Kryptografia_zadania_05.pdf

5 Struktury algebraiczne

5.1. Niech m 2 N i a, b 2 Z. Wykazać, że

(a) (a + b) MOD m = [(a MOD m) + (b MOD m)] MOD m,

(b) (a · b) MOD m = [(a MOD m) · (b MOD m)] MOD m.

Wywnioskować stąd, że działania modularne są łączne w zbiorze Z m

(3)

5.2. Wykazać, że

(a) Dla żadnej liczby całkowitej p > 2 działanie + p

nie jest wewnętrzne w zbiorach

Z p

i Z p .

(1)

(b) Działanie

· p

jest wewnętrzne w zbiorze Z p

dla każdej liczby całkowitej p > 1. (1)

5.3. Zbadać, czy istnieje wskazany element odwrotny, a jeśli tak, to wyznaczyć go.

(a) 195 −1

mod 221,

(1)

(b) 144 −1

mod 233.

(1)

5.4. (a) Znaleźć wszystkie podgrupy grupy (Z 5 , · 5 ). (1)

(b) Dla znalezionych podgrup wykazać, że istnieją ich izomorﬁzmy z pewnymi gru

pami (Z m , + m ). (2)

gdzie p jest liczbą pierwszą?

(2)