Projekt końcowy
AiZ, grupa 3, podgrupa 1
Jakub Kucharski
1. Wyprowadzenie modeli systemów fizycznych
1.1 Rysunek pomocniczy i dane wejściowe
1.2. Zamodelowanie układu mechanicznego przy pomocy równań Lagrange'a
Ogólny wzór Lagrange'a:
T = ½ mx2”2 Układ ma dwa stopnie swobody:
j = 2
V = ½ C1(x1 – x2)2 + ½ C2x22 Wektor współrzędnych uogólnionych: q j=[ x1 , x2]
R = ½ Bx2’2
Q = F (wymuszenia zewnętrzne)
L = T – V = ½ mx2”2 - ½ C1(x1 – x2)2 - ½ C2x22
Obliczamy poszczegolne składniki równiania Lagrange’a:
0
mx2”
C1(x1 – x2)
C1(x1 – x2) - C2x2
Bx2’
F
Otrzymane składniki podstawiamy do równania Lagrange'a:
C1(x1 – x2) = F
mx2” - C1(x1 – x2) + C2x2 + Bx2’ = 0
1.3. Wyznaczanie transmitancje operatorowe, przyjmując określone dla danego przykładu
sygnały wejściowe i wyjściowe oraz zakładając zerowe warunki początkowe.
Po odpowiednim przekształceniu równań ruchu otrzymujemy wzór:
mx2” – F + Fc2 + Bx2’ = 0 ß wzór nr 1.3
W tym przykładzie siła sprężyny C2x2 jest jednocześnie naszym sygnałem wyjściowym Fc2, dlatego możemy od razu podstawić do wzoru.
Transformata Laplace’a:
Na początku obliczamy transformatę Laplace’a sygnału wyjściowego:
Fc2 = C2x2 èL Fc2(s) = C2X2(s)
X2(s) = Fc2(s)/ C2
Obliczamy transformatę wzory 1.3, a także podstawiamy obliczoną transformatę sygnału wyjściowego:
m/C2 s2 – F(s) + Fc2(s) + B/C2 s Fc2(s) = 0
Fc2(s) (m/C2 s2 + B/C2 s + 1 ) = F(s)
Obliczamy transmitancję układu:
G(s) = Fc2(s)/ F(s) = 1/(m/C2 s2 + B/C2 s + 1 )
Podstawiamy wartości i otrzymujemy transmitancję układu:
G(s) = 7/ ( s2 + 6 s + 7)
Szukamy biegunów transmitancji układu, biorąc pod uwagę mianownik. Po krótkich obliczeniach otrzymujemy: s1= -4,41 s2= -1,59
Ujemne bieguny świadczą o tym, że układ jest stabilny. Ostateczny układ transmitancji wygląda następująco:
G(s) = 7/ (s + 4,41)(s + 1,59)
G(s) = 0,99/ (0,23s + 1)(0,63s + 1)
Wzór ogólny:
Jest to element dwinercyjny, o wzmocnienu k ≈ 1 , stałych czasowych T1 = 0,23 [s], T2 = 0,63[s]
1.3 Symulacja charakterystyk czasowych i częstotliwościowych.
Odpowiedź skokowa i impulsowa układu
Charakterystyki Bodego i Nyquista
1.4 Analityczna postać odpowiedzi obiektu w stanie ustalonym na wymuszenie u(t) = sin(10t)
Wzór ogólny wymuszenia sinusoidalnego:
Porównując nasz konkretny przykład ze wzorem ogólnym możemy zauważyć, że:
amplituda A = 1
omega ω = 10
przesunięcie fazowe β = 0
Transmitancja widmowa:
G(jw) = 1/((j10)2 + j60 + 7) = 1/ (-93 +j60)
Zamieniamy na postać wykładniczą mianownik:
√(-93)2+ (60)2 = 110,68
arctg(60/93) = 32,82o
Ostateczna postac transmitacnji widmowej:
G(jw) = 1/ (110,67ej32,82)= 0,00903e-j32,82
Postać czasowa:
yu(t) = 0,00903 * sin( 10t – 32,82)
kubix