147 6. Obiekty regulacji
Układy automatycznej regulacji projektowane są dla realizacji zadania sterowania konkretnym procesem, charakteryzującym się określonymi właściwościami, a który musi przebiegać zgodnie z określonymi kryteriami, takimi jak dokładność statyczna, dokładność dynamiczna, oscylacyjność, przeregulowanie itp. Dla poprawnego zaprojektowania UAR konieczna jest dogłębna znajomość właściwości obiektu regulacji jak i poprawny wybór regulatora w tym układzie. Rodzajom obiektów regulacji i regulatorom poświęcony jest niniejszy rozdział.
Pojęcie „obiekt regulacji” (obiekt sterowania) używane jest w dwojakim sensie. W przypadku gdy mówimy o właściwościach statycznych i dynamicznych, obiekt regulacji (sterowania) należy rozumieć jako jeden z członów (elementów) układu, mający wielkość wejściową i wyjściową, określony swym równaniem różniczkowym, transmitancją operatorową lub współrzędnymi stanu. Obiektem jest wówczas proces, którego przebieg podlega regulacji lub sterowaniu, np. proces zmiany poziomu wody w kotle, proces obróbki skrawaniem danego przedmiotu, proces zmiany temperatury w piecu, itd.
W drugim przypadku pojęcie obiektu ma sens aparaturowy. Oznacza ono wówczas aparaturę technologiczną, w której zachodzi proces regulowany lub sterowany, np. kocioł, obrabiarkę, piec. Dla uniknięcia nieporozumień i rozróżniania obu znaczeń, w tym drugim przypadku używane będzie pojęcie ”obiekt automatyzowany”.
Przy badaniu obiektu złożonego, w którym przebieg procesu technologicznego określa wiele wielkości fizycznych, należy wyznaczyć właściwości dynamiczne obiektu dla każdej z tych wielkości oddzielnie. W ten sposób rozpatrujemy obiekt złożony jako zespół odpowiedniej ilości obiektów prostych, których przebiegi przejściowe są wzajemnie niezależne. Zakładamy przy tym, że mamy do czynienia z takimi aparatami i procesami, w których związki wzajemne pomiędzy wielkościami wyjściowymi obiektów prostych albo w ogóle nie istnieją, albo są bardzo słabe i w pierwszym przybliżeniu można je zaniedbać. Warunek ten nie zawsze może być spełniony, ale w większości wypadków założenie to jest słuszne. Stąd w realnych obiektach analizuje się dowolny określony odcinek od elementu wykonawczego do miejsca pomiaru odpowiedniej wielkości wyjściowej.
Obiektem regulacji będziemy dalej nazywać złożony człon dynamiczny, w połączeniu z którym pracuje regulator (rys. 6.1). W skład tego członu wchodzi rozpatrywana część aparatu (właściwy obiekt), czujnik pomiarowy i wszystkie środki pomiarowe wielkości wyjściowej (układ pomiarowy), a także nastawnik, zmieniający wpływ czynnika regulującego zgodnie z sygnałem regulatora (element wykonawczy). Do wyboru typu regulatora i jego nastaw należy znać właściwości dynamiczne każdego członu układu regulacji, gdyż połączenie właściwości wszystkich jego elementów określa warunki pracy regulatora.
Rys. 6.1. Definicja obiektu regulacji w zamkniętym układzie regulacji
Wystarczająco dokładna identyfikacja właściwości obiektów regulacji jest podstawowym warunkiem poprawnego zaprojektowania UAR. Często nie przywiązuje się dostatecznej wagi do tego zagadnienia, ograniczając się do określenia właściwości statycznych i wzorując się na istniejących rozwiązaniach układowych. Tymczasem stały wzrost rozmiarów produkcji i stopnia skomplikowania procesów oraz coraz wyższe wymagania jakościowe i ekonomiczne powodują, że dotychczasowe doświadczenia i intuicja inżynierska nie są już wystarczające do zaprojektowania rozwiązania optymalnego.
W zasadzie właściwości obiektu regulacji powinny zostać określone przez technologów, którzy najlepiej rozumieją fizyczną stronę regulowanego procesu. Często jednak konieczna jest przy tym pomoc automatyka, aby opis właściwości podany był w formie użytecznej dla celów regulacji. W przypadkach procesów złożonych metody analityczne identyfikacji mogą być traktowane jedynie jako pierwsze przybliżenie opisu procesu, a większego znaczenia nabierają metody doświadczalne.
Pod względem właściwości dynamicznych decydujących o sposobie sterowania można wyróżnić cztery najogólniejsze klasy obiektów:
a) Obiekty z samowyrównywaniem czyli obiekty statyczne, osiągające samoistnie stan równowagi dynamicznej przy działaniu każdego ograniczonego pobudzenia zewnętrznego, trwającego dowolnie długo. Obiekty takie uważa się za bezwarunkowo stabilne. Do klasy tej należy większość spotykanych członów technicznych, przesyłowych i wzmacniających.
b) Obiekty całkujące (jedno- lub wielokrotnie), czyli obiekty astatyczne – o odpowiedzi wzrastającej nieograniczenie pod wpływem jednokierunkowego pobudzenia zewnętrznego o ograniczonej wartości. Dla obiektów całkujących jednokrotnie, czyli o astatyzmie pierwszego stopnia, pobudzenie takie musiałoby trwać nieskończenie długo (lub być nieskończonym ciągiem impulsów). Dla obiektów całkujących wielokrotnie, czyli o astatyzmie wyższego stopnia odpowiedź wzrastającą nieograniczenie uzyskuje się już pod wpływem jednokierunkowego, dowolnie krótkiego pobudzenia. Do obiektów astatycznych należą np. człony, w których następuje gromadzenie materiału, człony przetwarzające prędkość na przesunięcie itp.
c) Obiekty niestabilne pulsujące – pod wpływem każdego lub niektórych pobudzeń przechodzące w okresowo powtarzający się ciąg przebiegów o wartościach ograniczonych i niezależnych od pobudzenia (lecz zależnych od wewnętrznych właściwości obiektu i doprowadzania energii, materii itp.). Do obiektów takich należą np. reaktory o samodzielnej pracy cyklicznej.
d) Obiekty niestabilne rozbieżne – pod wpływem każdego lub niektórych pobudzeń wytwarzające przebiegi o wartościach wzrastających nieograniczenie. Dla pracy stabilnej obiekty te muszą być dodatkowo stabilizowane. Niektóre typy lotniczych silników przepływowych są przykładem niestabilnego obiektu regulacji.
W mechanice najczęściej mamy do czynienia ze statycznymi lub astatycznymi obiektami regulacji. Spotykane w praktyce obiekty można ze względu na występujące w nich zjawiska fizyczne zaliczyć do niewielu klas, o właściwościach dających się opisać z dostateczną dokładnością znanymi prawami.
Jako podstawowe klasy takich realizowanych fizycznie obiektów wygodnie jest wyróżnić:
a) bryły sztywne i układy brył sztywnych i elementów elastycznych podlegające działaniu napędów i siły grawitacyjnej – spotykane głównie przy automatyzacji obrabiarek i transportu;
b) taśmy, łańcuchy, liny itp. – spotykane przy produkcji włókienniczej, tworzyw sztucznych i papieru oraz napędach i transporterach;
c) układy przesyłu i magazynowania cieczy i ciał sypkich oraz odlewania i wyciskania;
d) układy uzyskiwania i wymiany energii cieplnej;
e) układy uzyskiwania i przesyłania energii elektrycznej;
f) układy przenikania mas – mieszania, dyfuzji, destylacji, rektyfikacji, suszenia itp.;
g) reaktory chemiczne i jądrowe;
h) obiekty informacyjne – maszyny matematyczne i statystyczne oraz urządzenia przesyłające, magazynujące i przetwarzające dane.
Przy automatyzacji złożonych urządzeń technicznych i procesów zazwyczaj jednocześnie współpracuje ze sobą kilka obiektów elementarnych. W takich przypadkach wygodnie jest, w pierwszym przynajmniej stadium, wyodrębnić człony składowe, a dopiero po ich analizie – zestawić z nich cały układ złożony.
Przy analizie obiektów korzystamy z podstawowych równań dynamiki, elektrodynamiki, termodynamiki i kinetyki chemicznej oraz jądrowej. Przy wyprowadzaniu równań ruchu układów mechanicznych i elektrycznych korzysta się z zasady Hamiltona [7].
Zasada wariacyjna Hamiltona dla układów mających potencjał kinetyczny stwierdza, że całka działania
w rozpatrywanym czasie od t1 do t2 przy rozważaniu wszelkich dających się pomyśleć ruchów ciała przyjmuje wartość najmniejszą dla ruchu, który rzeczywiście występuje, a więc dla tego ruchu wariacja
(6.1)
Z zasady tej bezpośrednio wynikają równania Lagrange’a drugiego rodzaju
(6.2)
przy czym: x – uogólniona współrzędna stanu układu; (a więc x oraz określają stan układu w przestrzeni fazowej).
Potencjał kinetyczny
gdzie: Ek – energia kinetyczna układu, U – potencjał uogólniony.
Gdy siły uogólnione Fi nie zależą w sposób jawny od przyspieszeń uogólnionych (), lecz jedynie od czasu, współrzędnych i prędkości uogólnionych:
wówczas potencjał uogólniony
,
Ew – wielkość związana z potencjałem wektorowym.
Konieczność uwzględniania potencjału uogólnionego widać na przykładzie ładunku punktowego q poruszającego się w polu elektromagnetycznym. Wówczas na ładunek działa siła Lorentza:
gdzie: - wektor natężenia pola elektrycznego, - wektor indukcji pola magnetycznego, - wektor prędkości ładunku q.
Wektory i można wyrazić za pomocą potencjału skalarnego i potencjału wektorowego :
, .
Można wykazać, łącząc trzy ostatnie wzory, że:
Potencjał kinetyczny ładunku punktowego poruszającego się w polu elektromagnetycznym:
(6.3)
Gdy na ciało działają dodatkowe, niepotencjalne siły zewnętrzne Fz, prowadzące do strat mocy P, wtedy równania Lagrange’a przybierają postać
(6.4)
lub po podstawieniu podanych poprzednio wielkości
(6.5)
Równania (6.4) i (6.5) są ogólniejsze niż zasada wariacyjna Hamiltona. Przechodzą one w równoważne tej zasadzie równanie (6.2), gdy straty P są niezależne od prędkości uogólnionej .
W układach mechanicznych o ruchu postępowym zazwyczaj: x – współrzędna liniowa; - prędkość v; (gdzie m – masa); w polu potencjalnym siły sprężystości , gdzie xr – położenie równowagi; energia potencjalna , gdzie ks – stała sprężyny; P – straty na tarcie.
Rys. 6.2. Przykładowe charakterystyki statycznych obiektów mechanicznych
W układach mechanicznych o ruchu obrotowym zamiast współrzędnej liniowej x wprowadza się położenie kątowe j, zamiast prędkości liniowej v – prędkość kątową w, zamiast masy m – moment bezwładności J, a zamiast siły F – moment siły M.
W układach elektrycznych: x – ładunek q (lub napięcie u); - prąd; (gdzie L – indukcyjność); , gdzie C – pojemność elektryczna, uz – napięcie zewnętrzne, P = Ri2.
W układach złożonych, elektromechanicznych, wielkości Ek, Ep, P są oczywiście sumami składowych wnoszonych przez zjawiska mechaniczne i elektryczne. Liczba niezależnych równań jest równa liczbie stopni swobody układu, przy czym przy występowaniu symetrii niektóre z tych równań wynikają bezpośrednio z warunków symetrii.
Przy obliczaniu pochodnych :
a) należy uważać zmienne x oraz za wielkości niezależne;
b) przy wyznaczaniu pochodnej d/dt w pierwszym wyrazie równania (6.2) należy uwzględnić składowe tej pochodnej wynikające ze zmienności wszystkich wielkości zależnych od czasu, występujących w tym wyrazie.
Typowe równania, jakie uzyskuje się w układach mechanicznych lub elektromechanicznych mają postać
(6.6)
gdzie: X, Y, L, R, C – wielkości dobrane do opisu zjawiska (patrz rozdz. 2).
Prowadzi to zazwyczaj, w przypadku obiektów jednowymiarowych do występowania transmitancji typu (rys. 6.2):
przy czym: T, T1, T2 – stałe czasowe; ; Tr – okres drgań własnych; k – współczynnik wzmocnienia.
Siły zewnętrzne należy traktować w zastępczym schemacie dwuparametrowym jako źródła sił motorycznych.
Przy rozważaniu układów mechanicznych przechodzi się często z prędkości liniowej lub kątowej na ich całki – przesunięcie liniowe lub kąt. Wówczas do transmitancji dochodzi człon całkowania 1/...
zsiewca