Mechanika Kwantowa, Kryszewski.pdf

(6367 KB) Pobierz
173314138 UNPDF
Spis tre±ci
I CZ GÓWNA WYKADU
1
1 Cz¡stki i fale 1
1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Analiza do±wiadczenia interferencyjnego Young'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Eksperyment pierwszy jedna szczelina otwarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Eksperyment drugi obie szczeliny otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Dualizm korpuskularnofalowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Podsumowanie omawianych do±wiadcze« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Kwantowa unikacja obu aspektów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Dualizm korpuskularnofalowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Idea rozkªadu spektralnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera 12
2.1 Funkcja falowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Uwagi i komentarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Uzasadnienie równania Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Dalsze uwagi i komentarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Uogólnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Wªasno±ci funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 G¦sto±¢ i pr¡d prawdopodobie«stwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Stacjonarne równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Cz¡stka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Stany zwi¡zane i rozproszeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Warunki ci¡gªo±ci dla funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 30
3.1 Przestrze« funkcji falowych i operatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Przestrze« funkcji falowych przestrze« Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Operatory na przestrzeni funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Obserwable i pomiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Wyniki pomiarów i ich prawdopodobie«stwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Warto±ci oczekiwane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Dyskusja dodatkowa. Dyspersje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Konstrukcja operatorów obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Operatory poªo»enia i p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 Zasada odpowiednio±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3 Hamiltonian cz¡stki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne. Metoda kwantowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Równanie Schrödingera 52
4.1 Zachowanie normy wektora stanu funkcji falowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Równanie Schrödingera dla ukªadu konserwatywnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Ewolucja w czasie dla stanu stacjonarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Normowanie stacjonarnej funkcji falowej (4.25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 Stan pocz¡tkowy stan wªasny hamiltonianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.4 Uwagi o zachowaniu energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Ewolucja warto±ci oczekiwanej obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 h A i t liczbowa funkcja czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.2 Równanie ruchu dla h A i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Twierdzenie Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.1 Wyprowadzenie równa« Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
i
3.10.2004
MECHANIKA KWANTOWA Spis tre±ci
ii
4.4.2 Dyskusja. Granica klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Zasada nieoznaczono±ci 63
5.1 Formalna zasada nieoznaczono±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.1 rednie i dyspersje. Poj¦cia wst¦pne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.2 Zasada nieoznaczono±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczono±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Dyskusja i pewne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 Ogólne sformuªowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.2 Relacja nieoznaczono±ci poªo»eniep¦d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Zasada nieoznaczono±ci energia czas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Wa»ny przykªad oscylator harmoniczny 71
6.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Stacjonarne równanie Schrödingera dla oscylatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.1 Zamiana zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.2 Zachowanie asymptotyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2.3 Równanie dla funkcji f ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 Rozwi¡zanie via konuentna funkcja hipergeometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3.1 Konuentne równanie hipergeometryczne. Rozwi¡zanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3.2 Dyskusja rozwi¡za« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3.3 Wielomiany Hermite'a. Funkcje wªasne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.4 Podsumowanie: funkcje i energie wªasne oscylatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Pewne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4.1 Element macierzowy operatora poªo»enia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4.2 Element macierzowy operatora p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.4.3 Elementy macierzowe h k j ^ x 2 j n i oraz h k j ^ p 2 j n i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.4.4 Zasada nieoznaczono±ci i energia stanu podstawowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7 Notacja Diraca 84
7.1 Abstrakcyjna przestrze« wektorów stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2 Kety i bra. Notacja Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3 Operatory liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3.1 Operatory, kety i bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3.2 Operator rzutowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Sprz¦»enia hermitowskie w notacji Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4.1 Denicja operatora sprz¦»onego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4.2 Wªasno±ci sprz¦»enia hermitowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4.3 Uwagi dodatkowe i przykªady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.4.4 Notacja Diraca reguªy mnemotechniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 Operatory hermitowskie obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8 Reprezentacje w przestrzeni stanów 91
8.1 Denicja reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.1.1 Intuicyjne wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.1.2 Relacje ortonormalno±ci i zupeªno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.2 Reprezentacje ketów, bra oraz operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.1 Reprezentacje ketów i bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.3 Uwagi o normowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2.4 Reprezentacja j 0 i = A j i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.6 Elementy macierzowe operatora sprz¦»onego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.7 Wyra»enie dla h ' j A j i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3 Operatory rzutowe i rozkªad spektralny obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3.1 Projektory jednowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3.2 Projektory wielowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.3.3 Rozkªad spektralny obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.4 Nowa terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.4.1 Funkcje falowe w reprezentacji U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.4.2 Operatory w reprezentacji U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.4.3 Uwagi dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9 Reprezentacje poªo»eniowa i p¦dowa 103
9.1 Reprezentacja poªo»eniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.1 Denicja reprezentacji poªo»eniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji poªo»eniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.1.3 Operatory w reprezentacji poªo»eniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.1.4 Operator p¦du w reprezentacji poªo»eniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.1.5 Zasada odpowiednio±ci w reprezentacji poªo»eniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2 Reprezentacja p¦dowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.3 Zwi¡zek mi¦dzy reprezentacjami j ~ r i i j ~ p i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
ii
173314138.003.png
 
3.10.2004
MECHANIKA KWANTOWA Spis tre±ci
iii
9.3.2 Funkcje wªasne p¦du w reprezentacji poªo»eniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.3.3 Zmiana reprezentacji pary fourierowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3.4 Cz¡stka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3.5 Kªopoty interpretacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10 Zupeªny zbiór obserwabli komutuj¡cych 115
10.1 Twierdzenia matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2 Zupeªny zbiór obserwabli komutuj¡cych (ZZOK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.3 Uwagi praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 Postulaty mechaniki kwantowej 120
11.1 Postulat 1: wektor stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.2 Postulat 2: obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.3 Postulat 3: wyniki pomiarów warto±ci wªasne obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.4 Postulat 4: prawdopodobie«stwo wyników pomiarowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracj¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11.4.3 Przypadek widma ci¡gªego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.5 Postulat 5: pomiar redukcja wektora stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.6 Postulat 6: ewolucja w czasie równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12 Kwantowa teoria momentu p¦du 126
12.1 Orbitalny moment p¦du wst¦p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.1.1 Podstawowe denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.1.2 Relacje komutacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
12.2 Ogólny operator moment p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.2.1 Denicje i uwagi wst¦pne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.2.2 Relacje komutacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12.3 Warto±ci wªasne operatorów ~ J 2 oraz J 3 = J z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.3.2 Warto±¢ wªasna m jest ograniczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.3.3 Wªasno±ci J j j m i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.3.4 Warto±ci wªasne ~ J 2 oraz J 3 = J z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.4 Wektory wªasne operatorów ~ J 2 oraz J 3 = J z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.4.1 Konstrukcja stanów j j m i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.4.2 Reprezentacja standardowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13 Orbitalny momentu p¦du 137
13.1 Ogólne wªasno±ci orbitalnego momentu p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.1.1 Przypomnienie wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.2 Warto±ci wªasne i wektory wªasne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.2.1 Elementy macierzowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.3 Orbitalny moment p¦du w reprezentacji poªo»eniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3.1 Wspóªrz¦dne kartezja«skie i sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3.2 Operatory L k we wspóªrz¦dnych sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
13.3.3 Operator ~ L 2 we wspóªrz¦dnych sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.3.4 Warto±ci wªasne i funkcje wªasne ~ L 2 i L 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.4 Harmoniki sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.4.2 Konstrukcja harmonik sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.4.3 Harmoniki sferyczne zebranie informacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 149
14.1 Postawienie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14.1.1 Przypomnienie klasycznego problemu Keplera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14.1.2 Hamiltonian kwantowo-mechaniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
14.2 Separacja zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.2.1 Zale»no±¢ k¡towa funkcji wªasnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.2.2 Radialne równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.2.3 Zachowanie si¦ funkcji radialnych w r =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.3.1 Równanie radialne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.3.2 Liczby kwantowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.3.3 Degeneracja zasadnicza i przypadkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.4 Zagadnienie dwóch ciaª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.4.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.4.2 Warto±ci i funkcje wªasne Hamiltonianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
15 Atom wodoropodobny 161
15.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
15.2 Stabilno±¢ atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
15.2.1 Dyskusja klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
15.2.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
iii
173314138.004.png
 
3.10.2004
MECHANIKA KWANTOWA Spis tre±ci
iv
15.3 Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wodoropodobnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15.3.1 Równanie radialne dyskusja wªasno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15.3.2 Rozwi¡zanie równania radialnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15.3.3 Dyskusja rekurencji i kwantowanie energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.3.4 Funkcje radialne ogólne sformuªowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.4 Dyskusja uzyskanych rezultatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.4.1 Rz¦dy wielko±ci parametrów atomowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.4.2 Poziomy energetyczne. Gªówna liczba kwantowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.4.3 Radialne funkcje falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.4.4 Jawne wyra»enia dla kilku pierwszych funkcji radialnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15.4.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
15.5 Obliczanie ±rednich h r s i nl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
15.5.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
15.5.2 Kilka przypadków szczególnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
15.5.3 Wzór rekurencyjny Kramersa dla ±rednich h r s i nl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
16 Oddziaªywanie z polem elektromagnetycznym 180
16.1 Przypomnienie zyki klasycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
16.1.1 Równania Lagrange'a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
16.1.2 Potencjaª uogólniony U e dla cz¡stki w polu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
16.1.3 Formalizm kanoniczny (hamiltonowski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
16.1.4 Krótka uwaga o cechowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16.1.5 Hamiltonian cz¡stki klasycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
16.2 Przybli»enie póªklasyczne w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
16.2.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
16.2.2 Niezmienniczo±¢ ze wzgl¦du na cechowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.2.3 Ci¡gªo±¢ pr¡du prawdopodobie«stwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
16.3 Cz¡stka bezspinowa w jednorodnym polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
16.3.1 Wybór potencjaªu wektorowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
16.3.2 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
16.3.3 Dyskusja rz¦dów wielko±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
16.3.4 Interpretacja czªonu paramagnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
16.3.5 Interpretacja czªonu diamagnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
16.4 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
16.4.1 Poziomy energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
17 Teoria spinu 1/2 196
17.1 Wprowadzenie braki dotychczasowej teorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
17.2 Postulaty teorii Pauliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
17.3 Wªasno±ci momentu p¦du spinu 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
17.3.1 Sformuªowanie abstrakcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
17.3.2 Macierze Pauliego i operatory spinu 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
17.3.3 Spin w dowolnym kierunku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
17.4 Nierelatywistyczny opis cz¡stki o spinie 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
17.4.1 Wektory stanu spinory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
17.4.2 Operatory i ich dziaªanie na spinory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
17.4.3 Obliczanie prawdopodobie«stw i warto±ci oczekiwanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
18 Dodawanie momentów p¦du 212
18.1 Caªkowity moment p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
18.1.1 Przypomnienie z mechaniki klasycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
18.1.2 Przykªad kwantowo-mechaniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
18.1.3 Oddziaªywanie spin-orbita dyskusja wst¦pna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
18.2 Dodawanie dwóch momentów p¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
18.2.1 Dyskusja i wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
18.2.2 Podstawowe wªasno±ci operatora ~ J = ~ j 1 + ~ j 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
18.2.3 Warto±ci wªasne (liczby kwantowe) J oraz M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
18.2.4 Wektory wªasne operatorów ~ J 2 i J 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
18.3 Wspóªczynniki Clebscha-Gordana (CG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
18.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
18.3.2 Wªasno±ci wspóªczynników CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
19 Stacjonarny rachunek zaburze« 231
19.1 Istota problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
19.2 Rachunek zaburze« dla stanu niezdegenerowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
19.2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
19.2.2 Formalizm matematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
19.2.3 Poprawki pierwszego rz¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
19.2.4 Poprawki drugiego rz¦du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
19.2.5 Dyskusja uzyskanych rezultatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
19.2.6 Rachunek zaburze« dla stanu niezdegenerowanego. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . 241
19.3 Rachunek zaburze« dla stanu zdegenerowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
19.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
19.3.2 Formalizm rachunku zaburze« z degeneracj¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
iv
173314138.001.png
 
3.10.2004
MECHANIKA KWANTOWA Spis tre±ci
v
19.3.3 Dyskusja macierzy zaburzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
19.3.4 Poprawki pierwszego rz¦du do wektorów stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
19.3.5 Rachunek zaburze« z degeneracj¡ podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
20 Rachunek zaburze« z czasem 249
20.1 Przybli»one rozwi¡zanie równania Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
20.1.1 Zagadnienie stacjonarne przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
20.1.2 Wpªyw zewn¦trznego zaburzenia. Prawdopodobie«stwo przej±cia . . . . . . . . . . . . . . . 250
20.1.3 Prawdopodobie«stwo przej±cia w pierwszym rz¦dzie rachunku zaburze« . . . . . . . . . . . 252
20.2 Zaburzenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
20.2.1 Prawdopodobie«stwo przej±cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
20.2.2 Wªasno±ci funkcji pomocniczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
20.2.3 Prawdopodobie«stwo przej±cia. Przybli»enie rezonansowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
20.2.4 Zaburzenie staªe w czasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
20.2.5 Szeroko±¢ rezonansu i zasada nieoznaczono±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
20.2.6 Warunki stosowalno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
20.2.7 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
20.3 Sprz¦»enie ze stanami z continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
20.3.1 Dyskusja problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
20.3.2 Zªota reguªa Fermiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
21 Oddziaªywanie atomów z fal¡ elektromagnetyczn¡ 267
21.1 Prosta dyskusja zjawisk optycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
21.1.1 G¦sto±¢ modów we wn¦ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
21.1.2 Rozkªad Plancka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
21.1.3 Wspóªczynniki A i B Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
21.2 Oddziaªywanie atomu z fal¡ elektromagnetyczn¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
21.2.1 Hamiltonian oddziaªywania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
21.2.2 Prawdopodobie«stwo przej±cia, cz. I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
21.2.3 Prawdopodobie«stwo przej±cia, cz. II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
21.2.4 Reguªy wyboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
21.2.5 Wspóªczynniki A i B Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
21.2.6 Stosowalno±¢ rachunku zaburze« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
II ROZDZIAY UZUPENIAJCE I WICZENIOWE
1
22 (U.1) Cz¡stki i fale 1
22.1 Do±wiadczenia z polaryzacj¡ fotonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
22.1.1 Przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
22.1.2 Trzy polaryzatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
23 (U.2) Funkcje falowe i równanie Schrödingera 4
23.1 Równanie KleinaGordona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
23.2 Jednowymiarowe równanie Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
23.2.1 Ogólne omówienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
23.2.2 U ( x ) funkcja parzysta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
23.3 Jednowymiarowa, niesko«czona studnia potencjaªu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
23.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
23.3.2 Rozwi¡zanie równania Schrödingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
23.3.3 Funkcje falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
23.3.4 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
23.4 Jednowymiarowa, sko«czona studnia potencjaªu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
23.4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
23.4.2 Stany zwi¡zane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
23.4.3 Stany rozproszeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23.4.4 Rozpraszanie niskoenergetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
23.5 Cz¡stka swobodna i pakiet falowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
23.5.1 Pakiet falowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
23.5.2 Pakiet gaussowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
23.5.3 Ewolucja pakietu gaussowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23.5.4 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
24 (U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 33
24.1 Warto±ci oczekiwane i dyspersje dla stanu superponowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
24.1.1 Zaªo»enia wst¦pne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
24.1.2 Obliczenia elementów macierzowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
24.1.3 Dyspersja energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
24.2 Pomiary i stany po±rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
24.2.1 Do±wiadczenie 1: dwa kolejne pomiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
24.2.2 Do±wiadczenie 2: bez stanu po±redniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
24.2.3 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
S.Kryszewski
MECHANIKA KWANTOWA
v
173314138.002.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin