Cynk Sławomir - Algebra z teorią liczb.pdf - Books and publications - midebski

Notatkidowykadu

AlgebrazTeoriąLiczb

InstytutMatematyki

UniwersytetuJagiellońskiego

Semestrletni2006/zimowy2007

Sawomir Cynk

e-mail: cynk@im.uj.edu.pl

ROZDZIAŁ I

Teoria Grup

1. Struktury algebraiczne

Definicja I.1. Działaniem wewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie

h : A × A −→ A

iloczynukartezjańskiego A × A wzbiór A ,czyliodwzorowanieprzyporządkowująceparzeelementówzbioru A element

tego zbioru.

Poniższa tabelka zawiera przykłady działań znanych z arytmetyki

N N + Z Q ∗ Q + Q R ∗ R + R

x + y + + + + + + + + +

x − y − − + − − + − − +

x y + + + + + + + + +

x/y

− − − + +

− + +

−

x y + +

− −

−

Definicja I.2. Działanie wewnętrzne h : A × A −→ A nazywamy przemiennym , jeżeli dla dowolnych elementów

a,b ∈ A mamy

h ( a,b )= h ( b,a ) .

Działanie h nazywamy łącznym , jeżeli dla dowolnychelementów a,b,c ∈ A mamy

h ( a,h ( b,c )= h ( h ( a,b ) ,c ) .

Element o ∈ A nazywamy elementem neutralnym działania h , jeżeli dla dowolnego a ∈ A zachodzi

h ( o,a )= h ( a,o )= a.

Element a ′ ∈ A nazywamy elementem odwrotnym do a ze względu na działanie h z elementem neutralnym o , jeżeli

h ( a,a ′ )= h ( a ′ ,a )= o.

Lemat I.1. (a) Dla dowolnego działania istnieje co najwyżej jeden element neutralny. (b) Jeżeli działanie h jest

łączne to dowolny element a ∈ A ma co najwyżej jeden element odwrotny.

Dowód. (a) Załóżmy, że e 1 i e 2 są elementami neutralnymi, wtedy

e 1 = e 1 e 2 = e 2 .

(b) Załóżmy, że a ′ i a ′′ są elementami odwrotnymi do a . Wtedy

a ′ = a ′ e = a ′ ( aa ′′ )=( a ′ a ) a ′′ = a ′′ .

1. Struktury algebraiczne

Uwaga. Zwykle działanie oznaczamy symbolem mnożenia (zapis multiplikatywny), i wtedy element neutralny

oznaczamyprzez1,aelementodwrotnyprzez a − 1 ,jeżelidziałaniejestprzemienne,toczęsto(dlapodkreślenia)używa

sieznakudodwania(zapisaddydtwny),wtedyelementneutralnyoznaczasięprzez0,aelementodwrotny(przeciwny),

przez − a .

Łączność działania oznacza, że wynik mnożenia trzech elementów nie zależy od kolejności w jakiej wykkonujemy

mnożenie (kolejność działań) natomiast przemienność oznacza, że wynik nie zależy od kolejności czynników.

Jeśli działanie jest łączne to dla dowolnychelementów a 1 ,...,a n

∈ A mamy dobrze określony iloczyn a 1

a n ,

przyjmując więc a 1 = a n = a otrzymujemy (dobrze określoną) potęgę a n = a a

n razy

PrzykadI.2. Niech X będziedowolnymzbiorem,przykłademdziałanialącznegowzbiorze A = X X =Func( X,X )=

{ f : X −→ X } jest operacja składania odwzorowań. Jeżeli X jest zbiorem z dodatkową strukturą, to zamiast zbio

ru eszystkich odwzorowań możemy wziąć podzbiór złożony z odwzorowań zachowujących tę strukturę. Przykłady,

izometrie podzbioru płaszczyzny.

Przykładami naturalnego działania, które nie jest łączne są potęgowanie, iloczyn wwektorowy w R 3 .

Przykładami działań, które są łączne i przemienne są iloczyn i suma mnogościowa oraz różnica symetryczna

(ćwiczenia).

Definicja I.3. Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy dowolne odwzorowanie

g : F × A −→ A

iloczynu kartezjańskiego F × A w zbiór A , elementy zbioru F nazywamy operatorami .

PrzykadI.3. Przykłademdziałaniazewnętrznegojestmnożeniewektoraprzezskalar,innyprzykładtomnożenie

funkcji o wartościachrzeczywistych zadanych na danym zbiorze X przez liczby rzeczywiste

R × Func( X, R) ∋ ( r,f ) −→ r f ∈ Func( X, R) .

Definicja I.4. Działanie zewnętrzne g : F × A −→ A nazywamy rozdzielnym względem działania wewnętrznego

h : A × A −→ A jeżeli dla dowolnych elementów a,b ∈ A i dowolnego p ∈ F mamy

g ( p, ( h ( a,b ))= h ( g ( p,a ) ,g ( p,b ))

Działaniezewnętrzne g : F × A −→ A nazywamy łącznymwzględem lącznegodziałania wewnętrznegoh : F × F −→

F jeżeli dla dowolnychelementów p,q ∈ F i dowolnego a ∈ A mamy

g ( h ( p,q ) ,a )= g ( p,g ( q,a )) .

Działanie zewnętrzne g 1 : F 1

× A −→ A i g 2 : F 2

× A −→ A nazywamy przemiennymi , jeżeli dla dowolnych

p ∈ F 1 ,q ∈ F 2 ,a ∈ A mamy

g 1 ( p,g 2 ( q,a ))= g 2 ( q,g 1 ( p,a )) .

Definicja I.5. Struktura algebraiczną określona na zbiorze A nazywamy układ

( A,F 1 ,...,F m ; h 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g m )

złożony ze zbioru A , pewnej liczby działań wewnętrznych h i : A × A −→ A ( i = 1 ,...,n ) i pewnej liczby działań

zewnętrznych g j : F j

× A −→ A ( j =1 ,...,m ).

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Rozdział I. Teoria Grup

Przykładami struktur algebraicznychsą grupa, ciało, przestrzeń wektorowa.

Relacją równoważnościw zbiorze A jest relacja: zwrotna, przechodnia i symetryczna.

DefinicjaI.6. Relacjęrównoważności R wzbiorze A nazywamy zgodną z działaniem wewnętrznym h : A × A −→

A jeżeli dla dowolnych a,b,a ′ ,b ′ ∈ A zachodzi

( a,a ′ ) ∈R , ( b,b ′ ) ∈R⇒ ( h ( a,b ) ,h ( a ′ ,b ′ )) ∈R .

Relację równoważności R w zbiorze A nazywamy zgodną z działaniem zewnętrznym g : F × A −→ A jeżeli dla

dowolnych a,a ′ ∈ A,p ∈ F zachodzi

( a,a ′ ) ∈R⇒ ( g ( p,a ) ,g ( p,a ′ )) ∈R .

Relację równoważności

w zbiorze A nazywamy zgodną ze strukturą

( A,F 1 ,...,F m ; h 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g m ) jeżeli jest zgodna z każdym działaniem wewnętrznym i zewnętrznym struktury.

Jeżeli R jestrelacjąrównoważnościowąw A ,tozbiórklasabstrakcjitejrelacjioznaczamyprzez A/ R .Jeżelirelacja

R jestzgodnazdziałaniemwewnętrznym h : A × A −→ A ,towzbiorzeklasabstrakcji A/ R możemyokreślićdziałanie

wewnetrzne h ∗ : A/ R× A/ R : −→ A/ R za pomocą wzoru

h ∗ ([ a ] , [ b ])=[ h ( a,b )] , dla dowolnych a,b ∈ A.

Podobnie jeżeli relacja R jest zgodna z działaniem zewnętrznym g : F × A −→ A , to w zbiorze klas abstrakcji

A/ R możemy określić działanie zewnetrzne g ∗ : F × A/ R : −→ A/ R za pomocą wzoru

g ∗ ( p, [ a ])=[ g ( p,a )] , dla dowolnych p ∈ F,a ∈ A.

Propozycja I.4. Działania indukowane sa poprawnie określone.

Dowód. Należy sprawdzić niezależność od wyboru reprezentantów. Dla działania wewnętrznego, niech [ a ] =

[ a ′ ] oraz [ b ] = [ b ′ ]. Wtedy mamy ( a,a ′ ) ∈ R oraz ( b,b ′ ) ∈ R , ze zgodnośc relacji z działaniem otrzymujemy

( h ( a,b ) ,h ( a ′ ,b ′ )) ∈R czyli [ h ( a,b )]=[ h ( a ′ ,b ′ )], co miel;iśmy udowodnić.

Definicja I.7. Jeżeli R jest relacją równoważnościową w A zgodną ze strukturą

( A,F 1 ,...,F m ; h 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g m ) to strukturę ( A/ R ,F 1 ,...,F m ; h ∗ 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g ∗ m ) nazywamy strukturą ilo

razową .

Przykad I.5. Relacja R := { ( a,b ) ∈ Z: a ≡ b mod n } jest relacją równoważności zgodną z dodawaniem,

strukturę ilorazową oznaczamy Z n (reszty modulo n z dodawaniem).

Definicja I.8. Jeżeli sruktury algebraiczne ( A,F 1 ,...,F m ; h 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g m ) oraz

( A ′ ,F 1 ,...,F m ; h ′ 1 ,...,h ′ n ,g ′ 1 ,...,g ′ m ) są strukturami w A mają równą liczbę działań i te same zbiory operatorów,to

odwzorowanie Φ: A −→ A ′ nazywamy homomorﬁzmem jeżeli

h ′ i (Φ( a ) , Φ( b ))=Φ( h i ( a,b )) , dla a,b ∈ A,i =1 ,...,n,

g ′ i ( p, Φ( a ))=Φ( g i ( p,a )) , dla a ∈ A,p ∈ F,i =1 ,...,n.

HomomorﬁzmΦ: A −→ A ′ nazywamy izomorﬁzmem ,jeżeliodwzorowaniemΦjestbijekcją,aodwzorowaniemodwrot

nejestrównieżhomomorﬁzmem.Homomorﬁzmstrukturywsiebienazywamy endomorﬁzmem ,natomiastendomorﬁzm,

który jest izomorﬁzmem nazywamy automorﬁzmem .

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

2. Grupy

Propozycja I.6. Dla dowolnej struktury ( A,F 1 ,...,F m ; h 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g m ) i zgodnej z nią relacji równoważ

nościowej R odzworowanieilorazowe A ∋ a −→ [ a ] ∈ A/ R jesthomomorﬁzmemstruktury ( A,F 1 ,...,F m ; h 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g m )

na strukturę ilorazową ( A/ R ,F 1 ,...,F m ; h ∗ 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g ∗ m ) .

Definicja I.9. Podzbiór B ⊂ A nazywamy zamkniętym ze względu na działanie wewnętrzne h : A × A −→ A

jeżeli h ( G × B ) ⊂ , w zbiorze B możemy wtedy wprowadzić działanie indukowane h | B × B : B × B −→ B .

Podobniezbiór B nazywamyzamkniętymzewzględunadziałaniezewnętrzne g : F × A −→ A ,jeżeli g ( F × B ) ⊂ B ,

w zbiorze B możemy wtedy wprowadzić działanie indukowane h | F × B : F × B −→ B .

Jeżeli( A,F 1 ,...,F m ; h 1 ,...,h n ,g 1 ,...,g m )jeststrukturaalgebraiczną, B ⊂ A jestzbioremzamkniętymzewzglę

duna wszystkie działania h i ,g j to strukturęnastępującąalgebraiczną( B,F 1 ,...,F m ; h 1 | B × B,...,h n | B × B,g 1 | F ×

B,...,g m

| F × B ) nazywamy struktura indukowaną.

Przykad I.7. Podzbiór N ⊂ Z nie jest zamknięty ze względu na odejmowanie.

2. Grupy

Definicja I.10. (1) Półgrupą nazywamy zbiór (niepusty) z działaniem łącznym.

(2) Monoidem nazywamy półgrupę, która zawiera element neutralny.

(3) Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element posiada element odwrotny.

(4) Grupą przemienną (abelową) nazywamy grupę, w której działanie jest przemienne.

PrzykadI.8. (1)Zbiórliczbcałkowitych(odp.wymiernych,rzeczywistych,zespolonych)zdziałaniemdodawania

jest grupą.

(2) Zbiór Q + , (odp. Q ∗ , R + , R ∗ , C + , C ∗ ) jest grupą z mnożeniem.

(3) Zbiór Z n reszt modulo n z dodawaniem jest grupą.

(4) Zbiór Z n reszt modulo n względnie pierwszych z n jest grupą z mnożeniem.

(5) Zbiór M ( n,m ;R) jest grupą z dodawaniem.

(6) Zbiór GL ( n, R):= { A ∈ M ( n,n ;R):det A =0 } jest grupą z mnożeniem. Liniowa

(7) Zbiór GL + ( n, R):= { A ∈ M ( n,n ;R):det A > 0 } jest grupą z mnożeniem. Orientacji

(8) Zbiór SL ( n, R):= { A ∈ M ( n,n ;R):det A =1 } jest grupą z mnożeniem. Specjalna liniowa

(9) Zbiór SL ( n, Z):= { A ∈ M ( n,n ;Z):det A =1 } jest grupą z mnożeniem.

(10) Zbiór O ( n ):= { A ∈ M ( n,n ;Z): A t A = A A t = I } jest grupą z mnożeniem. Ortogonalna

(11) Zbiór SO ( n ):= { A ∈ O ( n ):det A =1 } jest grupą z mnożeniem. Specjalna ortogonalna

(12) Zbiór U ( n ):= { A ∈ M ( n,n ;C): A t A = A A t = I } jest grupą z mnożeniem. Unitarna

(13)Zbiór SU ( n ):= { A ∈ U ( n ):det A =1 } jest grupą z mnożeniem. Specjalna unitarna

(14) Zbiór bijekcji Bij ( X ) zbioru X na siebie jest grupą ze składaniem.

(15) Zbiór permutacji Σ n zbioru n elementowego jest grupą z mnożeniem. Grupa symetryczna . Uwaga Σ n =

Bij ( { 1 ,...,n } ).

(16) Zbiór D n symetrii n –kąta foremnego (oznaczany D n , czasammi D 2 n ), jest grupą ze składaniemzwaną grupą

gihedralną.

Wersja wstępna z dnia: 22 stycznia 2007

Cynk Sławomir - Algebra z teorią liczb.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: