Bud W 3.pdf
(
93 KB
)
Pobierz
III.Ci¡giliczbowe.
1.Definicjaci¡guliczbowego.
Definicja1.1.
Ci¡giemliczbowym
nazywamyfunkcj¦a:N!Rodwzorowuj¡c¡zbiór
liczbnaturalnychNwzbiórliczbrzeczywistychRioznaczamyprzez{a
n
}.
U»ywamyzapisu
a
n
=a(n).
Ci¡g{a
n
}mo»nate»zapisywa¢wpostaci
a
1
,a
2
,a
3
,...,a
n
,...
Liczb¦a
n
nazywamyn-tymwyrazemci¡gu{a
n
}.
Przykładyokre±laniaci¡gówliczbowych:.
•wzorem,np.
p
n−1−
p
n,c
n
=1+2
2
+3
3
+...+n
n
;
a
n
=3
n
,b
n
=
•rekurencyjnie,np.
a
1
=3,a
n+1
=a
n
+2ci¡garytmetyczny,
b
1
=1,b
n+1
=3b
n
ci¡ggeometryczny;
•opisowo,np.
a
n
-n-taliczbapierwsza.
1
Przykładyci¡gówliczbowych:.
•ci¡gliczbparzystychdodatnicha
n
=2n;
•ci¡gliczbnieparzystychdodatnicha
n
=2n−1;
•ci¡garytmetycznya
n
=p+(n−1)d(p-pierwszywyrazci¡gu,d-
ró»nicaci¡gu);
•ci¡ggeometycznya
n
=pq
n−1
(p-pierwszywyrazci¡gu,q-ilorazci¡gu);
•ci¡gstałya
n
=c(c-dowolnaliczba);
•a
n
=
1+
1
n
n
;
•−1,+1,−1,+1,...,(−1)
n
;
p
2,
3
p
3,
4
p
4,...,
n
p
n.
•1,
2.Monotoniczno±¢iograniczono±¢ci¡guliczbowego.
Definicja2.1.
Mówimy,»eci¡g{a
n
}jest:
•rosn¡cy,je»elidlaka»degon2N
a
n
<a
n+1
•niemalej¡cy,je»elidlaka»degon2N
a
n
a
n+1
•malej¡cy,je»elidlaka»degon2N
a
n
>a
n+1
•nierosn¡cy,je»elidlaka»degon2N
a
n
a
n+1
.
2
Ci¡girosn¡ce,niemalej¡ce,malej¡ceinierosn¡cenazywamyci¡gami
monotonicznymi
.
Mo»namówi¢oci¡gachmonotonicznychodpewnegomiejscatj.pewnego
numerun
0
2N.
Uwaga.
Monotoniczno±¢dowolnegoci¡gu{a
n
}mo»naustali¢badaj¡cznakró»nicy
a
n+1
−a
n
,
aci¡gu{b
n
}owyrazachdodatnichporównuj¡ciloraz
b
n+1
b
n
zliczb¡1.
Przykład.
Sprawdzimy,»eci¡ga
n
=n
2
−njestrosn¡cy.Otrzymujemy
a
n+1
−a
n
=(n+1)
2
−(n+1)−(n
2
−n)=n
2
+2n+1−n−1−n
2
+n=2n>0
dlawszystkichn2N.Zatema
n
<a
n+1
dlan2N.
Przykład.
Sprawdzimy,»eci¡gb
n
=
n!
n
n
jestmalej¡cy.Poniewa»b
n
>0dlawszystkich
n2Nbadamyiloraz
b
n+1
b
n
.Otrzymujemy
n
n+1
n
(n+1)
(n+1)
·
n
n
b
n+1
b
n
=
(n+1)!
n!
=
<1,
dlawszystkichn2N.Zatemb
n+1
<b
n
dlan2N.
Definicja2.2.
Ci¡g{a
n
}nazywamy
ograniczonym
,je»eliistniej¡takieliczbym
1
im
2
,»e
dlawszystkichn2N
m
1
a
n
m
2
,
lubrównowa»nie,je»eliistniejetakaliczbaM>0,»edlawszystkichn2N
|a
n
|M.
3
3.Granicaci¡guliczbowego.
Definicja3.1.
Liczb¦gnazywamygranic¡ci¡gu{a
n
},je»elidladowolnego>0mo»na
dobra¢tak¡liczb¦n
0
2N,»edlaka»degon>n
0
zachodzinierówno±¢
|a
n
−g|<,
zapisywanarównowa»niewpostaci
g−<a
n
<g+.
Mówimy,»eci¡g{a
n
}jestzbie»nydogranicyg,cozapisujemy
n!1
a
n
=g.
lim
Ci¡giposiadaj¡cegranic¦nazywamyci¡gamizbie»nymi.
Twierdzenie3.2.
(ojednoznaczno±cigranicy)
Ci¡gzbie»nyniemo»emie¢dwóchró»nychgranic.
Przykłady’wa»nych’ci¡gówzbie»nych:
•lim
n!1
c=c;
•lim
n!1
1
n
=0;
•lim
n!1
q
n
=0dla|q|<1;
•lim
n!1
n
p
a=1dlaa>0;;
•lim
n!1
n
p
n=1;
•lim
n!1
1+
1
n
n
=e2,718281
4
Przykład.
(a)Wyka»emy,»elim
n!1
n
n+1
=1.
Zgodniezdefinicj¡nale»ypokaza¢,»e
8>09n
0
2N8N3n>n
0
|
n
n+1
−1|<.
We¹mydowolny>0.Nierówno±¢epsilonow¡|
n
n+1
−1|<rozwi¡zujemyze
wzgl¦dunan.
Otrzymujemy
|
n
n+1
−1|<,n>
1−
.
Zatemprzyjmuj¡cn
0
:=[
1−
+1],gdziesymbol[x]oznaczacz¦±¢całkowit¡
zliczbyx,otrzymamy,»edlawszystkichn>n
0
zachodzinierówno±¢
|
n
n+1
−1|<.
(b)Rozwa»myci¡ga
n
=2·(−1)
n
.Mamya
2n
=2,a
2n−1
=−2dlan2N.
Przypu±¢my,»eci¡g{a
n
}magranic¦g<2.Wtedyprzyjmuj¡c=
2−g
2
otrzymujemy,»e»adenwyraza
2n
niespełnianierówno±ci
|a
2n
−g|<,
czyligniemo»eby¢granic¡ci¡gu{a
n
}.Podobniepokazujesi¦,»egranic¡
niemo»eby¢»adnaliczbag2.Zatemgranicaci¡gu{a
n
}nieistnieje.
5
Plik z chomika:
Gryzak1515
Inne pliki z tego folderu:
skanowanie0014.jpg
(2018 KB)
skanowanie0015.jpg
(2179 KB)
Bud W 8.pdf
(95 KB)
Lista zadan nr 5.pdf
(154 KB)
Lista zadan nr 2.pdf
(191 KB)
Inne foldery tego chomika:
Adobe Photoshop CS6 Extended FULL
Adobe Photoshop CS6 Extended FULL(1)
ArchiCad - Tutoriale
Architektura krajobrazu i terenów zielonych
Architektura wnętrz
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin