calki teoria + zadania.pdf

(84 KB) Pobierz
58
Podstawy rachunku całkowego
Przykro mi, że nie znam szeregu Fouriera. Brak roz-
wiązań: 73,74,75
58.
Całka oznaczona w geometrycznej interpretacji to pole obszaru płaskiego
zawartego miedzy między linią 0
y i osią OX
= x
f
( ³
)
b
ò
f )
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
-
F
(
a
a
Gdzie )
F =
' x
(
x
)
f
(
Całkę oznaczoną stosuje się np. w obliczaniu geometrycznych właściwości
krzywych.
59.
Z definicji całki mamy:
b
ò
f )
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
|
a a
=
F
(
b
)
-
F
(
a
Warunki:
b
-
f 0
(
x
)
³
0
=>
ò
f
(
x
)
dx
³
a
b
-
f 0
(
x
)
<
0
=>
ò
f
(
x
)
dx
<
a
b
b
-
f )
(
x
)
£
g
(
x
)
=>
ò
f
(
x
)
dx
£
ò
g
(
x
dx
a
a
c
b
c
-
ò
f )
(
x
)
dx
=
ò
f
(
x
)
dx
+
ò
f
(
x
dx
a
a
b
a
b
-
ò
f )
(
x
)
dx
=
-
ò
f
(
x
dx
b
a
Całka sumy równa się sumie całek:
b
b
b
ò
(
f )
(
x
)
+
g
(
x
))
dx
=
ò
f
(
x
)
dx
+
ò
g
(
x
dx
a
a
a
Powyższy wzór jest to tzw. addytywność całki względem funkcji pod-
całkowej. Całka oznaczona posiada własność liniowości. wzór ten należy
rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika
istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.
Prawdziwy jest również wzór:
b
b
ò
xf )
(
)
dx
=
K
(
b
-
a
a
Km ££ , przy czym m
oznacza kres dolny, a M kres górny funkcji )
( xf w przedziale
< b
a ,
>
Na podstawie własności Darboux, która mówi, że funkcja ciągła przybiera
wszystkie wartości pośrednie pomiędzy swoimi kresami górnym i dolnym,
wzór powyższy można zapisać w postaci:
b
ò
xf )
(
)
dx
=
f
(
c
)(
b
-
a
a
Gdzie c jest liczbą spełniającą nierówność b
ca £
£
, jeżeli funkcja pod-
całkowa )
( xf , jest ciągła w przedziale
< b
a , .
>
Całka jako funkcja górnej granicy.
Jeżeli funkcja )
( tf jest ciągła w przedziale
< b
a , , to funkcja:
>
xh )
(
)
=
ò
f
(
t
dt
a
Jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale
< b
a , i
>
w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek )
xh =
(' x
f
(
( xf w przedziale (a,b) skończonym lub
nie nazywamy każdą funkcję różniczkowalną )
( xF , taką że )
xF =
(' x
)
f
(
dla każdego )
x Î
( b
a
,
( xF jest funkcją pierwotną funkcji )
( xf , to
każda inna funkcja pierwotna funkcji )
( xf jest równa C
xF +
)( gdzie
C Î jest pewną stałą. Nie każda funkcja ma funkcję pierwotną. Te, które
mają nazywamy funkcjami całkowalnymi
R
61.
Całka nieoznaczona funkcji )
( xf to rodzina wszystkich funkcji pierwot-
nych.
ò
f )
(
x
dx
ò
xf )
)( , gdy )
dx
= C
F
(
x
(' x
)
f
(
- symbol całkowania
f - funkcja podcałkowa
C - stała całkowania
x - zmienna całkowania
f(x)dx - wyrażenie podcałkowe
Gdzie K jest liczbą spełniającą nierówność M
b
)
60.
F jest funkcją pierwotną funkcji )
. Jeżeli )
xF =
gdzie:
ò
62.
(tu mam dylemat, bo w moich źródłach podawano zerowe, pierwsze i dru-
gie, co prawda drugie było oznaczone jako twierdzenie Newtona-Leibniza),
no, więc podam obydwa. I tak:
Zerowe twierdzenie podstawowe rachunku całkowego:
a , , a zaś dowolnie
ustaloną liczbą w tym przedziale, to funkcja górnej granicy całkowania F
dana wzorem:
< b
>
x
F
(
x
)
=
ò
f
(
)
dt
a
jest ciągła w przedziale <a,b>
Pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego:
Jeżeli funkcja R
f
:
< ,
a
b
>
®
jest ciągła, to funkcja R
F >®
: dana
b
x
wzorem:
F
( (funkcja górnej granicy całkowania) ma pochodną
x
)
=
ò
f
(
t
dt
a
F =
' x
(
x
)
f
(
)
w każdym punkcie
x ,
Î< b
a
>
63.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale
< b
a , , F zaś jest jakąkolwiek
>
jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to:
ò
f )
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
-
F
(
a
a
64.
(
Jeśli potrafimy znaleźć takie h ( x ) , że h '( x ) = f ( x ) , to możemy przekształcić
tę całkę do postaci:
ò
f )
x
)
g
(
x
dx
f )
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
ò
h
'
(
x
)
g
(
x
)
dx
=
h
(
x
)
g
(
x
)
-
ò
h
(
x
)
g
'
(
x
dx
ò
x cos
cos
xdx
=
x
sin
x
-
ò
1
sin
xdx
=
x
sin
x
+
x
+
C
Jeżeli f jest funkcją całkowalna w przedziale
t
< ,
a
)
b
Metoda całkowania przez części ma jedną generalną zasadę, którą można
opisać następującym wzorem przy całce typu:
ò
107987521.003.png
65.
ò
ln
xdx ln
=
x
ln
x
-
ò
1
xdx
=
x
x
-
x
+
C
x
66.
1
ln(
1
+
x
2
)
ò
arctgxdx
= 2
xarctgx
-
ò
x
dx
=
xarctgx
-
1
+
x
2
67.
Jeżeli dla a £ x £ b funkcja g ( x ) = u jest ciągła i ma ciągłą pochodną oraz A £ g ( x )
£ B , zaś funkcja f ( u ) jest ciągła w przedziale [ A , B ], to całkowanie przez pod-
stawienie opiera się na wzorze:
ò
f )
g
(
x
))
g
'
(
x
)
dx
= du
ò
f
(
u
u =
g
( x
ò
sin 3
x cos
xdx
=
sin 4 x
4
68.
ò
ln 2
x
dx
= 2
( )
ln
x
x
69.
e
x
ò
dx
=
arctg
(
e
x
)
e
2
x
+
1
70.
Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste:
Załóżmy, że mamy funkcję:
2
x , oczywiście w takim przypadku
+ x
7
x
2
+
8
+
15
warto, aby funkcja w mianowniku posiadała dwa pierwiastki ta posiada
Tak więc mamy:
2
x
+
7
=
A
+
B
=
A
(
x
+
)5
+
B
(
x
+
)3
=
(
A
+
B
)
x
+
5
A
+
3
B
no i
(
x
+
3
)(
x
+
)5
x
+
3
x
+
5
(
x
+
3
)(
x
+
)5
(
x
+
3
)(
x
+
)5
właśnie te A i B to są współczynniki nieoznaczone ;)
Wystarczy je oznaczyć:
+ B
B
=
2
=
5
A
+
3
7
(
Przy czym po scałkowaniu należy zamienić )
A
107987521.004.png 107987521.005.png
 
Wyznaczamy metodą Gaussa :
5
A
-
5
B
=
-
10
5
A
+
3
B
=
7
-
2
B
=
-
3
B
=
1
1
2
A
+
1
1
=
2
2
A
=
1
2
I stąd:
1
1
1
2
x
+ x
7
2
2
=
+
x
2
+
8
x
+
15
x
+
3
+
5
Dlaczego ważne to jest przy całkach? Bo Z wyrażenia dość zawiłego robią
nam się dwa ułamki proste które można śmiało całkować. Tą metodą
należy rozwiązać dwa kolejne zadania.
71.
ò
2 x
2 2
x
+ 6)
1
dx
=
ln(
+
x
-
x
+
x
-
6
72.
ò
4
2 )
x
+ dx
x
18
=
6
arctg
(
6
(
x
+ x
)3
)
+
2
ln(
x
2
+
6
+
15
x
+
6
+
15
6
73.
Chodzi tu o narysowanie byle jakiego wykresu i policzenie powierzchni pod
wykresem za pomocą kwadratów. Wykonać należy dwa razy z większą do-
kładnością przy drugim liczeniu.
-
107987521.001.png 107987521.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin