02chgeo.pdf
(
142 KB
)
Pobierz
Microsoft Word - 02chgeo.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
2.1. Definicje podstawowych charakterystyk geometrycznych
Podczas zaj
ħę
z
wytrzymało
Ļ
ci materiałów
spotkamy si
ħ
z nast
ħ
puj
Ģ
cymi charakterystykami
geometrycznymi figur płaskich:
• pole powierzchni figury,
• moment statyczny figury wzgl
ħ
dem danej osi,
• moment bezwładno
Ļ
ci figury wzgl
ħ
dem danej osi,
• moment dewiacji (od
Ļ
rodkowy) wzgl
ħ
dem danych osi,
• biegunowy moment bezwładno
Ļ
ci,
• promie
ı
bezwładno
Ļ
ci,
• wska
Ņ
nik wytrzymało
Ļ
ci,
• rdze
ı
przekroju.
Omówimy teraz pierwszych sze
Ļę
, pozostałe w toku dalszych wykładów i
ę
wicze
ı
.
Rozwa
Ň
my figur
ħ
płask
Ģ
, pokazan
Ģ
na rys.2.1, stanowi
Ģ
c
Ģ
obszar
A,
okre
Ļ
lony w
kartezja
ı
skim układzie osi (
X, Y
)
Y
Y
1
x
dA
A
a
x
1
y
y
1
X
1
b
X
Rys. 2.1
Polem powierzchni tej figury nazywamy:
A
=
ÐÐ
dA
[m
2
] ( > 0).
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu
A
wzgl
ħ
dem osi
X
nazywamy :
S
x
=
ÐÐ
y
dA
[m
3
] ( >, =, < 0).
A
Momentem statycznym figury płaskiej o polu
A
wzgl
ħ
dem osi
Y
nazywamy :
S
y
=
ÐÐ
x
dA
[m
3
] ( >, =, < 0).
A
Obliczamy momenty statyczne tej figury wzgl
ħ
dem nowych osi (
X
1
, Y
1
) przesuni
ħ
tych o
a
i
b
wzgl
ħ
dem osi (
X, Y
). Poniewa
Ň
:
y
1
=
y
−
b
i
x
=
x
−
a
,
to:
11
1
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
S
x
1
=
ÐÐ
y
1
dA
=
ÐÐ
(
y
−
b
)
dA
=
S
x
−
b
A
,
A
A
S
y
1
=
ÐÐ
x
1
dA
=
ÐÐ
(
x
−
a
)
dA
=
S
y
−
a
A
.
A
A
S
x
1
=
S
x
−
b
A
,
S
y
1
=
S
y
−
a
A
(2.1)
gdzie:
a
i
b
współrz
ħ
dne
pocz
Ģ
tku nowego układu w starym.
Postawmy teraz takie zadanie: maj
Ģ
c osie (
X,Y
) znale
Ļę
poło
Ň
enie nowych osi (
X
c
,Y
c
)
wzgl
ħ
dem których momenty statyczne b
ħ
d
Ģ
równe zero.
Z równania (2.1) łatwo otrzymujemy współrz
ħ
dne pocz
Ģ
tku nowego układu osi (
X
c
,Y
c
)
wzgl
ħ
dem których momenty statyczne s
Ģ
równe zero:
x
=
S
y
;
y
=
S
x
(2.2)
c
c
A
A
Punkt
C
o współrz
ħ
dnych okre
Ļ
lonych wzorami (2.2) nazywa
ę
b
ħ
dziemy
Ļ
rodkiem ci
ħŇ
ko
Ļ
ci
figury płaskiej, a osie, które przechodz
Ģ
przez
Ļ
rodek ci
ħŇ
ko
Ļ
ci nazywamy osiami
centralnymi.
Osie centralne figury płaskiej to osie wzgl
ħ
dem których jej momenty statyczne s
Ģ
równe zero.
Wzory (2.2) pozwalaj
Ģ
wyznaczy
ę
moment
statyczny figury wzgl
ħ
dem dowolnej osi, bez
konieczno
Ļ
ci całkowania, je
Ļ
li tylko znamy
jej pole powierzchni
A
i poło
Ň
enie jej
Ļ
rodka
ci
ħŇ
ko
Ļ
ci
C
.
C
A
z
h
S
z
=
hA
Zdefiniujemy teraz kolejno momenty bezwładno
Ļ
ci, moment dewiacji i biegunowy moment
bezwładno
Ļ
ci.
Y
1
Y
x
1
dA
A
a
x
r
y
y
1
O
X
b
X
1
Rys. 2.2
Momentem bezwładno
Ļ
ci figury płaskiej o polu
A
(rys.2.2) wzgl
ħ
dem osi
X
nazywamy:
J
=
ÐÐ
y
2
dA
[m
4
] ( > 0).
x
A
Momentem bezwładno
Ļ
ci figury płaskiej o polu
A
wzgl
ħ
dem osi
Y
nazywamy:
J
=
ÐÐ
x
2
dA
[m
4
] ( > 0).
y
A
12
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Momentem dewiacji figury płaskiej o polu
A
wzgl
ħ
dem układu osi (
X,Y
) nazywamy:
J
xy
=
ÐÐ
xy
dA
[m
4
] ( >, =, < 0).
A
Biegunowym momentem bezwładno
Ļ
ci figury płaskiej o polu
A
wzgl
ħ
dem bieguna
O
nazy-
wamy:
J
=
ÐÐ
r
2
dA
[m
4
] ( > 0).
0
A
= co pozwala stwierdzi
ę
,
Ň
e:
biegunowy moment bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem dowolnego punktu równa si
ħ
sumie
momentów bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem dwóch do siebie prostopadłych osi przechodz
Ģ
cych
przez ten punkt.
Obliczmy momenty bezwładno
Ļ
ci i dewiacji tej figury wzgl
ħ
dem nowych osi (
X
1
, Y
1
)
przesuni
ħ
tych o
a
i
b
wzgl
ħ
dem osi (
X, Y
). Poniewa
Ň
:
r
2
=
x
+
2
y
2
, to łatwo zobaczy
ę
,
Ň
e:
J
J
+
J
0
x
y
y
1
=
y
+
b
i
x
1
=
x
+
a
, to:
J
=
ÐÐ
y
2
1
dA
=
ÐÐ
(
y
+
b
)
2
dA
=
ÐÐ
(
y
2
+
2
by
+
b
2
)
dA
=
J
+
2
b
S
+
b
2
A
,
x
1
x
x
A
A
A
J
=
ÐÐ
x
2
1
dA
=
ÐÐ
(
x
+
a
)
2
dA
=
ÐÐ
(
x
2
+
2
ax
+
a
2
)
dA
=
J
+
2
a
S
+
a
2
A
,
y
y
y
1
A
A
A
J
x
1
y
1
=
ÐÐ
1
x
1
y
dA
=
ÐÐ
(
x
+
a
)(
y
+
b
)
dA
=
J
xy
+
aS
x
+
bS
y
+
abA
.
A
A
Je
Ļ
li stare osie (
X,Y
) s
Ģ
osiami centralnymi to
S
x
=
0
oraz
S
y
=
0
i otrzymujemy wzory
stanowi
Ģ
ce tre
Ļę
twierdzenia Steinera:
J
x
1
=
J
xc
+
b
2
A
J
y
1
=
J
yc
+
a
2
A
(2.3)
J
x
1
y
1
=
J
xcyc
+
ab
A
, , momenty bezwładno
Ļ
ci i dewiacji wzgl
ħ
dem osi centralnych zgodnie
równoległych z osiami (
X
1
,Y
1
),
a
i
b
współrz
ħ
dne
Ļ
rodka ci
ħŇ
ko
Ļ
ci figury w układzie (
X
1
, Y
1
).
J
xc
J
yc
,
J
xcyc
Wyznaczymy teraz momenty bezwładno
Ļ
ci i dewiacji wzgl
ħ
dem układu osi (x
,
h) obróconego
wzgl
ħ
dem pocz
Ģ
tku układu (
X,Y
) o k
Ģ
t a,
jak to pokazane jest na
rys.2.3
.
h
Y
A
x
dA
x
h
x
a
y
a
X
Rys. 2.3
13
Poniewa
Ň
:
gdzie:
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Łatwo zobaczy
ę
,
Ň
e współrz
ħ
dne punktu w nowym układzie zwi
Ģ
zane s
Ģ
ze współrz
ħ
dnymi w
starym układzie poprzez zale
Ň
no
Ļ
ci:
x
=
x
cos
a
+
y
sin
a
;
h
=
−
x
sin
a
+
y
cos
a
,
co mo
Ň
na zapisa
ę
w postaci macierzowej:
Å
Æ
x
Õ
Ö
=
Å
Æ
cos
a
,
sin
a
Õ
Ö
Å
Æ
x
Õ
Ö
,
h
−
sin
a
,
cos
a
y
gdzie:
Å
Æ
cos
a
,
sin
a
Õ
Ö
- macierz przej
Ļ
cia od układu starego do nowego, jej wiersze to
−
sin
a
,
cos
a
współrz
ħ
dne wersorów kierunkowych nowych osi w starym układzie.
Zgodnie z definicjami momentów bezwładno
Ļ
ci i dewiacji otrzymujemy:
J
=
ÐÐ ÐÐ
h
2
dA
=
(
−
x
sin
a
+
y
cos
a
)
2
dA
=
J
cos
2
a
+
J
sin
2
a
−
2
J
sin
a
cos
a
,
x
x
y
xy
A
A
J
=
ÐÐ ÐÐ
x
2
dA
=
(
x
cos
a
+
y
sin
a
)
2
dA
=
J
sin
2
a
+
J
cos
2
a
+
2
J
sin
a
cos
a
,
h
x
y
xy
A
A
J
xh
=
ÐÐ ÐÐ
x
dA
=
(
x
cos
a
+
y
sin
a
) (
−
x
sin
a
+
y
cos
a
)
=
dA
A
A
=
J
cos
2
a
−
J
sin
2
a
+
J
sin
a
cos
a
−
J
sin
a
cos
a
.
xy
xy
x
y
Po wykorzystaniu zale
Ň
no
Ļ
ci trygonometrycznych:
sin
2
a
=
2
sin
a
cos
a
,
cos
2
a
=
cos
2
a
−
sin
2
a
,
cos
2
a
=
(
1
+
cos
2
a
)
2
,
sin
2
a
=
(
1
−
cos
2
a
)
,
2
mamy ostatecznie:
J
=
J
x
+
J
y
+
J
x
−
J
y
cos
2
a
−
J
sin
2
a
,
x
2
2
xy
J
=
J
x
+
J
y
−
J
x
−
J
y
cos
2
a
+
J
sin
2
a
,
(2.4)
h
2
2
xy
J
=
J
x
−
J
y
sin
2
a
+
J
cos
2
a
.
xh
2
xy
Warto zapami
ħ
ta
ę
te zale
Ň
no
Ļ
ci. Wzory o identycznej strukturze jeszcze nie raz pojawi
Ģ
si
ħ
w
wytrzymało
Ļ
ci materiałów.
Bez trudu mo
Ň
na stwierdzi
ę
,
Ň
e:
J
x
+
h
J
=
J
x
J
+
y
,
czyli,
Ň
e suma momentów bezwładno
Ļ
ci figury płaskiej wzgl
ħ
dem dwóch dowolnych ale
prostopadłych do siebie osi o wspólnym pocz
Ģ
tku jest wielko
Ļ
ci
Ģ
stał
Ģ
i co mo
Ň
emy doda
ę
równa si
ħ
jej biegunowemu momentowi bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem punktu pocz
Ģ
tkowego.
14
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Adam Bodnar: Wytrzymało
Ļę
Materiałów. Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
2.2. Główne osie i momenty bezwładno
Ļ
ci
Postawimy, teraz wa
Ň
ne pytanie: o jaki k
Ģ
t a nale
Ň
y obróci
ę
układ osi (
X,Y
) aby momenty
bezwładno
Ļ
ci w nowym układzie osi
Ģ
gn
ħ
ły warto
Ļ
ci ekstremalne.
Jest to proste zadanie poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej.
Warunki zerowania si
ħ
pochodnych momentów bezwładno
Ļ
ci
x
J
wzgl
ħ
dem k
Ģ
ta a:
dJ
x
=
−
2
J
x
−
J
y
sin
2
a
−
2
J
cos
2
a
=
0
xy
d
a
2
dJ
h
=
2
J
x
−
J
y
sin
2
a
+
2
J
cos
2
a
=
0
,
xy
d
a
2
daj
Ģ
jedno równanie:
J
x
−
J
y
sin
2
a
+
J
cos
2
a
=
0
.
xy
2
Z powy
Ň
szego równania, którego lewa strona to moment dewiacji
xh
J
wzgl
ħ
dem nowych osi
otrzymujemy:
tg a
2
=
2
J
−
xy
J
®
a
=
1
arc
tg
2
J
xy
+
n
p
(2.5)
J
2
J
−
J
2
y
x
y
x
co dowodzi,
Ň
e osie wzgl
ħ
dem których momenty bezwładno
Ļ
ci osi
Ģ
gaj
Ģ
warto
Ļ
ci ekstremalne,
a moment dewiacji jest równy zero s
Ģ
do siebie prostopadłe. Tworz
Ģ
one układ osi, który
nazywa
ę
b
ħ
dziemy układem głównych osi bezwładno
Ļ
ci. Zatem:
główne osie bezwładno
Ļ
ci figury płaskiej w dowolnym punkcie to dwie prostopadłe osie
wzgl
ħ
dem których jej moment dewiacji jest równy zero a momenty bezwładno
Ļ
ci s
Ģ
ekstremalne (główne momenty bezwładno
Ļ
ci).
Policzmy warto
Ļ
ci głównych momentów bezwładno
Ļ
ci.
Wykorzystuj
Ģ
c wzory trygonometryczne:
sin
2
a
=
tg
2
a
;
cos
2
a
=
1
2
2
±
1
+
tg
2
a
±
1
+
tg
2
a
w których za
tg wstawiamy wzór (2.5), podstawiamy je do wzorów na
x
2
J
oraz
h
J
i
otrzymujemy:
15
J
i
h
Plik z chomika:
a_ziomek
Inne pliki z tego folderu:
Wykład nr 3.rar
(4123 KB)
Wykład nr 2.rar
(5634 KB)
Wykład nr 1.rar
(5557 KB)
wykład 8.rar
(3969 KB)
wykład 7.rar
(5892 KB)
Inne foldery tego chomika:
----------------------------------- ▫►Przepisy kulinarne
■ P90x2 Deluxe
►Leczenie głodem
●KURS PHOTOSHOP
●Wiem co Jem
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin