Algebra 1-02 przestrzenie liniowe, wektory.pdf

(81 KB) Pobierz
19536662 UNPDF
Wykład2
Niech V b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡iniech U , W b¦d¡podprzestrzeniami V
wtedyb¦dziemymówi¢,»e V jest sum¡prost¡ przestrzeni U i V je±li:
1. V = U + W ,
2. U \ W = { 0 } ,
ib¦dziemyu»ywa¢zapisu: V = U W .
Przykład Przestrze«R
k 1 v 1 + k 2 v 2 + ··· + k n v n
nazywamy liniow¡kombinacj¡ wektorów v 1 ,v 2 ,...,v n owspółczynnikach
k 1 ,k 2 ,...,k n .
Niech A V b¦dzieniepustympodzbioremw V .Wtedyprzez Lin ( A )ozna-
cza¢b¦dziemyzbiórwszystkichmo»liwychsko«czonychkombinacjiliniowych
wektorówzezbioru A ,czyli:
Lin ( A )= { k 1 a 1 + ··· + k n a n ; a i 2 A,k i 2 K,n 2 N }
Lin ( A )nazywa¢b¦dziemydomkni¦ciemliniowymzbioru A .
Twierdzenie1 ZbiórLin ( A ) jestpodprzestrzeni¡przestrzeniV.Jestto
najmniejszapodprzestrze«przestrzeniVzawieraj¡cazbiórA.
Własno±cifunkcji Lin ():
1. Lin ( Lin ( A ))= Lin ( A ),
2. Lin ( A \ B ) Lin ( A ) \ Lin ( B ).
Je±lidlapewnego A V mamy Lin ( A )= V tob¦dziemymówi¢,»ezbiór A
generuje V lub,»e A jestzbioremgeneratorówprzestrzeni V .
Mówimy,»eukładwektorów v 1 ,v 2 ,...,v n 2 V jest liniowoniezale»ny je±li:
k 1 v 1 + k 2 v 1 + ··· + k n v n = 0 ) k 1 = k 2 = ... = k n =0
Je±liukładwektorówniejestliniowoniezale»nytomówimy,»ejesttoukład
liniowozale»ny .
Przykłady
1.Wektory(1 , 2 , 3 , 1) , (1 , 1 , 1 , 1) , (1 , 0 , 0 , 0)s¡liniowoniezale»newprzestrzeni
R 4 .
2.Wektory(1 , 1 , 1 , 1) , (2 , 3 , 4 , 5) , (3 , 4 , 5 , 6)s¡liniowozale»nebo:
(1 , 1 , 1 , 1)+(2 , 3 , 4 , 5) − (3 , 4 , 5 , 6)=(0 , 0 , 0 , 0) .
1
2 jestsum¡prost¡podprzestrzeni U = { ( x, 0); x 2
R } i W = { (0 ,y ); y 2 R } .
Niech v 1 ,v 2 ,...,v n b¦d¡wektoramiwprzestrzeni V iniech k 1 ,k 2 ,...,k n 2 K
b¦d¡skalaramiwtedywektor:
3.Wektory1 ,x,...,x n s¡liniowoniezale»newprzestrzeniR[ x ].
4.Funkcjesin x ,cos x s¡liniowoniezale»newprzestrzeni C .
5.Je±liw±ródwektorów v 1 ,v 2 ,...,v n jestwektorzerowytoukładtenjest
liniowozale»ny.Je±liwukładzietymdwawektorysi¦powtarzaj¡tote»s¡
liniowozale»ne.
6.Mo»nate»mówi¢oliniowejniezale»no±cijednegowektora v ,amianowicie:
wektor v jestliniowoniezale»nywtedyitylkowtedygdy v 6 = 0 .
Rozpatrzmyjeszczejedenprzykład:
Sprawdzimy,czywektory(1 , 1 , 1 , 1),(2 , 1 , 2 , 1),(2 , 3 , 4 , 1),(1 , 2 , 3 , 4)s¡linio-
woniezale»newprzestrzeniR
x (1 , 1 , 1 , 1)+ y (2 , 1 , 2 , 1)+ z (2 , 3 , 4 , 1)+ t (1 , 2 , 3 , 4)=(0 , 0 , 0 , 0) .
Zadanietosprowadzasi¦dobadaniarozwi¡zalno±ciukładurówna«:
8
> > > <
x +2 y +2 z + t =0
x + y +3 z +2 t =0
x +2 y +4 z +3 t =0
x + y + z +4 t =0
> > > :
układtenmo»nazapisa¢wpostacimacierzowej:
2
6 6 6 4
3
7 7 7 5
2
6 6 6 4
x
y
z
t
3
7 7 7 5 =
2
6 6 6 4
0
0
0
0
3
7 7 7 5
Zauwa»my,»ekolumnamimacierzywspółczynnikóws¡poprostuwyj±ciowe
wektory.Wiemyzteoriirówna«jednorodnych,»enaszukładrówna«ma
dokładniejednorozwi¡zaniewtedyitylkowtedygdy
det
2
6 6 6 4
1221
1132
1243
1114
3
7 7 7 5
6 =0
Atooznacza,»ewektory(1 , 1 , 1 , 1) , (2 , 1 , 2 , 1) , (2 , 3 , 4 , 1) , (1 , 2 , 3 , 4)s¡liniowo
niezale»newtedyitylkotedygdy
2
1221
1132
1243
1114
3
det
6 6 6 4
7 7 7 5
6 =0
2
4 .Musimysprawdzi¢dlajakich x,y,z,t liniowa
kombinacja: x (1 , 1 , 1 , 1)+ y (2 , 1 , 2 , 1)+ z (2 , 3 , 4 , 1)+ t (1 , 2 , 3 , 4)jestrównaze-
ro,czylibadamyrozwi¡zaniarównania:
1221
1132
1243
1114
Ogólnierozpatrzmy m wektorów v 1 ,v 2 ,...,v m wprzestrzeni K n .Niech A
b¦dziemacierz¡,którejkolumnamis¡współrz¦dnewektorów v 1 ,v 2 ,...,v m .
Wtedymamy:
1.Je±li n = m towektory v 1 ,v 2 ,...,v n s¡liniowoniezale»newtedyitylko
wtedygdydet A 6 =0.
2.Wektory v 1 ,v 2 ,...,v m s¡liniowoniezale»newtedyitylkowtedygdy
r ( A )= m .
Poj¦cieliniowejniezale»no±cimo»nauogólni¢naniesko«czonezbiorywek-
torów.Niech A V b¦dziepodzbioremwprzestrzeni V .B¦dziemymówi¢,
»ezbiórtenjestliniowoniezale»nyje±lika»dysko«czonyukład a 1 ,a 2 ,...,a n
ró»nychwektorówzezbioru A jestliniowoniezale»ny.
Przykład Zbiór A = { (1 , 0 , 0 ,... ) , (0 , 1 , 0 ,... ) ,... } jestzbioremliniowonie-
zale»nymwprzestrzeniR N .
Bazaprzestrzeniliniowej
Zbiór B V nazywamy baz¡ przestrzeniliniowej V je±li
1. V = Lin ( B ).
2.Zbiór B jestliniowoniezale»ny.
Twierdzenie2 Je±liBjestbaz¡przestrzeniliniowejVtoka»dywektorma
jednoznaczneprzedstawieniewpostaciliniowejkombinacjielementówzbioru
B.
B¦dziemymówi¢,»ezbiór B jest maksymalnymzbioremliniowonie-
zale»nym wprzestrzeni V ,je±li B jestliniowoniezale»nyika»dyzbiórza-
wieraj¡cy B jestliniowozale»ny.
B¦dziemymówi¢,»ezbiór B jest minimalnymzbioremgeneratorów
przestrzeni V ,je±li V = Lin ( B )idlaka»degopodzbioru B 1 B mamy
V 6 = Lin ( B 1 ).
Tedwapoj¦ciadaj¡równowa»nedefinicjebazyprzestrzeniliniowej.
Twierdzenie3 Nast¦puj¡cewarunkis¡równowa»ne:
(i) zbiórBjestbaz¡przestrzeniV,
(ii) zbiórBjestminimalnymzbioremgeneratorówprzestrzeniV,
(iii) zbiórBjestmaksymalnymzbioremliniowoniezale»nymprzestrzeniV.
Dowód
(i) ) (ii)Niech b 2 B .Poniewa» B jestzbioremliniowoniezale»nymto
wektora b niedasi¦wyrazi¢przypomocyinnychwektorówzezbioru B .Za-
temje±li B 1 jestwła±ciwympodzbioremzbioru B to B 1 niemo»egenerowa¢
przestrzeni V bowektorynale»¡cedo B \ B 1 nienale»¡do Lin ( B 1 ).
3
(ii) ) (iii)Zbiór B musiby¢liniowoniezale»ny(gdybybyłliniowozale»ny
tomo»nabygobyłozmniejszy¢otrzymuj¡cmniejszyzbiórgeneratorów).
Poniewa» B jestzbioremgeneratorówtoka»dywektorz V dasi¦wyrazi¢jako
liniowakombinacjawektorówz B ,awi¦czwi¦kszeniezbioru B spowoduje
”utrat¦”liniowejniezale»no±ci.
(iii) ) (i)Zbiór B jestliniowoniezale»nyije±li v 2 V \ B tozbiór B [{ v }
jestliniowozale»ny(wynikatozmaksymalno±ci B ),awi¦c v mo»nawyrazi¢
jakoliniow¡kombinacj¦elementówzbioru B .Tooznacza,»e B jestrównie»
zbioremgeneratorów,awi¦cjestbaz¡.
Przykłady
1.Układ(1 , 0 , 0 , 0),(0 , 1 , 0 , 0),(0 , 0 , 1 , 0),(0 , 0 , 0 , 1)jestbaz¡przestrzeniR
4
4.Przestrze«R[ x ]mabaz¦:1 ,x,x 2 ,x 3 ,... .
5.Układ A = { (1 , 0 , 0 ,... ) , (0 , 1 , 0 ,... ) ,... } jestzbioremliniowoniezale»nym
wprzestrzeniR N aleniejestbaz¡bonaprzykładwektora(1 , 1 , 1 ,... )nie
dasi¦zapisa¢wpostaciliniowejkombinacjiwektorówzezbioru A (gdy»w
Lin ( A )znajduj¡si¦tylkosko«czoneliniowekombinacje!!!).
6.Przestrze«CnadciałemCposiadabaz¦,któraskładasi¦zwektora1.
7.Przestrze«CnadciałemRposiadabaz¦,któraskładasi¦zwektorów1 ,i .
4
4 .
2.Układwektorów e 1 =(1 , 0 ,..., 0), e 2 =(0 , 1 ,..., 0), ... , e n =(0 , 0 ,..., 1)
jestbaz¡przestrzeni K n .Baz¦t¡b¦dziemynazywa¢baz¡kanoniczn¡(albo
standardow¡)przestrzeni K n .
3.Układ(1 , 1 , 1 , 1),(1 , 1 , 1 , 0),(1 , 1 , 0 , 0),(1 , 0 , 0 , 0)równie»jestbaz¡prze-
strzeniR

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin