27dyn

DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

Układ punktów materialnych      zbiór punktów materialnych, w którym położenie każdego punktu jest zależne od położenia innych punktów.

Układ punktów swobodnych        układ punktów materialnych, których ruch nie jest ograniczony żadnymi więzami.

Układ punktów nieswobodnych        układ punktów

materialnych, których ruch jest ograniczony nałożonymi na te punkty więzami.

W układzie punktów materialnych występują siły wewnętrzne i zewnętrzne.

                  2                                  3          P3

             S2,1                    Sji

                         Sij

              S1,2           S1,4           S4,1

                 1                                   4            P4

              P1     Rys. 23     Pi        siły zewnętrzne

                                         Sij       siły wewnętrzne Sij = -Sji

Z zależności Sij = -Sji wynika, że             (24)

Podobnie suma momentów sił wewnętrznych względem dowolnego punktu wynosi zero, gdyż siły te parami się równoważą. Zapisujemy to wzorem

                                (25)

gdzie promień wektor           z          mi

                                                                                Sij

                                                         ri           zi

                                                                           xi       y

     Rys.24                         x              yi

28dyn

Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu i-tego

punktu materialnego ma postać

                                                  (a)

Równanie wektorowe (a) odpowiada 3 równaniom skalarnym. W przypadku n punktów mamy 3n równań różniczkowych. Rozwiązanie takiego układu równań różniczkowych jest bardzo trudne i tylko w szczególnych przypadkach można uzyskać efektywne rozwiązanie.

Środek masy punktów materialnych

Środkiem masy punktów materialnych nazywamy punkt C którego położenie w przestrzeni określa promień wektor rC

                                                               (25)

                                                               gdzie 

                            z

                       zC                              mn

                        zi

                                    mi                          C

                  m2       ri            rC

                                                    m3

                  m1                   yi                       yC       y

                        0

                 xi

           xC 

       x                                                     Rys.25

We współrzędnych kartezjańskich (25) ma postać                  (26)

29dyn

Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu

Zsumujmy stronami równania (a), rozciągając sumowanie na wszystkie n punktów układu, w efekcie otrzymamy

                                      (b)

                                                     0

                                    {patrz (25)}

ostatecznie

                                                            (27)

gdzie     jest sumą geometryczną wszystkich sił

                              zewnętrznych działających na układ

Równanie (27) jest równoważne trzem równaniom skalarnym

            ,   ,                        (28)

Zasada ruchu środka masy

Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza

się tak, jakby była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne.

Z równania (27) wynika, że jeśli:

       P = 0 to aC = 0 czyli VC = constans                          (c)

Z warunku (c) otrzymujemy: Zasadę zachowania ruchu

                                                    środka masy

Jeśli suma geometryczna sił zewnętrznych działających na dany układ punktów materialnych jest równa zeru, to środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

30dyn

Przykład 13

Na końcu A stojącej nieruchomo na wodzie łódki AB o

długości b i masie M stoi człowiek, którego masa równa jest m1 (rys.26a). Obliczyć, o ile przesunie się łódka, gdy człowiek przejdzie na drugi jej koniec (rys.26b). Przy rozwiązywaniu zadania pominąć opór wody.

   a)    y

                                S              m1

         B                                    A             x

                     c        Mg

                          b

   b)    y            m1             S

           0      B                                    A             x

                                c        Mg

                  x                 b

                                                             Rys.26

Rozwiązanie

Rozpatrywany układ materialny złożony jest ...