wyklad01.pdf

WykÃlad1

DziaÃlaniewzbiorze

Deﬁnicja. DziaÃlaniem wniepustymzbiorze A nazywamyka˙zdeodwzorowaniezbioru A×A

wzbi´or A .Je˙zeli ± jestdziaÃlaniemwzbiorze A oraz a,b2A ,toelement ± (( a,b ))oznaczamy

przez a±b inazywamy wynikiemdziaÃlania±naparze ( a,b ).

OznaczeniadziaÃla´n: ± , 2 ,+, · , − , © , ¯ ,itd.

PrzykÃlad1.Niech m> 1b , edzieliczb , anaturaln , ai Z m = { 0 , 1 ,...,m− 1 } .Wzbiorze Z m

okre´slamy dodawaniemodulom oznaczaneprzez © m i mno˙zeniemodulom oznaczaneprzez ¯ m

wtenspos´ob,˙zedladowolnych a,b2Z m :

a© m b =resztazdzielenia a + b przez m, (1)

a¯ m b =resztazdzielenia a·b przez m. (2)

Np.2 ¯ 4 2=0,2 © 5 4=1,itd. 2

Okre´slenieciaÃla

Niech K b , edziezbioremposiadaj , acymconajmniejdwaelementy.Niech+i · b , ed , adziaÃlaniami

wzbiorze K zwanymiodpowiednio dodawaniem i mno˙zeniem orazniechb , ed , awyr´o˙znionew

zbiorze K dwaelementynazywane zerem i jedynk , a ioznaczanesymbolami0i1odpowiednio.

Powiemy,˙ze K ztymidziaÃlaniamiiwyr´o˙znionymielementami0,1jest ciaÃlem ,je˙zelispeÃlnione

s , anast , epuj , acewarunki(aksjomatyciaÃla):

A1. 8 a,b2K a + b = b + a .

A2. 8 a,b,c2K ( a + b )+ c = a +( b + c ).

A3. 8 a2K a +0= a .

A4. 8 a2K 9 x2K a + x =0.

A5. 8 a,b2K a·b = b·a .

A6. 8 a,b,c2K ( a·b ) ·c = a· ( b·c ).

A7. 8 a2K a· 1= a .

A8. 8 a,b,c2K a· ( b + c )= a·b + a·c .

A9. 8 a2K\{ 0 } 9 y2K a·y =1.

PodstawowymprzykÃlademciaÃlajestciaÃloliczbwymiernych(zezwykÃlymdodawaniemi

mno˙zeniemliczb).Oznaczamyjesymbolem Q .

Zbi´orliczbrzeczywistychzezwykÃlymidziaÃlaniamidodawaniaimno˙zeniatworzyciaÃlo.Oz-

naczamyjeprzez R inazywamy ciaÃlemliczbrzeczywistych .

Deﬁnicja.Ka˙zdypodzbi´or K ciaÃla R zawieraj , acyliczby0,1,kt´oryjestciaÃlemzewzgl , edu

nazwykÃledodawanieizwykÃlemno˙zenieliczbrzeczywistych(obci , etedo K )nazywamy ciaÃlem

liczbowym .

Stwierdzenie1.Podzbi´or KµR jestciaÃlemliczbowymwtedyitylkowtedy,gdy0 , 1 2K

orazdladowolnych a,b2K mamy,˙ze a−b2K idladowolnych a2K , b2K\{ 0 } mamy,˙ze

b 2K .

b = a· 1 b 2K ,bo a, 1 b 2K .

( .ZzaÃlo˙zeniamamy,˙ze0 , 1 2K .We´zmydowolne a,b2K .Wtedy −b =0 −b2K ,wi , ec

aksjomatA4jestspeÃlnionyw K oraz a + b = a− ( −b ) 2K ,czylidodawaniejestwykonalne

w K .Poniewa˙zaksjomatyA1-A3s , aspeÃlnionew R ,wi , ectymbardziejs , aonespeÃlnionew K .

Niech b2K\{ 0 } .Wtedy 1 b 2K ,bo1 2K .Wynikast , ad,˙zeaksjomatA9jestspeÃlnionyw

K .We´zmydowolne a2K , b2K\{ 0 } .Wtedy a·b = a· 1 1 b 2K ,gdy˙z 1 b 2K .Ponadtodla

a2K jest a· 0=0 2K ,wi , ecmno˙zeniejestwykonalnew K .St , adaksjomatyA5-A8te˙zs , a

speÃlnionew K iostatecznie K jestciaÃlem. 2

PrzykÃlad2.Niech d> 1b , edzieliczb , anaturaln , a,kt´ora ni ejestpodziel n aprzezkwadrat

liczbypierwszej(np.2,3,5,6,7,10, it d.).W´owcza s zbi´or Q ( p d )= {x + y p d : x,y2Q} jest

ciaÃlemliczbowym,bo0=0+0 · p d ,1=1+0 · p d orazdla x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 2Q :

( x 1 + y 1 p q ) − ( x 2 + y 2

p d )=( x 1 −x 2 )+( y 1 −y 2 ) p d2Q ( p d ),

bo x 1 −x 2 ,y 1 −y 2 2Q .Zauwa˙zmyte˙z,˙zedladowolnych x,y2Q :

d =0 ,x = y =0 . (3)

Rzeczywi´scie,je´sli x + y p d =0,t o dla y6 =0, sqrtd = − x y 2Q ,wi , ecistniej , awzgl , edniepierwsze

liczbynaturalne a , b takie,˙ze

x + y

d = a b ,sk , ad b 2 d = a 2 .Ale d> 1,wi , ec a> 1iistniejeliczba

pierwsza p taka,˙ze p|a .Zatem p 2 |b 2 d oraz p niedzieli b ,gdy˙zliczby a i b s , awzgl , edniepierwsze,

czylist , ad p 2 |d imamysprzeczno´s´czokre´ sl eniemliczby d .Zatem y =0iwkonsekwencji x =0.

Je´sliza´s x = y =0,tooczywi´scie x + y p d =0.

Niechteraz x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 2 Q b , ed , a takie,˙ze x 2 + y 2

0,wi , ec x 1 + y 1 p d

p d = ( x 1 + y 1 p d )( x 2 −y 2 p d )

p d ) = ( x 1 x 2 −y 1 y 2 d )+( y 1 x 2 −x 1 y 2 p d

p d6 =0.W te dyz(3)mamy,˙ze x 2 −y 2

p d 6 =

x 2 2 −dy 2 2 = x 1 x 2 −y 1 y 2 d

x 2 2 −dy 2 2 + y 1 x 2 −x 1 y 2

Q ( p d ).Zatemnamocystwie rd zenia1, Q ( p d )jestciaÃlemliczbowym. 2

( x 2 + y 2

p d )( x 2 −y 2

x 2 2 −dy 2 2

P rzy k Ã l ad 3 .Zbi´or {x + 3 p 2: x,y2Q} niejestciaÃlemliczbowym,gdy˙zmo˙znapokaza´c,˙ze

3 p 4= 3 p 2 · 3 p 2nienale˙zydotegozbioru. 2

PrzykÃlad4.Niech p b , edziedowoln , aliczb , apierwsz , a.W´owczaszbi´or Z p zdziaÃlaniami © p

i ¯ p okre´slonymiwprzykÃladzie1izwyr´o˙znionymielementami0,1tworzyciaÃlo,kt´orema

dokÃladnie p -element´ow.Wdowodzietegofaktuwykorzystujesi , etzw. twierdzenieodzieleniuz

reszt , a ,zkt´oregowynika,˙zedladowolnejliczbycaÃlkowitej a istniejedokÃladniejednapara( q,r )

liczbcaÃlkowitychtaka,˙ze a = g·p + r i r2Z p .We´zmydowolne a,b2Z p .Zprzemienno´sci

dodawaniaizprzemienno´scimno˙zenialiczbcaÃlkowitychodrazuwynika,˙ze a© p b = b© p a

i a¯ p b = b¯ p a .Ponadto a© p 0=[resztazdzielenia a +0= a przez p ]= a i a¯ p 1=

[resztazdzielenia a· 1= a przez p ]= a .Je˙zeli a6 =0,to a> 0,wi , ec p−a2Z p oraz a© p ( p−

a )=[resztazdzielenia a +( p−a )= p przez p ]=0i0 © p 0=0,wi , ecaksjomatA4jest

speÃlniony.We´zmydowolne a,b,c2Z p .Wtedyistnieje q 1 2Z takie,˙ze a + b = q 1 p + a© p b .

Ponadtoistnieje q 2 2Z takie,˙ze( a© p b )+ c = q 2 p +[( a© p b ) © p c ],wi , ec a + b + c =

Dow´od. ) .ZzaÃlo˙zenia0 , 1 2K .We´zmydowolne b2K .Wtedyistnieje x2K takie,

˙ze b + x =0,sk , ad −b2K dlaka˙zdego c2K .Niech a,b2K .Wtedy −b2K ,wi , ec

a−b = a +( −b ) 2K .We´zmydowolne b2K\{ 0 } .Wtedyistnieje y2K takie,˙ze b·y =1,

sk , ad 1 b 2K dlaka˙zdego b2K\{ 0 } .Zatemdladowolnych a2K , b2K\{ 0 } mamy,˙ze

p d2

x 2 + y 2

( q 1 + q 2 ) p +[( a© p b ) © p c ],czyli( a© p b ) © p c =resztazdzielenia a + b + c przez p .Podobnie

pokazujemy,˙ze a© p ( b© p c )=resztazdzielenia a + b + c przez p ,wi , ec( a© p b ) © p c = a© p ( b© p c ).

ZupeÃlnieanalogiczniedowodzimy,˙ze( a¯ p b ) ¯ p c = a¯ p ( b¯ p c )oraz a¯ p ( b© p c )= a¯ p b© p a¯ p c .

We´zmyterazdowolne a2Z p \{ 0 } .Zauwa˙zmy,˙zeelementy a¯ p 0 ,a¯ p 1 ,...,a¯ p ( p− 1)

s , aparamir´o˙zne,gdy˙zinaczejistniej , aliczbycaÃlkowite x,y2{ 0 , 1 ,...,p− 1 } takie,˙ze x>y

oraz a¯ p x = a¯ p y ,sk , ad p|ax−ay ,czyli p|a ( x−y ).Ale p niedzieli a ,wi , ec p|x−y .

Lecz x−y jestliczb , anaturaln , amniejsz , aod p ,wi , ecmamysprzeczno´s´c.St , adwynika,˙ze

{a¯ p 0 ,a¯ p 1 ,...,a¯ p ( − 1) } = { 0 , 1 ,...,p− 1 } ,wi , ecdlapewnego t2Z p jest a¯ p t =1.

ZatemaksjomatA9te˙zjestspeÃlnionyiostatecznie Z p jestciaÃlem 2

PrzykÃlad5.NieistniejeciaÃlo,kt´orema6element´ow,aleistniej , aciaÃla4-roi8-mioelemen-

towe. 2

WÃlasno´scidziaÃla´nwciele

Niech( K, + ,·, 0 , 1)b , edziedowolnymciaÃlem.W´owczaszachodz , anast , epuj , acewÃlasno´sci:

1.Prawaskracaniar´owno´sci:

(a)je´sli a + c = b + c ,to a = b ,

(b)je´sli a·c = b·c i c6 =0,to a = b .

Dow´od.(a).ZA4istnieje t2K takie,˙ze c + t =0,wi , ec( a + b )+ t =( b + c )+ t ,sk , adz

A2: a +( c + t )= b +( c + t ),czyli a +0= b +0izA3: a = b .

(b).ZA9istnieje y2K takie,˙ze c·y =1,wi , ec( a·c ) ·y =( a·c ) ·y ,sk , adzA6, a· ( c·y )= b· ( c·y ),

czyli a· 1= b· 1,awi , eczA7, a = b . 2

2.Element x zA4jestwyznaczonyjednoznacznieprzezelement a .

Dow´od.Niech y2K b , edzietakie,˙ze a + y =0.Wtedy a + y = a + x ,sk , adzA1i1(a)

mamy,˙ze y = x . 2

Uwaga1.Tenjedynyelement x zA4nazywamy elementemprzeciwnym do a ioznaczamy

przez( −a ).Poniewa˙zzA1:( −a )+ a =0,wi , ec a jestelementemprzeciwnymdo( −a )imamy

wz´or:

− ( −a )= a .

3. a· 0=0.

Dow´od.ZA3:0=0+0,wi , ec a· 0= a· (0+0)= a· 0+ a· 0,namocyA8.St , adzA3:

a· 0+ a· 0= a· 0+0iz1(a), a· 0=0. 2

4.0 6 =1.

Dow´od.Poniewa˙zzbi´or K maconajmniejdwaelementy,wi , ecistnieje a2K takie,˙ze a6 =0

iwtedyzA7: a = a· 1orazz3: a· 0=0,wi , ec0 6 =1. 2

5.Element y zA9jestwyznaczonyjednoznacznieprzezelement a .

Dow´od.Niech z2K b , edzietaki,˙ze a·z =1.WtedynamocyA5, z·a = y·a i a6 =0,wi , ec

namocy1(b), z = y . 2

Uwaga2.Tenjedynyelement y zA9nazywamy elementemodwrotnym doelementu a6 =0

ioznaczamyprzez a − 1 lub 1 a .Je´sli a − 1 =0,to1= a·a − 1 = a· 0=0,namocy3i0=1wbrew

4.Zatem a − 1 6 =0orazzA5, a − 1 ·a =1,czyli a jestelementemodwrotnymdoelementu a − 1 i

dladowolnego a6 =0mamywz´or:

( a − 1 ) − 1 = a .

6.( −a ) ·b = a· ( −b )= − ( a·b )oraz( −a ) · ( −b )= a·b .

Dow´od.NamocyA8i3mamy,˙ze a· ( −b )+ a·b = a· ( b +( −b ))= a· 0=0,wi , ec

a· ( −b )jestelementemprzeciwnymdo a·b ,czyli a· ( −b )= − ( a·b ).St , adizA5mamy,˙ze

( −a ) ·b = b· ( −a )= − ( b·a )= − ( a·b )oraz( −a ) · ( −b )= − [( −a ) ·b ]= − [ − ( a·b )]= a·b . 2

Odejmowaniewciele K okre´slamynast , epuj , aco:

a−b def = a +( −b ) . (4)

7. a· ( b−c )= a·b−a·c .

Dow´od.Z(4),A8iz6mamy,˙ze a· ( b−c )= a· ( b +( −c ))= a·b + a· ( −c )= a·b +[ − ( a·c )]=

a·b−a·c . 2

Dzielenieprzezniezeroweelementy b wcieleokre´slamynast , epuj , aco:

= a·b − 1 . (5)

8.Je˙zeli a6 =0i b6 =0,to a·b6 =0.

Dow´od.We´zmydowolne a,b2K\{ 0 } .Je˙zeli a·b =0,tonamocyA5i3, a·b =0 ·b ,

sk , ad a =0namocy1(b)imamysprzeczno´s´c.St , ad a·b6 =0. 2

Uwaga3.Niech a,b2K\{ 0 } .Wtedyz8jest a·b6 =0oraz( a·b ) · ( 1 a · 1 b )=( a· 1 a ) · ( b 1 b )=

1 · 1=1,wi , ecmamywz´or:

a·b = 1 a · 1 b .

Wciele K mo˙zemyokre´sli´ciloczynelementu a2K przezdowoln , aliczb , ecaÃlkowit , a n w

nast , epuj , acyspos´ob:

> > > > > <

| {z }

, gdy n jestliczb , anaturaln , a

n·a def =

0 , gdy n jestliczb , acaÃlkowit , a0

( −a )+( −a )+ ... +( −a )

| {z }

|n|

> > > > > :

, gdy n< 0

. (6)

Mo˙znawykaza´c(jestto˙zmudne),˙zedladowolnychliczbcaÃlkowitych m , n idladowolnych

a,b2K zachodz , awÃlasno´sci:

9. na + ma =( n + m ) a oraz na−ma =( n−m ) a .

10. n ( ma )=( nm ) a .

11.( na ) · ( mb )=( nm )( a·b ).

12. na + nb = n ( a + b ).

Wciele K mo˙zemyte˙zokre´sli´ccaÃlkowit , anieujemn , apot , eg , edowolnegoelementu a2K

przyjmuj , ac,˙ze

a 0 =1 (7)

a n = a ·a ·. ..·a

dlanaturalnych n. (8)

def

a + a + . .. + a

| {z }

Przezprost , aindukcj , emo˙znawykaza´c,˙zew´owczasdladowolnych m,n2N 0 orazdladowolnych

a,b2K zachodz , awzory:

13. a n ·a m = a n + m .

14.( a n ) m = a nm .

15.( a·b ) n = a n ·b n .

n X

16.( a + b ) n =

a n−k ·b k .

k =0

Dlaniezerowychelement´ow a ciaÃla K mo˙zemyroszerzy´cdeﬁnicj , e(7)-(8)nawszystkieliczby

caÃlkowite n wtenspos´ob,˙zedla n< 0przyjmujemy,˙ze

µ 1

¶ −n

a n =

. (9)

Mo˙znawykaza´c,˙zew´owczaswzory(13)-(15)s , aprawdziwedladowolnychcaÃlkowitych m , n i

dladowolnych a,b2K\{ 0 } .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: