

robimy coœ razem, daje to po prostu wiêcej satysfakcji.

A dla Czytelników, którzy chcieliby jakieœ ³a-

twiejsze zadanie, zwi¹zane z tym zagadnieniem, pole-

cam nastêpuj¹ce: w trójk¹cie równobocznym przepro-

wadzamy analogiczn¹ konstrukcjê na ka¿dym boku; to

znaczy rzutujemy wierzcho³ek na przeciwleg³y bok,

spodek wysokoœci rzutujemy na bok i otrzymujemy - jak

wy¿ej punkty G1 , G2 , G3 . Tworz¹ one trójk¹t równo-

boczny. Jak¹ d³ugoœæ ma jego bok?

* * *

Podsumujmy. Komputer „pomóg³”, „podsun¹³ po-

mys³”, a wreszcie dziêki swojej mocy obliczeniowej

„rozwi¹za³” ca³e zadanie. To oczywiœcie nieprawda. To

nie komputer. Tylko ja. Cz³owiek. Komputer potrzebny

by³ mi jak tyczka Siergiejowi Bubce. Ani Bubka bez

tyczki nie skoczy³by 6 metrów. Ale tyczka bez Bubki sa-

ma by nawet pó³ metra nie przeskoczy³a. Ba, nawet...

Komputery prêdzej czy póŸniej wkrocz¹ do szkó³

pe³nym frontem, nie tylko jako koñcówki do Internetu.

I dalej jak po maœle: tangens tego k¹ta to

⋅

−

I mamy cel: dowód jak najprostszymi metodami. Wynik

pracy zespo³owej jest zwykle wiêkszy ni¿ suma wyni-

ków, które osi¹gnêliby w pojedynkê cz³onkowie zespo-

³u. Jeœli piêciu robotników wnosi fortepian na pi¹te

piêtro w 15 minut, to w jakim czasie jeden robotnik

wniós³by fortepian na 60. piêtro? Takie zadanie umiemy

rozwi¹zaæ. W 15 godzin. Bez komentarza.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: