Na pieniądzach każdy się zna.pdf

MATEMATYKA

Na pieniądzach

każdy się zna...

Michał Szurek

Jak wiadomo, Stańczyk, błazen Zygmunta Starego, wykazał, że najwięcej

w Polsce jest lekarzy. Skarżył się każdemu przechodniowi na ból zębów i od prawie

każdego otrzymywał inną poradę. Przypomina mi się to, gdy czytam zalecenia, jak

uzdrowić finanse publiczne. Każdy uważa się za eksperta. To nie musi być źle, go−

rzej, jeżeli oponent obrzucany jest natychmiast niewybrednymi epitetami. Tymcza−

sem w finansach, jak w życiu, ten sam cel można osiągnąć na kilka sposobów.

Rzadko kiedy na nawet najprostsze pytania istnieje jedna, jedynie słuszna odpo−

wiedź, nawet w obrębie matematyki, będącej przecież wzorem ścisłości.

– Ile dziesięcin miał las?

Odp.: (768 • 175)/2400 = 56.

– Ile płacono za dziesięcinę lasu?

Odp.: 15456/56 = 276. To jest dochód z domu za 3 miesiące. Obliczam dochód

z domu za rok: 276 • 4 = 1104 [rubli srebrem].

– Za ile kupiono dom?

Odp.: 33120 – 15456 = 17664.

– To jaki to procent?

Odp.: 1104/17664 = 1/16 = 6,25%. Kapitał użyty na kupno domu przynosi do−

chód 6,25% w skali rocznej.

1 Zacznijmy pół żartem, pół serio

Oto sytuacja jak z życia, tylko nieco przesadzona i podkoloryzowana.

Mleko kosztowało 1 zł i bułka 1 zł. Po zmianie cen bułka kosztuje 50 gr,

a mleko 2 zł. Ogólnie: podwyżka to, czy obniżka?

Panii A: wczoraj kupowałam litr mleka i bułkę za 2 zł, dziś muszę wydać 2 zł 50

gr. Podwyżka o 25%.

Panii B: Bułkę na litr mleka? U mnie do litra mleka kupuje się 5 bułek. Wczoraj 6

zł, dzisiaj 4 zł 50 gr. Obniżka o 25%.

Pan A, mąż pani A: rację ma moja żona. Dzisiejsza cena mleka to 200% wczoraj−

szej, dzisiejsza cena bułki to 50% wczorajszej. Średnio

dzisiaj = 125% • wczoraj,

3 Mamy już XXI wiek

Rozwiążmy zadanie maturalne z 1881 roku inaczej. Jeżeli długość podstawy

prostokąta wyraża ilość (wielkość) towaru, który kupujemy, a wysokość jest równa

cenie za jednostkę tego towaru, to pole prostokąta o danych wymiarach jest równe

sumie pieniędzy, jakie wydamy na zakup. Pamiętając o tym, zróbmy taki rysunek.

Prostokąt wyobrażający sumę pieniędzy przeznaczoną na dom i las dzielimy, zgod−

nie z warunkami zadania, w stosunku 7:8.

czyli podwyżka o 25%.

Pan B, mąż pani B: rację ma moja żona. Wczorajsza cena mleka to 50% dzisiej−

szej, wczorajsza cena bułki to 200% dzisiejszej. Czyli wczoraj = 125% • dzisiaj,

obniżka o 25%.

2 Matura sprzed 123 lat

Warto, naprawdę warto, przyjrzeć się zadaniu, jakie w 1881 roku uczniowie

klas VIII gimnazjów Okręgu Naukowego Warszawskiego rozwiązywali na egzaminie

maturalnym. Warto zadumać się nad ... zmianą poziomu egzaminu dojrzałości.

0,46666... sumy otrzymanej ze sprzedaży weksla 36000 rs. z potrąceniem

8% za 9 miesięcy przed terminem użyto na kupno lasu prostokątnego o długości

768 sążni, szerokości 175 sążni. Za resztę otrzymanych pieniędzy kupiono dom;

dochód z domu za trzy miesiące stanowi tyle rubli, ile zapłacono za dziesięcinę la−

su. Obliczyć, jaki procent przynosi kapitał użyty na kupno domu.

Do zadania nie było dołączone niezbędne dziś wyjaśnienie, że dziesięcina to

2400 sążni kwadratowych. Widocznie wtedy każdy maturzysta w państwie carów

musiał to wiedzieć.

Warto przypomnieć, co to jest weksel. Jest to papier wartościowy. Wystawca

weksel otrzymuje od kupującego określoną sumę pieniędzy, a w terminie oznaczo−

nym na wekslu (termin wykupu) ma zwrócić pieniądze, zwykle więcej niż poży−

czył. Przed tym terminem wystawca nie ma obowiązku wykupienia weksla. Dlatego

weksel ma wtedy mniejszą wartość niż w dniu wykupu.

Rozwiążmy to zadanie prawie według standardów matury 2005. Będziemy

szukać odpowiedzi na kolejne naturalne pytania.

– Ile otrzymano za weksel?

Odp.: 36000 • 0,92 = 33120 [rubli srebrem]. Zamieniam teraz 0,46666... na

ułamek zwykły, sumując odpowiedni szereg geometryczny. Odpowiedź: 7/15.

– Za ile kupiono las?

Odp.: 7/15 • 33120 = 15456 [rubli srebrem].

Niezależnie od wielkości potrącenia (dyskonta), ta proporcja 7:8 jest zachowa−

na. Zachowuje się też długość obu odcinków, oznaczonych na rysunku przez AC.

„Lewy” ma zawsze długość 56 (liczba dziesięcin). Zatem „prawy” ma długość

56 • 8/7 = 64. Możemy powiedzieć, że prostokąt przekształca się przez powino−

wactwo osiowe. Dochód z domu za rok jest równy 4 AB, zgodnie z warunkami za−

dania. Aby obliczyć, jaka to część kapitału, dzielimy ten dochód przez pole prosto−

kąta symbolizującego sumę pieniędzy wydaną na dom. Ale pole prostokąta dzielo−

ne przez jego wysokość to długość podstawy! Zatem kapitał użyty na kupno domu

przynosi dochód 4/64 = 1/16 , czyli – jak poprzednio – 6,25%! Odkryliśmy

też, że procent ten nie zależy od wielkości dyskonta.

4 Dawne miary

Historycznie sążeń to szerokość rozkrzyżowanych rąk (stąd nazwa, od „się−

gać”). Jak zwykle, w dawnych czasach niemal każdy powiat miał swoje własne

miary. W zaborze rosyjskim na ziemiach polskich dekretem z 1849 roku wprowa−

dzono sążeń rosyjski. W układzie metrycznym był on równy 2,1336 m. Propono−

7 Wiele może mieć małdrów?

Pierwszą polską książką matematyczną jest podręcznik księdza Tomasza

Kłosa. Algoritmus to jest nauka liczby (1538). Pytanie kontrolne: z którego roku

pochodzi Krótka rozprawa między panem, wójtem i plebanem ? Z książki Kłosa

dwa takie oto zadania. Pierwsze jest proste, przepisujemy starannie:

Dworzka liiczba. Krol nasz miłościwy Sigmunt: odloził 473005 zło. na obronę

sławnego Krolestwa Polskiego za które chce mieć iezdnych 3880 A pieszych 750

dawaiąc każdemu iezdnemu na miesiąc 4 zło. á pieszym 5 zło. Iest pytanie iako

wiele miesięczy może ie trzymać.

Oto drugie. Bez komentarza.

O zbożu. 12 czwircień wmałdr. Ieden naloził na zboże 128 mrc. 1 czwiertnia

po 13 1 / 2 g. Wiele może mieć małdrów?

A oto i odpowiedź: 37 małdrów 11 czwircień 1/9. Prawda, jakie to ... musia−

ło być trudne?

Zostańmy w naszym, jako tako oswojonym świecie XXI, stulecia. Modne są te−

raz programy nauczania minimum. Minimum wiadomości, jakie każdy z nas powi−

nien mieć na temat matematyki spraw finansowych to mniej więcej tyle:

wartość przyszła i obecna;

stopa % (nominalna, efektywna),

kapitalizacja, dyskontowanie, zadania;

podatki, płaca brutto i netto;

inflacja;

saldo, debet, kredyt i sposoby jego spłat;

weksle, akcje i obligacje;

stopa zwrotu, przychód, dochód, zysk.

wane niżej zadanie przeliczenia dziesięciny na hektary wcale nie będzie łatwe dla

uczniów gimnazjów, nawet jeśli użyją kalkulatora.

1 sążeń = 3 arszyny = 7 stóp = 48 werszków = 84 cale = 2,1336 metra.

Zadanie: Wiedząc, że 768 × 175 sążni to 56 dziesięcin, oblicz, ile ha miała

dziesięcina!

Obniżki i podwyżki

Zadanie 1

Towar taniał o 30%, 15%, 10%, 5%. O ile staniał? Jaka była średnia ob−

niżka? 15%?

NIE.

– Rozwiązanie. Oto historia ceny początkowej c:

c 0,7 – > c – > 0,85 • 0,7 • c – > 0,9 • 0,85 • 0,7 c – > 0,95 • 0,9 • 0,85 • 0,7 c =

= 0,508725 c = 0,51 c. Kosztuje zatem 51 procent tego, co dawniej. Zatem sta−

niał o ...

Tak jest, o 49 procent!

Średnia obniżka to nie 15 procent!

Bo gdyby tak było, to kosztowałby 0,85 4 = = 0,52200625 c = 0,52 c.

Prawidłowa odpowiedź:

5 Cambio

Znaczenie tego słowa znane jest turystom. To po włosku wymiana pieniędzy.

Zobaczmy, że już 350 lat temu zagadnienia matematyki finansowej były doceniane

w nauczaniu matematyki. Cytujemy z książki: Krzysztof Schedel, Arytmetyka, to

jest nauka rachunku , 1653.

Cambio Commune jest to pospolite zamienienie monety różnej jednego miasta.

Cambio reale jest zamienienie pieniędzy jednej krainy do drugiej albo jednego

miasta do drugiego; jako to gdyby ja tu w Krakowie jednemu summę wyliczywszy

na to, aby mi była taż summa w Wenecyjej albo w inszych miastach, przez niego

albo przez jego correspondenty wyliczona była. (...). Item kupiec jeden w Krakowie

bierze cambium do Wenecyjej na 3000 złotych polskich po 391 złotych per 100

dukatów correnti, których jeden 2 1 / 2 naszych złot. czyni: wiele tedy dukatów

w cambium położyć mają, które w Wenecyjej będzie odebrać powinien?

Zachwyćmy się tą składnią: będzie odebrać powinien . Ale powtórzmy pytanie:

wiele dukatów w cambium położyć mają? Odpowiedź: 767 103 / 391 .

1 – 0,7 0,85 0,9 0,95 = 15,5%

Zadanie 2

Bilet ze zniżką 49% kosztuje 49 zł. Ile kosztuje bilet ze zniżką 51% ?

– Rozwiązanie: Pełny bilet = 49/0,51 = 96,08. Bilet ze zniżką 51% kosztuje

więc 96,08 • 0,49 = 47,08.

6 Jeszcze jedno zadanie Schedla

Matrona jedna u męża godnego

300 grzywien pieniędzy dla zarobku swego

Wyprosiła. Kupuje lnu dostatkiem za to,

Daje prząść, ofiarując zapłacić bogato.

3 sztuki otrzymuje z przędziwa swojego –

Płótno roboty dobrej gatunku cienkiego.

Każda sztuka o 79 3 / 4 łokciach była,

Każdy łokieć po 1 2 / 3 grzywnie za pieniądze zbyła.

No teraz jest moje pytanie:

Co za zarobek wzięła za nie?

Odpowiedź: 98 3 / 4 grzywny.

Zadanie 3

Ubezpieczenie samochodu kosztuje 1000 zł, ale firma daje rabat 50% za bez−

szkodowość i 10% za kontynuację. Jak obliczyć składkę?

Uwaga. Nie można oczywiście sumować procentów, ale można obniżki obli−

czać w dowolnej kolejności.

– Odp.: 450 zł.

Zadanie 4

Samochód traci rocznie 15% wartości. Ile jest wart po 5 latach samochód, któ−

ry nowy kosztował 30000 zł?

– Odp.: 0,85 5 • 30000 zł = 13311 zł 16 gr.

Po ilu latach wartość spadnie poniżej 6000 zł?

– Odp.: Po 10 latach.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: