Wykład 6 - przestrzenie liniowe II.pdf

(157 KB) Pobierz
54714894 UNPDF
ALGEBRA WYKŁAD 5
Przestrzenie liniowe
JacekJ¦drzejewski
2008/2009
1
1 Liniowa zale»no±¢ układu wektorów
Niech
V
b¦dziedowoln¡przestrzeni¡liniow¡nadciałemK .
Definicja 1 Układ ( u 1 ,..., u m ) wektorówzprzestrzeni V nazywamylinio-
wozale»nym,je±liistniej¡elementy 1 ,..., m wciele K ,niewszystkierówne
zeruitakie,»e
1 u 1 + ··· + m u m = 0 .
Definicja 2 Układ ( u 1 ,..., u m ) wektorówzprzestrzeni V nazywamylinio-
woniezale»nym,je±liniejestonukłademliniowozale»nym.
jestli-
niowoniezale»ny,je±linieistniej¡elementy 1 ,..., m wcieleK , niewszyst-
kierównezeruitakie,»e
V
1 u 1 + ··· + m u m = 0 ,
czyli:dlaka»degoukładuelementów( 1 ,..., m )zciałaKwarunek
1 u 1 + ··· + m u m = 0
implikujerówno±ci
1 =0 ,..., m =0 .
Wartopodkre±li¢,»eje±li 1 =0 ,..., m =0,to
1 v 1 + ... + n v m = 0
dlaka»degoukładu v 1 ,..., v m wektorówzprzestrzeniV .
Przykład 1 Rozwa»myprzestrze« R
4 nadciałem R .Wektory e 1 , e 2 , e 3 i
e 4 ,gdzie
e 1 =(1 , 0 , 0 , 0) , e 2 =(0 , 1 , 0 , 0) , e 3 =(0 , 0 , 1 , 0) , e 4 =(0 , 0 , 0 , 1) ,
s¡liniowoniezale»ne.
2
Zauwa»amywi¦c,»eukładwektorów( u 1 ,..., u m )zprzestrzeni
Istotnie,je±li
1 e 1 + 2 e 2 + 3 e 3 + 4 e 4 = 0 ,
to
( 1 , 2 , 3 , 4 )=(0 , 0 , 0 , 0) ,
czyli
1 =0 , 2 =0 , 3 =0 , 4 =0 .
Przykład 2 Wtejsamejprzestrzeni R
4 nadciałem R wektory a 1 , a 2 i a 3 ,
gdzie
a 1 =( − 2 , 1 , 3 , 4) , a 2 =(3 , 4 , 1 , 1) , a 3 =(1 , 2 , 4 , 5) ,
s¡liniowoniezale»ne.
Istotnie,je±li 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 ,to
( − 2 1 +3 2 + 3 , 1 +4 2 +2 3 , 3 1 + 2 +4 3 , 4 1 + 2 +5 3 )=
=(0 , 0 , 0 , 0) .
Powstajewtensposóbukładrówna«
8
<
− 2 1 +3 2 + 3 =0 ,
1 +4 2 +2 3 =0 ,
3 1 + 2 +4 3 =0 ,
4 1 + 2 +5 3 =0 ,
któryjestrównowa»nyukładowi
8
<
:
1 +4 2 +2 3 =0 ,
11 2 +5 3 =0 ,
− 11 2 − 2 3 =0 ,
− 15 2 − 3 3 =0 .
:
St¡dwynika,»e 3 =0 , 2 =0 , 1 =0 .
3
Przykład 3 Wtejsamejprzestrzeni R
4 nadciałem R wektory a 1 , a 2 i a 3 ,
gdzie
a 1 =(1 , − 1 , 1 , 1) , a 2 =(2 , 1 , 1 , − 1) , a 3 =( − 5 , 2 , − 4 , − 2) ,
s¡liniowozale»ne,
gdy»3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 .
Odnotujmyterazpodstawowewłasno±ciliniowozale»nychiliniowonieza-
le»nychukładówwektorów.
Własno±¢ 1 Wka»dejprzestrzeniliniowejukładzło»onyzjednegowektora
jestliniowozale»nywtedyitylkowtedy,gdywektortenjestzerowy.
Własno±¢ 2 Je±lim > 1 ,toukładwektorów ( a 1 ,..., a m ) jestliniowoza-
le»nywtedyitylkowtedy,gdyjedenztychwektorówjestkombinacj¡liniow¡
pozostałychwektorów.
Dowód.Załó»my,»eukładwektorów( a 1 ,..., a m )jestliniowozale»ny.
Istniejeukładelementów( 1 ,..., m )zciałaKtaki,»e
1 a 1 + ··· + a m m = 0
iprzynajmniejjedenzelementów 1 ,..., m jestró»nyodzera.
Przypu±¢my,»e 1 6 =0 .
Wtedy
1 a 1 = − ( 2 a 2 + ··· + m a m ) ,
czyli
− 2
1
− m
1
a 1 =
a 2 + ··· +
a m ,
cooznacza,»ewektor a 1 jestkombinacj¡liniow¡wektorówpozostałych,
czyliwektorów a 2 ,..., a m .
Załó»myteraz,»ejedenzwektorów a 1 ,..., a m jestkombinacj¡liniow¡
wektorówpozostałych.
4
Przypu±¢my,»ejesttowektor a 1 .
Wtedyistniej¡elementy 2 ,..., m wcieleKtakie,»e
a 1 = 2 a 2 + ··· + m a m .
Wynikast¡d,»e
1 · a 1 +( − 2 ) a 2 + ··· +( − m ) a m = 0 ,
sk¡dwnioskujemy,»eukładwektorów( a 1 ,..., a m )jestliniowozale»ny.
Własno±¢ 3 Je±licz¦±¢układuwektorówjestliniowozale»na,torównie»
całyukładjestliniowozale»ny.
Dowód.Załó»my,»eukładwektorów( a 1 ,..., a k )jestliniowozale»ny.
Wtedyukładwektorów( a 1 ,..., a k , a k +1 ,..., a m ),gdzie m > k ,jestlinio-
wozale»ny.
Istotnie,istniej¡elementy 1 , 2 ,..., k wcieleKniewszystkierówne
zeruitakie,»e
1 a 1 + ··· + k a k = 0 .
Wtedyrównie»
1 a 1 + ··· + k a k +0 · a k +1 + ... +0 · a m = 0
iprzynajmniejjedenzewspółczynników 1 ,..., k , 0 ,..., 0jestró»nyod
zera.
Bezpo±rednimwnioskiemztejwłasno±cijest:
Własno±¢ 4 Ka»dacz¦±¢układuliniowoniezale»negojestukłademliniowo
niezale»nym.
Własno±¢ 5 (TwierdzenieSteinitza)
Je±liukładwektorów ( x 1 , x 2 ,..., x k ) ,nale»¡cychdopodprzestrzeni
span( a 1 ,..., a m )
jestliniowoniezale»ny,tok ¬ m.
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin