Ciekawe liczby.pdf

Ciekawe liczby

Pośród liczb są również takie, które posiadają interesujące właściwości. Dowiedz się, co

to liczby bliźniacze, doskonałe, polindromiczne czy złote.

Liczby pierwsze

Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwsza. Liczb

pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego

czasu używa się do tego komputerów. Największa znana dziś liczba pierwsza została odkryta

w lipcu 2004 roku (Findley, Woltman, Kurowski) ma postać 2 24036583 -1. Ma ona aż 7 milionów

235 tysiące 733 cyfr.

Po co szuka się takich olbrzymek? Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy

obliczeniowej superkomputerów. Bez nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować

informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych. Są także bardzo

użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania błędów w przekazie

obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej jakości.

Świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby

pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa 11 111 111 111 111 111 111

111. Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z

liczb: 23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Niektóre liczby pierwsze to palindromy,

np.: 11, 757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np.: 13 i 31, 37 i 73, 79

i 97, 113 i 311.

W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował,

dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb

pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd.

Liczby względnie pierwsze

Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie pierwszymi.

Przykłady liczb względnie pierwszych: 6 i 13 , 20 i 35 ....

Liczby bliźniacze

Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 to liczby bliźniacze. Przykładami par liczb bliźniaczych

są: 3 i 5 ; 5 i 7; 11 i 13 ; 17 i 19. Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie

wiele par liczb bliźniaczych. Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para 260497545 x

26625 + 1 i 260497545 x 26625 - 1.

Liczby doskonałe

Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników

właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb

(dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:

D6={1,2,3} 1+2+3=6

D28={1,2,4,7,14} 1+2+4+7+14=28

D496={1,2,4,8,16,31,62,1 24,248} 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496

Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6

szczególne znaczenie. Wcześni komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28

specjalnego sensu. Bo czyż nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi

w czasie 28 nocy? Wiele wymiarów w świątyni Salomona nawiązuje do liczby sześć. Żyjący

na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i

piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, że liczb doskonałych będzie dużo.

I rzeczywiście Euklides zauważył, że liczby postaci 2 p-1 (2 p - 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest

liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą

liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku - była to 33550336. Dwa tysiące lat po

Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają postać

zaproponowaną przez Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby doskonałe. Szczęśliwym

dla liczb doskonałych był rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny

liczącej. Do tej pory znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią

znaleziono w 2001 roku.

Liczby zaprzyjaźnione

Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie

dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy

od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284.

Dzielniki właściwe liczby 220 to:

{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} więc 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

Dzielniki właściwe liczby 284 to:

{1,2,4,71,142} więc 1+2+4+71+142=220

Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para liczb 1184 i 1210.

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Znanych jest blisko 8000 par liczb

zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby

zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie

mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami

zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.

Liczby palindromiczne

Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem.

Przykłady liczb palindromicznych: 55, 494, 30703, 414, 5115...

Liczba złota

Liczba 1/2(√5-1) to liczba złota. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw.

złotego podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni

Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze.

Wielki astronom Kepler powiedział:

"Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział

odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby

kamień drogocenny".

Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu

pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

Liczba złota ma ciekawe własności:

- aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę,

- aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

Liczby Fermata

Liczby postaci Fk = 2 2^k +1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną. Matematyk francuski P.

de Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać są liczbami pierwszymi.

Okazało się, że liczby F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537 są liczbami pierwszymi,

natomiast F5 = 4294967297 jest liczbą złożoną i dzieli się przez 641.

Liczby Mersenne'a

Liczby postaci 2p-1, gdzie p jest liczba pierwszą. Przyjmując p = 2,3,5,7, otrzymujemy liczby

Mersenne'a pierwsze, natomiast 211-1=2047=23*89 jest liczbą złożoną. Nie wiadomo, czy

wśród liczb Mersenne'a jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, nie wiadomo też, czy

wśród tych liczb jest nieskończenie wiele liczb złożonych. Liczby Mersenne'a zasługują na

szczególną uwagę, gdyż wśród nich możliwe jest wskazanie największych znanych liczb

pierwszych. Największą znaną obecnie liczbą Mersenne'a pierwszą jest liczba 2 216091 -1,

mającą w rozwinięciu dziesiętnym 65050 cyfr. Znalezienie każdej nowej liczby Mersenne'a

pierwszej powoduje odkrycie nowej parzystej liczby doskonałej.

Liczby trójkątne

Liczby postaci t k =k(k+1)/2, gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba t k jest sumą k kolejnych liczb

naturalnych. Nazwa liczby trójkątne pochodzi stąd, że t k jest liczbą monet jednakowej

wielkości, z których można utworzyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z k monet.

Przykłady liczb trójkątnych:

t 1 =1, t 2 =3, t 3 =6, t 4 =10.

Liczby lustrzane

Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86,

3245 i 5423, 17 i 71. Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak

otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221:11=192.

Liczby Fibonacciego

Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch

pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich (tj. 1,1,2,3,5,8,13... ). Nazwa pochodzi od imienia

Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten ciąg. Ciąg Fibonacciego to

ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie

przyrastającej w latach (np. drzewa). Róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka

układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się,

że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski

szyszki.

Autor dokumentu: Janina Świątek

Link do źródła: http://j-swiatek.w.interia.pl

Autor: Janina Świątek

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: