Podstawy planowania eksperymentu.pdf

6. PODSTAWY PLANOWANIA EKSPERYMENTU

6.1. Pojęcie i rola badań doświadczalnych

Przez eksperyment rozumiemy badanie jakiegoś zjawiska, polegające na celowym

wywoływaniu tego zjawiska lub jego zmian oraz obserwacji i pomiarach, umożliwiających

wnioskowanie o jego właściwościach. Eksperyment przeprowadza się na drodze badań

doświadczalnych mających na celu poznanie informacji o faktach, obiektach, zjawiskach

bądź procesach. Na podstawie zgromadzonych informacji określa się model zjawiska , który

stanowi jego reprezentację w postaci użytkowej wyrażającej istotne jego cechy. Istnieją

modele lingwistyczne, fizyczne, matematyczne. Najczęściej stosowany model

matematyczny jest opisem zjawiska za pomocą liczb, zmiennych, zbiorów, funkcji, relacji

itd. Znajomość modelu matematycznego umożliwia przewidywanie przebiegu zjawiska lub

zachowania obiektu w różnych warunkach. Podstawy teoretyczne badań doświadczalnych

ujmuje dziedzina wiedzy nazywana teorią eksperymentu . Obejmuje ona następujące

zagadnienia:

1. planowanie eksperymentów,

2. metodykę modelowania matematycznego,

3. technikę przeprowadzania pomiarów,

4. analizę wyników pomiarów.

Zanim powstała teoria eksperymentu badania doświadczalne dotyczyły prostych

obiektów o jednej wielkości wejściowej. Eksperyment polegał na przeprowadzeniu

pomiarów wielkości wyjściowej y dla L arbitralnie wybranych wartości wielkości

wejściowej x oraz wyznaczeniu funkcji aproksymującej y = f( x ). Wraz ze wzrostem

złożoności analizowanych obiektów, spowodowanym zwiększeniem liczby wielkości

wejściowych, badania doświadczalne realizowano w oparciu o dwie metody: metodę badań

kompletnych i monoselekcyjnych.

W metodzie badań kompletnych doświadczenie odbywało się w następujący sposób:

a) dla każdej zmiennej x k , k = 1, 2, ..., s wybierano L wartości równomiernie

rozmieszczonych w przedziale [ x k min , x k max ],

b) dla każdej kombinacji wartości wielkości wejściowych wykonywano pojedynczy

pomiar,

c) na podstawie przeprowadzonych pomiarów wyznaczano funkcję aproksymującą f( ⋅ ).

Graficzna interpretacja tej metody na przykładzie poszukiwania ekstremum obiektu o

dwóch zmiennych wejściowych przedstawiona została na rys. 6.1.

Metoda badań kompletnych była skuteczną metodą identyfikacji funkcji obiektu badań

dla jednej lub dwóch zmiennych wejściowych. Adoptowanie tej metody do obiektów o

większej liczbie zmiennych prowadziło do eksplozji kombinatorycznej wynikającej z liczby

koniecznych do wykonania pomiarów:

n = L S (6.1)

Przykładowo dla s = 10, L = 10, oraz przyjmując czas trwania jednego pomiaru równy

1s uzyskujemy całkowity czas badań kompletnych wynoszący ponad 317lat!

W celu ograniczenia liczby wykonywanych pomiarów opracowano metodę badań

monoselekcyjnych , w której zastosowano procedurę właściwą obiektowi badań o jednym

wejściu w odniesieniu do obiektu o wielu wejściach. W metodzie tej dla każdej zmiennej x k

wybierano L wartości równomiernie rozmieszczonych w przedziale [ x k min , x k max ]. Następnie

dokonywano pojedynczego wyboru ( monoselekcji ) kolejnych wartości x k i badano wpływ

tej wielkości na wielkość wyjściową y .

y max

y = f( x 1 , x 2 )

x 2

x 1

Rys. 6.1. Plan kompletny dla dwóch zmiennych wejściowych

Równocześnie przyjmowano, iż wartości pozostałych wielkości wejściowych są stałe:

x q = const, q = 1, 2, ..., s ; q ≠ k . W ten sposób całkowicie ignorowano współzależności

między wielkościami wejściowymi i zamiast funkcji wielu zmiennych y = f( x 1 , x 2 , ..., x k , ..., x s )

uzyskiwano jedynie zbiór wielu funkcji jednej zmiennej y = f k ( x k ) dla arbitralnych wartości

pozostałych zmiennych (rys. 6.2).

y = f( x 1 , x 2 )

x 2

y max

y = f 2 ( x 2 )

x 1 = x 1 opt = const

x 2 opt

x 1

y = f 1 ( x 1 )

x 2 = const

x 1 opt

Rys. 6.2. Badania monoselekcyjne dla dwóch zmiennych wejściowych.

Poszukiwane ekstremum funkcji nie zostaje wyznaczone

W porównaniu do metody badań kompletnych osiągnięto znaczną redukcję liczby

koniecznych do przeprowadzenia pomiarów:

∑ =

( )

−

1 (6.2)

Dla s = 10, L = 10, oraz przyjmując czas trwania jednego pomiaru równy 1s całkowity

czas badań monoselekcyjnych uległ skróceniu do zaledwie 91s.

Ze względu na ograniczenia metody kompletnej i monoselekcyjnej przy analizie

złożonych obiektów zaistniała potrzeba opracowania nowych metod badawczych. Nastąpił

rozwój teorii eksperymentu. Powstały metody planowania badań doświadczalnych, które

umożliwiły zwiększenie ilości i jakości uzyskiwanej informacji naukowej. Zmniejszeniu

uległa liczba koniecznych do przeprowadzenia pomiarów, a więc zredukowano koszty i

czas trwania badań.

Badania kompletne i monoselekcyjne pozostawiały swobodę wyboru wartości wielkości

wejściowych ( punktów pomiarowych ) dla których realizowano eksperyment, natomiast

wyniki pomiarów analizowano matematycznie dopiero po przeprowadzeniu doświadczenia.

Wykorzystując zasady teorii eksperymentu ustala się wstępnie cel i metodę analizy

wyników pomiarów, natomiast punkty pomiarowe generowane są na podstawie

określonych procedur matematycznych. Pojedynczy punkt pomiarowy, będący

s –wymiarowym wektorem wartości wielkości wejściowych, nazywany jest układem planu

eksperymentu , natomiast zbiór wszystkich punktów pomiarowych stanowi plan

eksperymentu . W zależności od celu badań i stosowanych metod analizy uzyskuje się

rozmieszczenie punktów, które pozwala na:

- uwypuklenie poszukiwanych cech obiektu np. liniowości, współzależności zmiennych

wejściowych, niezależności wielkości wyjściowej od wielkości wejściowych,

- wyznaczenie ekstremum globalnego funkcji obiektu badań,

- zmniejszenienakładu obliczeniowego przy identyfikacji modelu obiektu.

Jak wspomnieliśmy celem badań doświadczalnych jest zwykle wyznaczenie modelu

obiektu badań. W ogólności rozróżnia się identyfikację strukturalną polegającą na ustalaniu

struktury modelu i wyznaczeniu wartości jego parametrów, oraz identyfikację

parametryczną polegającą na ustaleniu wartości parametrów modelu przy a priori danej

strukturze modelu. Wyznaczenie dokładnego modelu badanego obiektu jest bardzo trudne

ze względu na oddziaływanie na rzeczywisty obiekt wielu trudnych lub niemożliwych do

zmierzenia zakłóceń losowych. Z tego względu w teorii eksperymentu stosuje się

identyfikację parametryczną, w której przy założonej strukturze modelu i określonych

danych wejściowych wyznacza się takie wartości parametrów, które zminimalizują

niedokładność modelu. Przyjmuje się postać funkcji aproksymującej model obiektu

(najczęściej wielomian algebraiczny) i wyznacza się wartości współczynników tego

wielomianu korzystając z metody regresji.

Planowanie eksperymentu odbywa się zatem według następującego scenariusza:

a) charakterystyka obiektu badań polegająca na sformułowaniu zagadnienia

wymagającego rozwiązania na drodze doświadczalnej, ustaleniu wielkości

charakteryzujących obiekt badań (wielkości wejściowe, wyjściowe, stałe i zakłócające),

oraz przyjęciu liczby poziomów zmiennych wejściowych, czyli wybranie wartości, które

mogą przyjmować zmienne wejściowe,

b) ustalenie celu badań doświadczalnych , którym może być:

- identyfikacja modelu obiektu badań,

- optymalizacja empiryczna – wyznaczenie ekstremum globalnego modelu obiektu,

- badania eliminacyjne – eliminacja wielkości wejściowych o nieistotnym znaczeniu,

c) generacja lub wybór planu eksperymentu najlepiej dostosowanego do obiektu badań

i przyjętego celu badań doświadczalnych,

d) realizacja pomiarów w oparciu o wybrany plan doświadczenia,

e) analiza danych empirycznych zmierzająca do osiągnięcia założonego celu badań

doświadczalnych,

f) analiza merytoryczna rezultatów przeprowadzonych badań polegająca na logicznej

ocenie zjawisk związanych z badanym obiektem,

g) sformułowanie wniosków poznawczych, praktycznych i rozwojowych z

przeprowadzonych badań.

W dalszej części niniejszego rozdziału omówione zostały podstawowe zagadnienia z

zakresu planowania i analizy eksperymentu. Przedstawione wiadomości zaczerpnięto ze

specjalistycznej literatury poświęconej metodologii prowadzenia badań empirycznych [1-5],

adresowanej do inżynierów różnych specjalności, zajmujących się doświadczalnictwem

oraz identyfikacją modeli matematycznych obiektów.

6.2. Charakterystyka obiektu badań

Metody planowania eksperymentu mają charakter uniwersalny, niezależny od

merytorycznego obszaru, w którym realizowany jest eksperyment. Uzyskano to dzięki

wprowadzeniu uniwersalnego, przyczynowo-skutkowego modelu obiektu badań (rys. 6.3),

który opisują następujące wielkości modelujące:

a) niezależne wielkości wejściowe : { x 1 , x 2 , ..., x k , ..., x s }, k = 1, 2, ..., s ,

b) zależne wielkości wyjściowe : { y 1 , y 2 , ..., y p , ..., y w }, p = 1, 2, ..., w ,

c) wielkości stałe { c }, które mają wpływ

na działanie układu, ale ich wartości są

ustalone i niezmienne w czasie, przez

co mogą zostać pominięte w analizie

statystycznej,

d) wielkości zakłócające { h }, których

istnienie spowodowane jest oddziały-

waniem losowych czynników w

obiekcie badań na wielkości

wyjściowe oraz niedoskonałościami

metod i środków pomiarowych.

Do wielkości wejściowych wlicza się te, których wpływ na wielkości wyjściowe

interesuje realizatora badań. Mogą to być wielkości: fizyczne, chemiczne, techniczne,

ekonomiczne i inne. W odniesieniu do każdej wielkości wejściowej określa się zakresy

wartości x k min ≤ x k ≤ x k max , k = 1, 2, ..., s zakładając, iż eksperyment jest fizycznie

realizowalny jeżeli wartości mieszczą się w wyznaczonych przedziałach.

W celu uniezależnienia się od fizycznej interpretacji oraz zmniejszenia błędów

numerycznych podczas analizy danych empirycznych wielkości wejściowe normuje się do

bezwymiarowego przedziału [-α, α]. Wielkość α jest nazywana ramieniem gwiezdnym i

stanowi jeden z elementów charakteryzujących plan eksperymentu.

Normowanie wielkości wejściowej x k realizowane jest zgodnie ze wzorem:

( ) α

x 1

x 2

x k

x s

OBIEKT

BADAŃ

y 1

y 2

y p

y w

Rys. 6.3. Uniwersalny, statyczny

model obiektu badań

x (

−

min

−

(6.3)

−

max

min

Rzeczywistą wartość wielkości wejściowej uzyskuje się przez zastosowanie

przekształcenia odwrotnego zwanego denormowaniem :

( ) (

−

)

(6.4)

max

min

Jeżeli wszystkie wielkości modelujące są niezależne od czasu wówczas mamy do

czynienia z obiektem statycznym . W przeciwnym razie, jeżeli przynajmniej jeden z

parametrów jest funkcją czasu, wówczas operujemy pojęciem obiekt dynamiczny . Metody

identyfikacji obiektów dynamicznych są dużo bardziej złożone bowiem wymagają

rozwiązywania równań różniczkowych i w związku z tym nie będą omawiane w tym

podręczniku.

Analizę obiektu badań opisanego liczbą w > 1 wielkości wyjściowych sprowadza się

przez dekompozycję do analizy w obiektów o jednym wyjściu. Dalsze rozważania będą

dotyczyły obiektu zawierającego i -wejść x k , k = 1, 2, ..., s oraz jedno wyjście y .

6.3. Metody planowania eksperymentu

Kolejnym etapem badań doświadczalnych (po charakterystyce obiektu i ustaleniu celu

badań) jest wyznaczenie zbioru punktów pomiarowych czyli generacja lub wybór planu

eksperymentu. Algorytmy generacji planów ustala teoria eksperymentu na podstawie

określonych reguł matematycznych. Prowadząc badania doświadczalne najczęściej

wybieramy jeden plan z bazy planów eksperymentów dedykowany określonemu celowi

badawczemu np. identyfikacji modelu liniowego, optymalizacji modelu liniowo-

kwadratowego, badaniu wpływu poszczególnych składników na właściwości mieszaniny

chemicznej.

W zapisie matematycznym plan eksperymentu stanowi macierz



...,









...,





...,

...



(6.5)





...,







...,

...





...,



gdzie: n – liczba układów planu eksperymentu; s – liczba zmiennych wejściowych.

Wiersz x u = [ x u 1 , x u 2 , ..., x uk , ..., x us ] macierzy X stanowi układ planu eksperymentu.

Istnieją różne klasyfikacje planów w zależności od struktury modelu identyfikowanego

obiektu, parametrów wielkości modelujących oraz celu badań doświadczalnych.

Liczba poziomów L zmiennych wejściowych x k determinuje plan L -poziomowy

( dwupoziomowy , trójpoziomowy, wielopoziomowy ).

W zależności od proporcji liczby punktów pomiarowych n oraz liczby parametrów P

identyfikowanego modelu wyróżnia się:

a) plany nienasycone , w których n > P ,

b) plany nasycone , w których n = P .

Rząd planu doświadczenia uzależniony jest natomiast od stopnia wielomianu

aproksymującego model obiektu. Aproksymacja wielomianem algebraicznym stopnia i

wymaga zastosowania planu i-tego rzędu .

(





Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: