Laboratorium z fizyki 1 - J.Dudkiewicz, B.Kusz, WPG, 2002.pdf - FIZ Laboratorium. Laboratory - kf.mtsw

METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

1. WSTĘP

U podstaw wszystkich nauk przyrodniczych leży zasada: sprawdzianem wszelkiej

wiedzy jest eksperyment, tzn. jedyną miarą prawdy naukowej jest doświadczenie. Fizyka,

to nauka przede wszystkim empiryczna. Pierwszym krokiem do ustalenia prawa fizycznego

jest obserwacja zjawiska. Dla ustalenia i wyjaśnienia prawidłowości fizycznej należy wy

dzielić z wielu pobocznych wpływów najbardziej charakterystyczne, powtarzalne związki

przyczynowe, co osiąga się w celowo ustawionym doświadczeniu. Dla otrzymania ilościo

wych wzajemnych zależności trzeba ustalić odpowiednie wielkości fizyczne, które można

mierzyć. Definicje wielkości fizycznych muszą więc zawierać przepis na ich pomiar. Wi

dać stąd szczególną rolę eksperymentu i pomiarów.

Laboratorium z fizyki ma na celu zaznajomienie studentów z podstawowymi przyrzą

dami i metodami pomiarowymi oraz praktyczne zapoznanie z niektórymi zjawiskami i

prawami przyrody - toteż w wielu przypadkach doświadczenie będzie służyło sprawdzeniu

znanego już prawa fizycznego.

Należy sobie zdawać sprawę z faktu, że każde prawo fizyczne ustalone na podstawie

pomiarów jest wyidealizowaną zależnością pomiędzy mniejszą lub większą liczbą wielko

ści fizycznych, przy pominięciu wielu innych czynników wpływających na przebieg do-

świadczenia. Ten fakt oraz szereg innych, związanych z samym przyrządem pomiarowym i

eksperymentatorem, jest przyczyną, że każdy pomiar obarczony jest błędem (niepewno

ścią). Zatem rzetelne opracowanie pomiarów powinno zawierać także ocenę ich dokładno

ści i wiarygodności, tzn., ocenę niepewności pomiarów.

Z prób rozwiązania tego problemu powstały różnorodne i bardzo rozbudowane teorie

błędu, często trudne do wzajemnego porównania. Dlatego koniecznością stało się opraco

wanie jednolitego, opartego na pewnym kompromisie, systemu oceny i zapisu niepewności

pomiarowych.

W 1995 r., po wielu latach pracy, uzgodniono międzynarodowe normy dotyczące

niepewności w pomiarach. Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) opubliko

wała dokument („Przewodnik", „Międzynarodowa Norma"), który - po dokonaniu prze

kładu na język polski i przyjęciu odpowiedniej ustawy - zobowiązuje Polskę do stosowania

norm ISO w zakresie obliczania i podawania we wszystkich publikacjach wyników i nie

pewności pomiarów zgodnie z tą „Normą" [1].

Nowości dotyczą przede wszystkim odróżniania niepewności pomiaru od błędu w

potocznym tego słowa znaczeniu, przyjęcia uzgodnionej terminologii i powszechnie ;ik

ceptowanej miary niepewności w pomiarach, szerszego korzystania z metod statystycznych

oraz sposobu oceny i obliczania niepewności. Szersze wprowadzenie tych nowych zasad

oraz krytyczną dyskusję „Normy" można znaleźć w publikacjach H. Szydłowskiego |2|

oraz A. Zięby [3].

W skrypcie zastosowano niektóre zalecenia Międzynarodowej Normy przy szacowaniu i

obliczaniu, a szczególnie oznaczaniu niepewności w pomiarach, zachowując pewne stosowa

ne do tej pory sposoby analizy i obliczania błędów pomiarów [4, 5, 6, 7].

2. BŁĘDY I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE

Praca w laboratorium fizycznym polega na obserwacji zjawisk fizycznych, wykony

waniu pomiarów i ich interpretacji na podstawie poznanych teorii i praw fizyki. Oprócz

poprawnego wykonania pomiarów, bardzo istotna jest analiza końcowych wyników pod

względem ich wiarygodności i dokładności oraz przedstawienie uzyskanych rezultatów w

sposób umożliwiający ich prawidłową interpretację, to jest jasno, przejrzyście i zgodnie z

ogólnie przyjętymi zasadami.

Wskutek niedokładności naszych przyrządów pomiarowych oraz niedoskonałości

naszych zmysłów każdy, nawet najstaranniej przygotowany i wykonany pomiar daje wynik

obarczony pewną niepewnością, różny od wartości rzeczywistej. Wartość niepewności

może mieć zasadnicze znaczenie przy formułowaniu różnych praw fizyki i często decyduje

o przyjęciu lub odrzuceniu jakiejś teorii. Analiza błędów dokonana przed przystąpieniem

do pomiaru może wykazać jego zupełną niecelowość i narzucić konieczność użycia innych

przyrządów lub metod pomiarowych. Rozpatrzenie całości metody jakiegoś pomiaru oraz

właściwa ocena popełnionych błędów pozwala ustalić dokładność, z jaką należy wykonać

pomiar, oraz na pomiar jakiej wielkości należy zwrócić szczególna uwagę. Stopień dokład

ności pomiaru zależy od używanych przyrządów i stosowanej metody pomiarowej i byłoby

stratą czasu starać się otrzymać większą dokładność od tej, jaką określają zadane warunki

pomiarowe.

Międzynarodowa Norma jako podstawę przyjmuje nową filozofię traktowania zjawi

ska błędu. Na tej podstawie następuje uściślenie nazewnictwa, w szczególności znaczenia

kluczowych słów „błąd" i „niepewność". Termin błąd (pomiaru) powinien być używany w

znaczeniu jakościowym albo oznaczać różnicę:

błąd pomiaru = wartość zmierzona - wartość rzeczywista

Ax = x - x 0

Wynik liczbowy wyrażenia (1) nie może być wyliczony, gdyż nie jest znana wartość rze

czywista x 0 . Jest to realizacja pojedynczej zmiennej losowej i nie może być wyliczona a

priori, podobnie jak nie można przewidzieć rzutu kostką. Tak zdefiniowany błąd pomiaru

nie jest zatem przedmiotem zainteresowania rachunku niepewności pomiaru. Sama nazwa

(błąd) tej wady pomiarów sugeruje możliwość jej usunięcia. Rodzaje błędów pomiarowych

omówimy na prostym przykładzie pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła

matematycznego (ćw. 2). Wyobraźmy sobie, że zmierzyliśmy kilkakrotnie czas wahnięć

metalowej kulki przywiązanej do końca nici o długości 1. Początkowe wychylenie kulki

wynosiło 20°. Obliczenie przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wzoru na okres wahań

wahadła prostego

4TC 2 1

spowoduje otrzymanie wyników systematycznie zaniżonych w stosunku do wartości rze

czywistej. Przyczyną jest zastosowanie przybliżonego wzoru na okres wahań wahadła -

słusznego tylko w przypadku małych wychyleń. O tak otrzymanych wynikach pomiarów

powiemy, że są one obarczone błędem systematycznym. Inną przyczyną powstania tego

typu błędów może być np. użycie stopera, którego wskazówki z chwilą rozpoczęcia pomia

rów nie pokrywają się z początkiem skali lub stoper „chodzi" za wolno albo za szybko,

wywołując systematyczne zaniżanie lub zawyżanie wartości okresu wahań.

Przypuśćmy, że w serii pięciu pomiarów czasu 50 wahnięć, jeden z pomiarów został

zakończony po 45 wahnięciach. Pomiar ten da drastycznie różną wartość przyspieszenia

ziemskiego. Określimy go jako pomiar obarczony błędem grubym, czyli pomyłką. Po

myłki powstają również wskutek fałszywego odczytania wskazań przyrządów lub niepra

widłowego zapisania odczytu (np. pomyłka w jednostkach). Pomyłki dają się łatwo zauwa

żyć, ponieważ otrzymany wynik różni się znacznie od innych wyników pomiarów tej samej

wielkości (rys. 1).

Na rysunku pokazano serię pomiarów wielkości X, obarczonej błędami systematycznymi i

pomyłką, przy czym Xo jest wartością rzeczywistą wielkości X.

Błędy pomiarowe, zarówno systematyczne, jak i grube, mają wspólną cechę. Można je

wyeliminować poprzez: a) użycie właściwie działających przyrządów, b) poprawne prze

prowadzenie pomiarów, c) stosowanie poprawek matematycznych do wzorów przybliżo

nych, d) usunięcie z serii pomiarów wyniku obarczonego błędem grubym lub jego powtó

rzenie, o ile mamy taką możliwość.

W naszej praktyce laboratoryjnej zakładamy, że wszystkie błędy systematyczne zo

stały rozpoznane przez eksperymentatora i uwzględnione w trakcie pomiarów, a wyniki

tych pomiarów są wolne od błędów systematycznych.

Wyeliminowanie błędów pomiarowych jest zabiegiem koniecznym, ale nie prowadzą

cym do uzyskania wyników jednoznacznie pokrywającymi się z rzeczywistą wartością

wielkości mierzonej. Każdy bowiem pomiar jest obciążony niepewnością pomiarową.

Międzynarodowa Norma wprowadza pojęcie „niepewność pomiaru" jako najważniej

szy na nowo określony termin. Zgodnie z „Przewodnikiem": „niepewność jest związanym z

rezultatem pomiaru parametrem, charakteryzującym rozrzut wyników, który można w

uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej". Takim przykładowym parametrem

określającym niepewność pomiaru może być odchylenie standardowe obliczone dla serii

pomiarów.

Wśród niepewności pomiarowych wyróżnić można niepewności przypadkowe i

niepewności systematyczne. Na ogół jednak któraś z wymienionych niepewności pomia

rowych dominuje.

Jeżeli dokładność przyrządu jest dostatecznie duża, wówczas w serii pomiarowej

otrzymamy pewien rozrzut wyników. Świadczy to o przewadze niepewności przypadko

wych nad systematycznymi.

Źródłem występowania niepewności przypadkowych może być mierzona wielkość

(mówimy wówczas o niepewności przypadkowej obiektu) lub sam eksperymentator wraz

z otoczeniem i przyrządami pomiarowymi (niepewność przypadkowa metody). Np. nie

pewność przypadkowa obiektu przy pomiarze grubości płytki ołowianej śrubą mikrome-

tryczną będzie miała swe źródło w różnicach grubości płytki mierzonej w kilku różnych

punktach. Niepewność przypadkowa metody wynikać może natomiast z różnic w dociska

niu śruby w kolejnych pomiarach.

Na powstanie niepewności przypadkowych nakłada się wiele niezależnych przyczyn,

co prowadzi do tego, że wyniki pomiarów, w których dominują niepewności przypadkowe,

układają się symetrycznie wokół wartości rzeczywistej (rys. 2).

Natomiast źródłem niepewności systematycznych są ograniczone możliwości pomia

rowe związane z klasą (dokładnością) użytego przyrządu oraz z możliwością odczytu jego

wskazań przez obserwatora. Przewaga niepewności systematycznych nad przypadkowymi

ujawni się poprzez otrzymanie identycznych bądź nieznacznie różniących się wyników w

określonej serii pomiarów.

Jak już wspomnieliśmy, całkowite usunięcie niepewności nie jest możliwe. Można je

co najwyżej zmniejszyć poprzez stosowanie dokładniejszych przyrządów pomiarowych

oraz zwiększenie liczby pomiarów.

Pojęcie niepewności przypadkowej czy systematycznej jest równoważne pojęciu błędu

przypadkowego (losowego) lub błędu systematycznego, które to nazwy są stosowane do tej

pory w wielu opracowaniach dotyczących analizy pomiarów. Ponadto, stosownie do zale

ceń Międzynarodowej Normy, wprowadza się następujące terminy o nowym znaczeniu:

— niepewność standardowa u(x); jest to niepewność pomiaru odpowiadająca odchyleniu

standardowemu średniej;

— ocena niepewności typu A; oparta na metodzie określenia niepewności pomiaru drogą

analizy statystycznej serii wyników pomiarów;

— ocena niepewności typu B; oparta na metodzie określania niepewności pomiarów dro

gą inną niż w przypadku metody typu A (np. na podstawie klasy przyrządu);

— złożona niepewność standardowa Uc(y); niepewność wyników pomiarów pośrednich i

jest obliczana z prawa przenoszenia niepewności pomiaru.

Rozróżnienie metod obliczania typu A i B nie ma nic wspólnego z dotychczasowym

podziałem na błędy przypadkowe i systematyczne (Międzynarodowa Norma nie neguje

zresztą tego tradycyjnego rozróżnienia), lecz wskazuje na dwie różne drogi oceny składni

ków niepewności. Obie metody oceny niepewności oparte są na rachunku prawdopodo

bieństwa, a ilościową miarą każdego ze składników jest odchylenie standardowe.

Niepewność standardową typu A oblicza się na podstawie rozkładu częstości poja

wiania się określonego wyniku pomiaru x, a więc opierając się na rozkładzie normalnym

(Gaussa), natomiast niepewność standardową typu B oblicza się (a raczej szacuje) na pod

stawie rozkładu prawdopodobieństwa przyjętego przez eksperymentatora (prawdopodo

bieństwo subiektywne). Na ogół będzie to rozkład jednostajny (prostokątny).

W dalszej części opracowania zostały opisane sposoby postępowania, gdy w pomiarze

wielkości X przeważa niepewność systematyczna (pkt 3), bądź przypadkowa (pkt 4), a

także wtedy, gdy niepewności przypadkowa i systematyczna dają porównywalny wkład do

niepewności pomiaru wielkości X (pkt 5).

3. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE (MAKSYMALNE). OCENA TYPU B

3.1. Niepewności systematyczne pomiarów bezpośrednich

Jak wspomniano wcześniej (pkt 2), niepewności systematyczne dominują wtedy, gdy

w serii n pomiarów wielkości X nie występuje lub prawie nie występuje rozrzut statystycz

ny wyników pomiarów, czyli xj s x 2 = ...x n . Na wielkość niepewności systematycznej skła

dają się dwa przyczynki, jeden pochodzący od użytego w pomiarach przyrządu (działka

elementarna, klasa przyrządu, dokładność odczytu) i drugi - związany z wykonywaniem

czynności pomiarowej przez obserwatora (niepewność eksperymentatora).

Niepewność systematyczna związana z użytym przyrządem zależy od klasy dokładno

ści tego przyrządu wskazującej na jego odstępstwa od wzorca. W dobrych przyrządach

pomiarowych podziałka skali zgadza się zwykle z klasą danego przyrządu, która oznacza

maksymalną niepewność systematyczną wnoszoną przez sam przyrząd, np. dla termometru

pokojowego niepewność systematyczna At = 1°C, ale dla termometru laboratoryjnego może

być nawet lepsza niż 0,5°C, miarka milimetrowa to Al = 1 mm, a śruba mikrometryczna to

Al = 0,01 mm.

Niepewność odczytu na podziałce ustala obserwator, uwzględniając różne czynniki

wpływające na wynik pomiaru. Tak więc, jeśli wykonujemy pomiar napięcia woltomierzem

klasy 0,5 o zakresie 300 V, to bezwzględna niepewność systematyczna wprowadzona przez

przyrząd będzie wynosiła 1,5 V. Jeśli niepewność położenia wskazówki oceniamy na

2,5 V, to całkowita niepewność pomiaru będzie równa 4 V; wynik pomiaru zapiszemy

wtedy jako (239 ± 4) V lub 239(4) V. W ocenie niepewności odczytu istotne znaczenie

odgrywa również szerokość samej wskazówki oraz jej zachowanie podczas pomiaru (drże

nie, wahania wokół ustalonego położenia itp.).

Ten sposób oceny niepewności systematycznej jest stosowany w przypadku przyrzą

dów analogowych, natomiast w przypadku coraz częściej spotykanych w laboratorium

przyrządów cyfrowych, niepewność pomiaru jest podawana przez producenta w instrukcji

Laboratorium z fizyki 1 - J.Dudkiewicz, B.Kusz, WPG, 2002.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: