Dymel J - Analiza trudności zadań Olimpiady Matematycznej. Rozprawa doktorska.pdf

(13378 KB) Pobierz
UniwersytetJagiello«ski
WydziałMatematykiiInformatyki
JacekDymel
Analizatrudno±cizada«OlimpiadyMatematycznej
Rozprawadoktorska
Promotor:drhab.MichałSzurek
Kraków2009
Spistre±ci
Wst¦p.
3
1Problematykapracy(szerszetło) 6
1.1Zagadnieniazwi¡zanezrozwi¡zywaniemzada«.................. 6
1.1.1Klasyfikacjazada«.............................. 6
1.1.2Procesrozwi¡zywaniazada«......................... 8
1.1.3Sposobyrozwi¡zywaniazada«.Strategie..................10
1.1.4Bł¦dy.....................................14
1.1.5Matematycyirozwi¡zywanieproblemów..................18
1.1.6Badanianatematprocesurozwi¡zywaniazada«olimpijskich......22
1.1.7CeleiorganizacjaOlimpiadyMatematycznej...............23
1.1.8Narz¦dziastatystyczne............................25
1.2Metodologiabada«prezentowanychwpracy....................32
1.2.1Dobórmateriału...............................32
1.2.2Charakterystykaautorówbadanychprac..................35
1.2.3Metodyanalizyzebranegomateriału....................35
1.2.4Oznaczeniawykorzystanewtabelach....................39
2Analizarozwi¡za«zada«nadowodzenienierówno±ci 40
2.1Zadanie3zIIetapu57OM.............................40
2.1.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................40
2.1.2Losyuczniów,którzyrozwi¡zalizadanienietypowo............50
2.1.3Przykładybł¦dów..............................54
2.1.4Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................63
2.2Zadanie6zIIetapu58OM.............................70
2.2.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................70
2.2.2Losyuczniów,którzyrozwi¡zalizadanie..................73
2.2.3Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................74
2.3Zadanie6zIIIetapu58OM............................82
2.3.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................82
2.4Twierdzeniawykorzystanewrozwi¡zaniachzada«nadowodzenienierówno±ci.85
2.4.1Twierdzeniawykorzystanedodowoduzadania3.2.57...........90
2.4.2Twierdzeniawykorzystanedodowoduzadania6.2.58...........96
2.4.3Twierdzeniawykorzystanedodowoduzadania6.3.58...........99
3Analizarozwi¡za«zada«planimetrycznych 101
3.1Zadanie2zIIetapu57OM.............................101
3.1.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................101
3.1.2Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................117
3.1.3Statystykabł¦dów..............................133
3.2Zadanie5zIIetapu57OM.............................138
3.2.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................138
3.2.2Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................160
3.2.3Statystykabł¦dów..............................175
3.3Zadanie3zIIIetapu57OM............................181
3.3.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................181
3.3.2Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................189
3.4Zadanie5zIIetapu58OM.............................195
3.4.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................195
3.4.2Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................199
1
3.4.3Statystykabł¦dów..............................205
3.5Zadanie1zIIIetapu58OM............................210
3.5.1Tre±¢zadaniairozwi¡zania.........................210
3.5.2Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................213
3.6Twierdzeniawykorzystywanewrozwi¡zaniachzada«geometrycznych......215
3.6.1Stosowanetwierdzenia............................215
3.6.2Literaturadonaukigeometriipłaskiej...................217
3.6.3Twierdzeniawykorzystanedorozwi¡zywaniazada«geometriipłaskiej.217
3.6.4Kanonmetoditwierdze«geometriipłaskiej................218
4Analizarozwi¡za«zada«stereometrycznych 220
4.1Zadanie5zIIIetapu57OM............................220
4.1.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................220
4.1.2Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................223
4.2Zadanie5zIIIetapu58OM............................226
4.2.1Tre±¢irozwi¡zaniazadania.........................226
4.2.2Rozwi¡zania,którezawierałybł¦dy.....................228
5Analizastatystyczna 233
5.1InformacjestatystyczneozadaniachzIIiIIIetapu57OM...........233
5.2InformacjestatystyczneozadaniachzIIiIIIetapu58OM...........250
5.3Analizatrudno±cizada«...............................267
5.4Klasyfikacjazada«wOM..............................270
5.4.1Zadanianadowodzenienierówno±ci ....................270
5.4.2Zadaniazgeometriipłaskiej.........................272
5.4.3Zadaniazgeometriiprzestrzennej......................273
5.5AnalizastatystycznaszkółwOM..........................274
5.6Literatura.......................................295
5.7Sformułowaniazada«.................................297
5.8Galeriacytatu....................................299
6Syntezabada« 301
6.1Zadanianadowodzenienierówno±ci.........................301
6.2Zadaniazgeometriipłaskiej.............................305
6.3Zadaniazgeometriiprzestrzennej..........................310
6.4Strategierozwi¡zywaniazada«...........................312
6.5Bł¦dywanalizowanychzadaniach..........................314
6.6Propozycjezmian...................................318
6.6.1Alternatywnaolimpiada...........................318
6.6.2Rozwi¡zaniaeleganckie...........................321
6.7Rolawiod¡cychszkółwOlimpiadzieMatematycznej...............327
6.8Danestatystycznedlazada«57i58OM......................330
6.9Propozycjamateriałudlanauczycieli........................334
6.9.1Stosowaniewzorówskróconegomno»eniawzadaniacholimpijskich...335
7Wnioski
344
2
Wst¦p
Wswojejsze±¢dziesi¦cioletniejhistoriiOlimpiadaMatematycznaniedoczekałasi¦grun-
townejanalizymerytorycznejidydaktycznej.Wniniejszejrozprawiepodejmuj¦takitrud,ze
±wiadomo±ci¡,»epełnaanalizazagadnieniawymagapracysztabuludziimonitorowaniasy-
tuacjinabie»¡co.Oilebowiempewnedanestatystycznedotycz¡ceuczestników(wiek,klasa,
szkoła,miejscewrankingu)s¡dost¦pne,otylesamepracezawodnikóws¡popewnymczasie
niszczoneiniebyłyonedotejporyanalizowanezbiorczowszerokimzakresie.Analizataka
jestza±podstawowym¹ródłemwniosków,dojakichdochodz¦.
Wpolskiejdydaktycetakichbada«praktycznieniebyło.BadaniaIreneuszaBiałeckiego
([14])miałycharaktersocjologicznyidotyczyłyuczestników22OM,apraceMariannyCiosek
([29],[33])dotyczyłyopisuprocesurozwi¡zywaniawybranychczterechzada«(1.3.16,3.3.19,
1.3.20,2.3.20 1 )wyselekcjonowanejgrupyuczestnikówIIIetapów16,19oraz20OMinieza-
wierałyanalizystatystycznej.Pozatymodtamtychczasówznacz¡cowzrosłatrudno±¢zada«
naOM.Pewienimpulsdobada«dałapracaJ.F.Szurka Przyczynyniepowodze«uczniówklas
jedenastychwrozwi¡zywaniuzada«matematycznych ([130]).
Badaniaswojeoparłemnaanalizierozwi¡za«dziesi¦ciuzada«57i58OM,wybranych
wedługklucza:1)zadaniaonierówno±ciach(3zadania),2)zadaniazgeometriipłaskiej(5
zada«),3)zadaniazgeometriiprzestrzennej(2zadania).Liczbabadanychpracuczniówwy-
nosiła3421,zczego1462topracepustetzn.takie,wktórychautorniezostawił±ladóww
czystopisie.Ka»dapracabyłaanalizowanapodk¡temstosowanychstrategiiipopełnianych
przezuczniówbł¦dów.Wyniki,jakieuzyskaliuczniowiewdrugimitrzecimetapie57i58OM
zostałypoddanetak»edokładnejanaliziestatystycznejzuwzgl¦dnieniemtechnikpomiarudy-
daktycznego.
NieanalizowałempracuczniówzIetapu.Byłykutemutrzyzasadniczepowody.Popierwsze:
bardzoograniczonydost¦pdoprac.Podrugie:konieczno±¢skoncentrowaniasi¦nawa»niej-
szychbadaniach.Potrzecieiby¢mo»enajwa»niejsze:specyfikazawodówIstopnia,wczasie
którychuczniowierozwi¡zuj¡wdomu12zada«wprzeci¡gukilkunastutygodni.Uczniowie
mog¡zatemwsposóbnieograniczonykorzysta¢zliteraturyorazpomocynauczycieliikolegów.
WregulaminieOlimpiadyMatematycznejjestcoprawdazapisosamodzielno±cirozwi¡zania,
aleweryfikacjasamodzielno±cimo»enast¦powa¢jedyniewoparciuosposóbzapisurozwi¡za-
nia.
Wybórzada«doanalizyniebyłprzypadkowy.
W±róduczniówpanujeopinia,»ezadaniageometrycznenaOlimpiadzieMatematycznejs¡
trudne,gdy»niepoddaj¡si¦łatwosprowadzeniurozwi¡zaniadozastosowania tricków olim-
pijskich.St¡dwrozwi¡zaniachuczniowskichtychzada«,mo»naznale¹¢interesuj¡cesposoby
podej±ciauczniówdozagadnie«matematycznych,anaichpodstawieopisa¢procesrozwi¡-
zywaniazada«.Bardzowa»n¡przyczyn¡zaj¦ciasi¦zadaniamigeometrycznymibyłosilne
przekonanie,»egeometriaodgrywałaiodgrywabardzoistotn¡rol¦wkształceniuwyobra¹ni
iintuicjiuczniów.
Zkoleizadaniaonierówno±ciachs¡stałymiwa»nymskładnikiemzestawówolimpijskich.Im-
pulsemdobadaniarozwi¡za«zada«tegotypu,byłopojawieniew±róduczestnikówOMpewnej
modynanierówno±ci,którazwi¡zanabyłazwydaniemszeregupozycjiksi¡»kowychotejte-
matyce.
ProfesorAndrzejSchinzel,laureatdrugiejOM,wyraziłopini¦,»e startwolimpiadziedo-
1 Przyj¡łemnast¦puj¡cysposóbnotacjizada«:pierwszacyfraoznaczanumerzadania,druga-numeretapu,
aliczbadwucyfrowa-numerOlimpiadyMatematycznej.
3
brzeprzygotowujedopewnegotypupracynaukowej,uczybowiemstawianiairozwi¡zywania
zagadnie«(poprzeztreningwrozwi¡zywaniuzada«olimpijskich),jednak»eselekcjaolimpij-
skapomijainnytypuzdolnie«,potrzebnywpracynaukowej,wa»nyrównie»iwmatematyce-
umiej¦tno±¢tworzeniateorii ([14],1975).
Mówi¡cniecogórnolotnie,analizuj¡czadaniazOlimpiadMatematycznychstarałemsi¦ zoba-
czy¢ obrazmatematyki,jakichcemyprzekazywa¢naszymnajzdolniejszymuczniom.Trzeba
pami¦ta¢,»es¡oniwwieku,gdychłoniesi¦±wiat,nabywawarto±ci,gdywykształcaj¡si¦
postawynacałe»ycie.Obrazmatematyki,jakizobacz¡uczniowie,b¦dziedeterminowałich
działaniaiodniesieniazwi¡zanezmatematyk¡.
Wa»n¡cz¦±ci¡pracybyłorozpoznaniestrategiirozwi¡zywaniazadania(wyboruwła±ci-
wychstrategiizewzgl¦dunaprostot¦,poprawno±¢,skuteczno±¢orazpowi¡zaniestrategiiz
istotnymiproblemamiwjejrealizacji).Wtrakciebada«obserwowałemzwi¡zkimi¦dzywybo-
remstrategiirozwi¡zywaniazadaniaitreningiemolimpijskim,jakiemuzostałpoddanyucze«.
Poddałemanalizietak»ezwi¡zkimi¦dzystosowanymimetodamirozwi¡zywaniazada«,zna-
jomo±ci¡literatury olimpijskiej imiejscemnauki.Wiadomo,»edostrzegalnajestwyra¹na
dominacja(gdychodzioliczb¦uczestnikówIIiIIIetapuOlimpiadyMatematycznej)uczniów
stajniolimpijskich ,czyliszkół,wktórychkładziesi¦wi¦kszynacisknakształcenieuczestników
olimpiad(oczym±wiadczymi¦dzyinnymiprogramnauczaniamatematykiorazbogataoferta
dodatkowychzaj¦¢).
Ju»w1975rokuIreneuszBiałeckiwpracy([14])pisał:
W±ródlaureatówbardzowieluko«czyłorenomowaneszkoły,znanezdobrychnauczycieli,wy-
chowawcówwieluzwyci¦zcówiwyró»nionych.Faktten,tylkocz¦±ciowomo»nawyja±nia¢tym,
»edolepszychszkółprzyjmowanis¡uczniowiezdolniejsi.Wskazujeonrównie»nadu»ezna-
czeniepoziomuszkoły,acozatymidziesposobuprzygotowaniadostartuwolimpiadzie.(...)
Mówisi¦nawetopojawieniusi¦w±ródstartuj¡cychspecjalnejkategorii„profesjonalistów”,
którzyprzezdługiczastrenuj¡rozwi¡zywaniezada«,korzystaj¡czwydawanegocoroczniezbio-
ruzada«olimpijskich.
Badałemtak»ebł¦dy,jakiepopełnialiuczniowieorazprzyczynypowstawaniatychbł¦dów.
Wzwi¡zkuztym,»ezadaniaOMnies¡typowymizadaniamiszkolnymi,auczestnicyOM-
typowymiuczniami,pojawiłasi¦potrzebastworzenianowejtypologiibł¦dów,bardzieju»y-
tecznejdoopisubł¦dówuczestnikówOMni»tradycyjnetypologie.
Wswojejpracyanalizowałemtak»etrudno±ci,któreprowadziłydobł¦dów.Rozpoznanie
przyczynbł¦dówprowadzidopróbywskazaniametodichpoprawieniaorazwskazaniaspo-
sobówunikaniaokre±lonychbł¦dówwprzyszło±ci.Chodzituzarównoopomocskierowan¡
douczniów,jakidonauczycieli,pracuj¡cychzmłodzie»¡uzdolnion¡orazosóbukładaj¡-
cychioceniaj¡cychzadaniaOM.Szeregbł¦dów,jakiepojawiałysi¦wrozwi¡zaniachuczniów
startuj¡cychwOM,mógłby¢spowodowanyniewła±ciwympodej±ciemnauczycielidopracy
zuczniemzdolnym.Wyra»amnadziej¦,»emojespostrze»eniapozwol¡naopracowaniesys-
temowychrozwi¡za«,którychwtejchwiliniema-ka»dynauczycielpracuj¡cyzuczniami
uzdolnionymiopierasi¦głównienaswojejintuicjiiwłasnychdo±wiadczeniach.
St¡dwynikałinny,wa»nycelpracy:stworzeniepewnegorodzajumateriału¹ródłowego
dlanauczycieli.Przeczytałemstarannie1959pracuczniowskichiopisałem–zestosownymi
komentarzami–wszystkiesposoby,jakimiuczniowieatakowaliposzczególnezadania.Wy-
ci¡gn¡łemztegokonkretnewnioskidydaktyczne.Realizacjategoceluwpłyn¦łanaznaczn¡
obj¦to±¢pracy.Jednakbeztegoowecennepomysłyuczniowskieuległybyzapomnieniu.Mo»na
te»zrozumie¢,comiałemnamy±lipisz¡cwpierwszychzdaniachwst¦pu,»emonitorowanie
OMnabie»¡cowymagałobypracycałegosztabuludzi.
4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin