twuc_31.pdf

3. SYNTEZA UKŁADÓW KOMBINACYJNYCH

3.1. ZASADY OGÓLNE

3.1.1. ZAPIS FUNKCJI

Synteza układów przełączających to zespól czynności, które n-i

podstawie założeń dotyczących działania układów •— doprowadza ją

do schematu logicznego układu, przy czym schemat ten powinien za-

wierać tylko elementy przewidzianego typu i spełniać pewne wymagania

optymalności. W przypadku układu kombinacyjnego schemat logiczny

można jednoznacznie opisać rodziną funkcji przełączających

yi =ft{x l ,x 2 ,...,x„) i= 1,2, ...,m

więc za cel syntezy można uważać uzyskanie tych funkcji o odpowiedniej

postaci.

Założenia dotyczące działania układu najczęściej są podawane w po-

staci opisu słownego, tablicy wartości funkcji lub wykresu czasowego.

Opis słowny funkcji realizowanych przez układ musi jednoznacznie

określić przypadki, w których sygnały wyjściowe mają wartość 0 albo 1.

Przykładem poprawnego opisu może być zdanie: „zaprojektować układ

z elementów I, LUB, NIE o trzech wejściach x u x 2 ,,x 3) wyróżniający

sygnałem y — \ przypadki, gdy na wejściu pojawi się liczba dwójkowa

nieparzysta lub podzielna przez 3 (,v 3 odpowiada pozycji najmniej zna-

czącej)".

Tablica wartości funkcji to zestaw wszystkich możliwych wartości

sygnałów wejściowych i odpowiadających im wartości sygnałów wyjścio-

wych. Dla układu zadanego powyższym opisem słownym tablica wartości

funkcji ma np. postać:

3, Synteza układów hombinacyjnych

x 2

Dla ułatwienia podano tu z boku odpowiednią liczbę dziesiętną.

Tablica jest bardziej konkretną i pełną postacią zapisu funkcji niż

opis słowny i dlatego często z opisu słownego przechodzi się do tablicy,

sprawdzając przy tym, czy posiadane informacje o funkcji są pełne i wy-

starczają do wypełnienia wszystkich pozycji. Niekiedy zdarza się, że

wartość funkcji przy pewnych kombinacjach sygnałów wejściowych jest

dowolna lub nieokreślona, np. gdy z jakichś względów takie kombinacje

wejściowe nigdy w rzeczywistości nie występują. Funkcja nosi wówczas

nazwę funkcji niepełnej (niezupełnej, nie w pełni okreśhnej), a w jej tablicy,

w odpowiednich pozycjach kolumny y, stawia się kreskę.

Wykres czasowy jest rzadziej spotykaną postacią zapisu układu kom-

binacyjnego, ale niekiedy bywa pomocny. Na rys. 3-1 przedstawiono

przebiegi dla funkcji niepełnej (nieokreślonej wartością odpowiada linia

r-l

—

r-n

p—i

Rys. 3-1. Wykres czasowy ukiadu kombinacyjnego

przerywana). Zwykle zakłada się, że przypadki nie pokazane na wykresie

dotyczą nieokreślonej wartości y i dlatego rysując wykres należy uwzględ-

niać wszystkie kombinacje robocze. Łatwo zauważyć, że wykres czasowy

czytany z góry w dół dla określonej chwili t opisuje jeden wiersz tablicy

•

3.1, Zasady ogólne 85

wartości funkcji, więc i między tymi postaciami zapisu istnieje pełna

równoważność.

3.1.2. POSTAĆ KANONICZNA FUNKCJI

Ogólną postać funkcji przełączającej można zawsze rozbić na dwa

składniki lub czynniki, wg zależności:

, X 2 , ..., ,V„)

f{x u X 2 , ...,#„) sa [»j+/(0, *2, •..,X,,)][x i +f{\,X 2 , ...,X„)\

Prawdziwość tych związków można łatwo sprawdzić, podstawiając

obustronnie dwie możliwe wartości x 1 : 0 i 1. W podobny sposób każdy

z otrzymanych składników (czynników) można dalej rozłożyć względem

innej zmiennej, np.

+ x l x 2 -f(0, l, Xil ... > x n ) + x 1 x i -f(0,f) s x 3>

l l \,x it ...,x n )+x l x 1 -f(l,0,x 3 ,

..., x„) +

Jeśli operację tę przeprowadzi się dla wszystkich zmiennych x, to

rezultatem przekształcenia będzie zależność

,.,4

f(x u x 2 , ...,x n ) -= x 1 x z ...x„-f(\, I, ..., l) + ,

+x 1 x 1 ... x„^x a -f(l, 1, ..., 1,0) + ...,

... +x 1 x 1 -

**-fQ; 0, ...,0)+x 1 x 1 ...x n .f(0,0,

...,0)

(3-1)

Podobnie, z rozkładania na czynniki otrzymuje się

f(x t x 2 , ...,#„) = [Xi+x 2 + ... +x a +f(0, 0, ...,0)][A: t +.v 2 + ...

(3-2)

W tych bardzo ważnych zależnościach występują pewne prawidło-

wości, które łatwiej będzie określić wprowadzając dodatkowe oznaczenia.

Iloczyn wszystkich argumentów funkcji (z negacjami lub bez) będzie

nazywany iloczynem pełnym i oznaczany przez Kz odpowiednim indeksem.

Indeks jest liczbą dwójkową (lub równoważną —• dziesiętną) utworzoną

przez przyporządkowanie każdej zmiennej x t symbolu 1, a zmiennej # ; —

... +x a _ 1 +x„+f(0 i a, ...,0,1)] ...[w 1 +*2+...

0, 1, .... 1)]^+^+ ... +x„+f(\,l, .... 1}]

3. Synteza ukladita kombmacyjnych

symbolu 0. Tak więc iloczynowi pełnemu x x x 2 odpowiada indeks (11),

czyli 3 i symbol K it pełnemu iloczynowi *i»2W 3 — indeks (010), czyli

2 i symbol K 2 , itd.

Suma wszystkich argumentów funkcji z negacjami lub bez będzie

nazywana.pełną sumą i oznaczana przez D z indeksem. Indeks tworzy się

tu odwrotnie niż przy iloczynie pełnym — przyporządkowując zmiennej

x t — Oj a zmiennej #; — 1. Sumie pełnej x L +x 2 odpowiada więc indeks

(101), czyli 5 i D s .

Symbole Ki i D f jednoznacznie określają iloczyn pefny i sumę pełną,

gdy jest znana liczba zmiennych n.

Również wartość funkcji dla konkretnych wartości argumentów

dogodnie jest oznaczyć symbolem a, z indeksem w postaci liczby dzie-

siętnej, odpowiadającej wartościom argumentów, np.

/(1,1) = « 3 /[Ul)-* itd.

Wprowadzając te oznaczenia, wzory (3-1) i (3-2) dla funkcji dwóch

zmiennych można zapisać w postaci

f(x lt x 2 )=x l x 1 -f{l,

l) + x 1 x 2 .f(l > 0) + x lX2 .f(0,

o, 0) = iC

„ x 2 ) = [x ± +x 2 +/(0, 0)] [ Xl +x 2 +/(0, lftfó +x z +/(1, 0)]

Podobnie dla n zmiennych

2"-I

2>_ i

4{ v

„ \ _ TT

Symbol 2J oznacza tu sumę logiczną; a IJ — iloczyn logiczny.

(00), czyli 0 i symbol D Ol natomiast sumie pełnej x 1 +x 2 +x 3 — indeks

h 1)] -

3.1. Zasady ogólne

Powyższe zależności umożliwiają łatwe przejście od tablicy wartości

funkcji (lub innego równoważnego zapisu) do wyrażenia logicznego,

Tablica przedstawia kolejne -wartości « ; . Ponieważ 0-^ = 0 oraz

1 • Ki — Kt — do przedstawienia funkcji wg zależności (3-3) należy

wypisać sumę tych K,, dla których « ; = 1. Dla podanej wyżej tablicy

będzie to wyrażenie

y(x ls x z , af 3 ) = K x +K 3 +K 5 +K 6

y =

Formułę taką można otrzymać bezpośrednio z tablicy, biorąc pod

uwagę jedynie te wiersze, dla których y = 1, i przypisując wartościom

Xi — 0 zmienną x h a wartościom x t — 1 —zmienną xt- Tak utworzone

iloczyny pełne należy dodać. Uzyskana postać funkcji nosi nazwę postaci

kanonicznej sumy. Z zasad jej tworzenia wynika, że każda funkcja może

mieć tylko jedną taką postać.

Przy przedstawianiu funkcji wg zależności (3-4) należy zauważyć,

że 0+D[ = Di, 1+A = 1, więc w odpowiednim wyrażeniu należy

wypisać iloczyn tych D;, dla których ot; = 0. Dla rozpatrywanego przy-

kładu będzie to wyrażenie

czyli

y =

Formułę taką można otrzymać bezpośrednio z tablicy, biorąc pod

uwagę jedynie te wiersze, dla których y = 0 i przypisując wartościom

Xj — 0 zmienną x it a wartościom x t = 1 — zmienną Kt, Tak utworzone

pełne sumy należy pomnożyć. Uzyskana postać funkcji nosi nazwę postaci

kanonicznej iloczynu i również jest jedna dla każdej funkcji.

Postaci kanoniczne często zapisuje się w skrócie, w postaci zbioru

indeksów (bez K i D) z odpowiednim symbolem operacji, np.

oraz

y(x x , *i, * 3 ) = £ (!> 3, 5, 6, 7)

y(x u x 2 ,x 3 ) =

czyli

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: