RÓZNE FIZYKA WAHADŁA.pdf

(151 KB) Pobierz
Microsoft Word - cwicz5.doc
Maria Nowotny-Ró ￿ a ￿ ska
Zespół Fizyki, Akademia Rolnicza
do u ￿ ytku wewn ￿ trznego
￿ WICZENIE 5
Wyznaczanie przy ￿ pieszenia ziemskiego
przy pomocy wahadła matematycznego i fizycznego
Kraków, 02.2007
Spis tre ￿ ci:
I. CZ ￿￿￿ TEORETYCZNA........................................................................................................................... 2
P R ￿ DKO ￿￿ I PRZY ￿ PIESZENIE W RUCHU POST ￿ POWYM .................................................................................... 2
R UCH OBROTOWY .......................................................................................................................................... 2
P RAWO GRAWITACJI ....................................................................................................................................... 4
P RZY ￿ PIESZENIE ZIEMSKIE .............................................................................................................................. 4
R UCH HARMONICZNY ..................................................................................................................................... 4
W AHADŁO MATEMATYCZNE .......................................................................................................................... 6
W AHADŁO FIZYCZNE ...................................................................................................................................... 7
1. Wahadło fizyczne - obr ￿ cz....................................................................................................................7
2. Wahadło fizyczne - pr ￿ t.........................................................................................................................8
II. CEL ￿ WICZENIA ..................................................................................................................................... 9
III. WYKONANIE ￿ WICZENIA .................................................................................................................. 9
A. P OMIAR PRZY ￿ PIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO . .............................. 9
B. P OMIAR PRZY ￿ PIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA FIZYCZNEGO - OBR ￿ CZY ......................... 9
C. P OMIAR PRZY ￿ PIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA FIZYCZNEGO - PR ￿ TA .............................. 9
IV. OPRACOWANIE WYNIKÓW ............................................................................................................... 9
LITERATURA UZUPEŁNIAJ ￿ CA............................................................................................................ 10
ZAKRES WYMAGANYCH WIADOMO ￿ CI:
Zasady dynamiki dla ruchu post ￿ powego i obrotowego (poj ￿ cie siły, masy, momentu siły,
momentu bezwładno ￿ ci). Prawo grawitacji, przyspieszenie ziemskie. Wahadło
matematyczne i fizyczne. Ruch harmoniczny. Okres drga ￿ wahadła matematycznego i
fizycznego.
2
I. CZ ￿￿￿ TEORETYCZNA
Pr ￿ dko ￿￿ i przy ￿ pieszenie w ruchu post ￿ powym
Pr ￿ dko ￿￿ (oznaczana liter ￿ v) jest to miara szybko ￿ ci zmian poło ￿ enia ciała. Jest to
wielko ￿￿ wektorowa, (tzn. posiada warto ￿￿ , kierunek, zwrot ). Podstawow ￿ jednostk ￿
pr ￿ dko ￿ ci w układzie SI jest m/s. Wyró ￿ niamy pr ￿ dko ￿￿ ￿ redni ￿ , która odpowiada
dowolnemu, sko ￿ czonemu przedziałowi czasu Dt, oraz pr ￿ dko ￿￿ chwilow ￿ , gdy Dt d ￿￿ y do
zera:
C
D
D
s
t
dS
dt
v
=
lim
D
=
(1)
chwil
®
0
Przy ￿ pieszenie (oznaczane liter ￿ a ) jest miar ￿ szybko ￿ ci zmian pr ￿ dko ￿ ci ciała
zachodz ￿ cych w czasie. Przy ￿ pieszenie jest równie ￿ wielko ￿ ci ￿ wektorow ￿ , a jego
jednostk ￿ jest m/s 2 . Podobnie jak w przypadku pr ￿ dko ￿ ci, rozró ￿ niamy przy ￿ pieszenie
￿ rednie dla dowolnego, sko ￿ czonego przedziału czasu Dt, oraz przy ￿ pieszenie chwilowe,
gdy Dt d ￿￿ y do zera:
C
D
v
C
dv
dt
C
a
=
lim
D
chwil
=
(2)
chwil
D
t
t
®
0
Korzystaj ￿ c z definicji pr ￿ dko ￿ ci chwilowej, mo ￿ emy przy ￿ pieszenie zapisa ￿ jako
drug ￿ pochodn ￿ drogi po czasie:
C
2
C
d S
dt
a
chwil =
(3)
2
Ruch obrotowy
Bryła sztywna porusza si ￿ ruchem obrotowym wokół pewnej osi, je ￿ li wszystkie
punkty tego ciała poruszaj ￿ si ￿ po współosiowych okr ￿ gach le ￿￿ cych w płaszczyznach
prostopadłych do osi obrotu. Ka ￿ da zmiana w ruchu obrotowym spowodowana jest
przyło ￿ eniem do bryły sztywnej siły C F , daj ￿ cej niezerowy moment C M siły w kierunku osi
obrotu. Momentem siły C M , nazywamy iloczyn wektorowy ramienia siły r oraz siły C F :
®
® ®
= ´
M r F
(4)
gdzie D M jest wektorem le ￿￿ cym na osi obrotu. (Rys.1).
Rys.1. Bryła sztywna z zaznaczon ￿ przyło ￿ on ￿ sił ￿ , ramieniem siły i wektorem momentu
siły.
Zgodnie z I-sz ￿ zasad ￿ dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego je ￿ li momenty
wszystkich sił działaj ￿ cych na ciało (brył ￿ sztywn ￿ ) równowa ￿￿ si ￿ wzajemnie, to ciało
pozostaje w spoczynku lub porusza si ￿ ruchem obrotowym jednostajnym (tzn. ze stał ￿ co
do wielko ￿ ci i kierunku pr ￿ dko ￿ ci ￿ k ￿ tow ￿ C w ).
Natomiast wg II-giej zasady dynamiki Newtona je ￿ li na ciało działa
niezrównowa ￿ ony moment siły, to ciało porusza si ￿ ruchem obrotowym jednostajnie
C C
t
3
zmiennym z przy ￿ pieszeniem k ￿ towym C e , które jest wprost proporcjonalne do warto ￿ ci
tego momentu, a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładno ￿ ci I:
C
M
C
e=
I
(5)
Przy ￿ pieszenie k ￿ towe C e jest miar ￿ szybko ￿ ci zmian pr ￿ dko ￿ ci k ￿ towej ciała
zachodz ￿ cych w czasie. Jest to wektor le ￿￿ cy na osi obrotu. Rozró ￿ niamy przy ￿ pieszenie
k ￿ towe ￿ rednie dla dowolnego, sko ￿ czonego przedziału czasu, oraz przy ￿ pieszenie
chwilowe, gdy D t d ￿￿ y do zera:
C
D
D
w w
d
dt
e chwil
=
lim
D
=
(6)
t
®
0
Aby obliczy ￿ moment bezwładno ￿ ci I nale ￿ y podzieli ￿ brył ￿ sztywn ￿ na bardzo
wiele (N) elementów o masach m i (Rys.2). Ka ￿ dy z nich jest odległy od osi obrotu bryły o
r i . Moment bezwładno ￿ ci wyrazi si ￿ wtedy wzorem:
I m r m r
=
2
+
2
+ +
...
m N N
2
1 1
2 2
Rys.2. Bryła sztywna z zaznaczon ￿ osi ￿ obrotu, elementami masy m i oraz ich
odległo ￿ ciami r i od osi obrotu.
Wprowadzaj ￿ c znak S powy ￿ sz ￿ sum ￿ mo ￿ emy zapisa ￿ nast ￿ puj ￿ co:
I
=
= Ã
N
m i i
2
i
1
Moment bezwładno ￿ ci ciała zale ￿ y zarówno od kształtu bryły sztywnej jak i od
poło ￿ enia osi obrotu. Je ￿ li znamy moment bezwładno ￿ ci bryły I S wzgl ￿ dem osi
przechodz ￿ cej przez ￿ rodek ci ￿￿ ko ￿ ci bryły, to mo ￿ emy, korzystaj ￿ c z twierdzenia
Steinera, znale ￿￿ moment bezwładno ￿ ci I wzgl ￿ dem dowolnej osi równoległej do
poprzedniej. Jest on równy:
I = I S + md 2 (7)
gdzie d oznacza odległo ￿￿ pomi ￿ dzy osi ￿ przechodz ￿ c ￿ przez ￿ rodek ci ￿￿ ko ￿ ci S oraz
now ￿ osi ￿ (Rys.3).
Rys.3. Ilustracja twierdzenia Steinera
C C
t
4
Prawo grawitacji
Ka ￿ de dwa ciała przyci ￿ gaj ￿ si ￿ z sił ￿ grawitacji C F , której warto ￿￿ jest wprost
proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał m 1 , m 2 , a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu
odległo ￿ ci pomi ￿ dzy nimi:
C
m
m
r
F
=
-
G
1
2
(8)
r
2
r
gdzie G jest współczynnikiem proporcjonalno ￿ ci zwanym stał ￿ grawitacji i wynosi
6.67 10 -11 Nm 2 /kg 2 . Kierunek siły C F pokrywa si ￿ z lini ￿ ł ￿ cz ￿ c ￿ ￿ rodki mas m 1 i m 2 .
Je ￿ li rozpatrzymy układ obejmuj ￿ cy Ziemi ￿ (M) oraz badane ciało (m) znajduj ￿ ce
si ￿ na powierzchni Ziemi, to sił ￿ grawitacji mo ￿ emy zapisa ￿ wzorem:
F =
G
M
m
R
2
gdzie R jest promieniem Ziemi. Wzór ten mo ￿ na zapisa ￿ w innej postaci:
F
=
m
M
=
m
g
(9)
R
2
gr
gdzie g gr jest wielko ￿ ci ￿ stał ￿ w danym punkcie Ziemi, i nosi nazw ￿ przy ￿ pieszenia
grawitacyjnego. Warto ￿￿ przy ￿ pieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi nie jest
stała, gdy ￿ Ziemia jest nieco spłaszczona na biegunach i ma kształt zbli ￿ ony do elipsoidy.
Przy ￿ pieszenie ziemskie
Na ka ￿ de ciało znajduj ￿ ce si ￿ w polu ci ￿￿ ko ￿ ci Ziemi działa siła ci ￿￿ ko ￿ ci D Q
(inaczej zwana ci ￿￿ arem ciała), która nadaje ciału przy ￿ pieszenie C g z zwane
przy ￿ pieszeniem ziemskim:
C
C
Q
m
g
Z =
(10)
Przy ￿ pieszenie ziemskie jest to zatem takie przy ￿ pieszenie, z którym poruszaj ￿ si ￿
wszystkie ciała swobodnie spadaj ￿ ce na powierzchni ￿ Ziemi, bez wzgl ￿ du na swoj ￿ mas ￿ .
Siła ci ￿￿ ko ￿ ci C Q jest wypadkow ￿ kilku sił, w ￿ ród których dominuje siła grawitacji.
Niewielki udział maj ￿ równie ￿ siła od ￿ rodkowa i siła wyporu powietrza. Siła od ￿ rodkowa
F o , działaj ￿ ca na ciała znajduj ￿ ce si ￿ na powierzchni Ziemi, jest skutkiem ruchu
obrotowego Ziemi wokół własnej osi. Warto ￿￿ siły od ￿ rodkowej działaj ￿ cej na ciało o
masie m zale ￿ y od pr ￿ dko ￿ ci k ￿ towej w (która jest stała we wszystkich punktach Ziemi)
oraz odległo ￿ ci r danego ciała od osi obrotu Ziemi. Kierunek siły od ￿ rodkowej jest zawsze
prostopadły do osi obrotu Ziemi, a jej warto ￿￿ ro ￿ nie w miar ￿ przesuwania si ￿ od bieguna,
gdzie wynosi zero, do równika, gdzie przyjmuje warto ￿￿ maksymaln ￿ .
Siła od ￿ rodkowa jest mała w porównaniu z sił ￿ grawitacji Ziemi. Nawet na równiku
stosunek tych dwóch sił wynosi zaledwie 1:288. Przy ￿ pieszenie ziemskie dla Krakowa
wynosi 9.981 m/s 2 .
Warto ￿￿ siły ci ￿￿ ko ￿ ci zwi ￿ zana jest równie ￿ z budow ￿ wewn ￿ trzn ￿ Ziemi, a w
szczególno ￿ ci z budow ￿ skorupy ziemskiej. Nauka, która bada zwi ￿ zek siły ci ￿￿ ko ￿ ci
(i przy ￿ pieszenia ziemskiego) z figur ￿ i budow ￿ wewn ￿ trzn ￿ Ziemi nazywa si ￿
grawimetri ￿ . Precyzyjny pomiar siły ci ￿￿ ko ￿ ci w ró ￿ nych punktach Ziemi dostarcza
informacji o rozkładzie g ￿ sto ￿ ci o ￿ rodka w rejonie obserwacji, umo ￿ liwiaj ￿ c badania
struktur geologicznych i poszukiwanie złó ￿ kopalin. Podstawow ￿ wielko ￿ ci ￿ mierzon ￿ w
grawimetrii jest przy ￿ pieszenie ziemskie. Jego warto ￿￿ mo ￿ na zmierzy ￿ m.in. przy pomocy
wahadła matematycznego, fizycznego czy bardziej skomplikowanych przyrz ￿ dów zwanych
grawimetrami.
Ruch harmoniczny
C
5
Ruch harmoniczny jest ruchem drgaj ￿ cym, odbywaj ￿ cym si ￿ pod wpływem siły F,
która w ka ￿ dej chwili jest wprost proporcjonaln ￿ do wychylenia x ciała z poło ￿ enia
równowagi:
-= (11)
gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalno ￿ ci. Poprzez wychylenie rozumiemy
odległo ￿￿ drgaj ￿ cego ciała od poło ￿ enia równowagi. Znak minus oznacza, ￿ e zwrot siły
jest przeciwny do kierunku wychylenia.
Przykładem ciała poruszaj ￿ cego si ￿ ruchem harmonicznym mo ￿ e by ￿ ci ￿￿ arek
drgaj ￿ cy na spr ￿￿ ynie (Rys.4). Jego drgania odbywaj ￿ si ￿ pod wpływem siły spr ￿￿ ysto ￿ ci
spr ￿￿ yny. Siła ta zgodnie z prawem Hooke’a jest wprost proporcjonalna do wydłu ￿ enia
spr ￿￿ yny.
F C
×
x
Rys.4. Ci ￿￿ arek zawieszony na spr ￿￿ ynie w ró ￿ nych fazach drga ￿
Korzystaj ￿ c z II - giej zasady dynamiki Newtona i ró ￿ niczkowej definicji
przy ￿ pieszenia (3), równanie ruchu harmonicznego (11) mo ￿ na przedstawi ￿ nast ￿ puj ￿ co:
k x m d x
d t
2
- × =
2
(12)
sin w f 0 (13)
gdzie A i f o to stałe całkowania. A jest amplitud ￿ , tzn. maksymalnym wychyleniem z
poło ￿ enia równowagi, za ￿ f o - faz ￿ pocz ￿ tkow ￿ . Wyra ￿ enie (wt+f) jest faz ￿ drgania
harmonicznego. Wielko ￿￿ w nazywana jest cz ￿ sto ￿ ci ￿ drgania harmonicznego i zwi ￿ zana
jest z okresem drga ￿ T nast ￿ puj ￿ co:
x A
= ×
(
t
+
)
w
= 2
T
p
(14)
Okres drga ￿ T jest to czas jednego pełnego drgnienia.
Cz ￿ stotliwo ￿￿ ruchu harmonicznego f jest to liczba pełnych drga ￿ zachodz ￿ cych w
jednostce czasu.
f
= =
1
w
p
(15)
2
Korzystaj ￿ c ze wzorów (1), (3) i (13) mo ￿ emy wyliczy ￿ pr ￿ dko ￿￿ i przy ￿ pieszenie
w ruchu harmonicznym:
v
=
dx
dt
=
d
dt
[
A
sin
(
w f
t
+
0
)
]
= × ×
A
w
cos
(
w f
t
+
0
)
(16)
Gdy cos(wt+f o )=1, pr ￿ dko ￿￿ przyjmuje warto ￿￿ maksymaln ￿ v max :
v
max
= × w
A
C
Rozwi ￿ zaniem powy ￿ szego równania ró ￿ niczkowego jest funkcja okresowa w
postaci:

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin