procesy-2005.pdf

(559 KB) Pobierz
procesy-skrót-wat-2005
L.Kowalski
Wybrane zagadnienia z procesów stochastycznych
PROCESY
STOCHASTYCZNE
WYBRANE ZAGADNIENIA
Lucjan Kowalski
Warszawa 2005
1
L.Kowalski
Wybrane zagadnienia z procesów stochastycznych
Literatura:
A.Plucińska, E.Pluciński, „Probabilistyka”,
D.Bobrowski, „Probabilistyka w zastosowaniach technicznych”
L.Kowalski, materiały dydaktyczne z procesów stochastycznych.
Parametry procesu stochastycznego
W
S ,
P
)
- ustalona przestrzeń probabilistyczna .
T
Ì
R , przedział (skończony lub nieskończony), lub podzbiór dyskretny.
Def.
Funkcję
X
:
T
´
W
®
R
nazywamy procesem stochastycznym jeśli
Î Ù
w
:
X
(
t
,
w
)
<
x
}
Î
S
t
T
x
Î
R
czyli dla każdego ustalonego t funkcja X rozważana jako funkcja argumentu
w
jest zmienną
losową.
Najczęściej w zastosowaniach interpretujemy t jako czas .
Stosujemy zapis
X
(
t
,
w
)
=
X
t
(
w
)
Przykład.
Amplituda napięcia generowanego przez prądnicę prądu zmiennego zależy od czynników
losowych i może być zapisana jako proces
X
(
t
)
=
A
sin
w
t
- stała określająca częstotliwość,
A - zmienna losowa o rozkładzie np. N(230, 5),
t - czas, t
R.
Realizacje procesu
2
(
Ù
{
w
Î
309446212.004.png
L.Kowalski
Wybrane zagadnienia z procesów stochastycznych
Np. dla wartości parametru
t
=
0
otrzymujemy zmienną losową X o rozkładzie
jednopunktowym (o wartości zerowej), dla wartości parametru
t
=
2
otrzymujemy
2
zmienną losową
X
=
A
o rozkładzie N(230, 5), dla wartości parametru
t
=
2
w
w
otrzymujemy zmienną losową
X
2
=
-
A
.
w
Dla ustalonego
w
Î
W
i dowolnego t
Î
T przyjmujemy
)
Funkcja x określona na T nie ma charakteru losowego, nazywamy ją realizacją procesu
stochastycznego (wyraża ewolucję w czasie wybranego zdarzenia losowego).
x
(
t
)
=
X
(
t
,
w
W powyższym przykładzie proces ma nieskończenie wiele realizacji.
Np. dla wartości zmiennej losowej A równej 230 otrzymujemy realizację w postaci sinusoidy
o amplitudzie 230 i ustalonej częstotliwości, dla wartości zmiennej losowej A z przedziału
[
5,
235
]
22
5,
235
]
i ustalonej częstotliwości (można powiedzieć, że są to najbardziej
typowe realizacje).
Wartości procesu nazywamy stanami .
Zbiór wszystkich stanów nazywamy przestrzenią stanów .
Przykładowe rodzaje procesów
Stany Czas
Przykład
nazwa procesu
C
C
jak wyżej, lub proces Gaussa,
CC
C
D
n - wymiarowy rozkład normalny,
CD
D
C
proces Poissona,
DC
D
D
łańcuchy Markowa.
DD
Przykład .
X t – czas uzyskania połączenia z określoną stroną internetową, jeśli polecenie połączenia
zostało wydane na przeglądarce w chwili t. Jest to proces typu CC.
Przykład .
{X n , n = 1, 2, ..., 7}– czas efektywnej pracy modemu danego komputera w poszczególne dni
konkretnego tygodnia. Jest to proces typu CD.
3
w
3
3
22 otrzymujemy rodzinę realizacji w postaci zbioru sinusoid o amplitudach
z przedziału
[
309446212.005.png 309446212.006.png 309446212.007.png
L.Kowalski
Wybrane zagadnienia z procesów stochastycznych
Przykład .
X t – liczba uczestników forum dyskusyjnego na określonej stronie internetowej,
zalogowanych w chwili t. Jest to proces typu DC.
Przykład .
{X n , n = 1, 2, ..., 365 (366)}– liczba zalogowań komputerów do danego serwera
w poszczególne dni konkretnego roku. Jest to proces typu DD.
Niech t 1 < t 2 < ... < t n . Rozpatrzmy n wymiarową zmienna losową
Rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej nazywamy n-wymiarowym rozkładem
procesu stochastycznego a dystrybuantę tej zmiennej losowej nazywamy n-wymiarową
dystrybuantą procesu stochastycznego .
(
X
t
,
X
t
2
,...,
X
t
n
)
Uwaga.
1) Nie każda funkcja która dla ustalonego t jest dystrybuantą n-wymiarowej zmiennej
losowej może być dystrybuantą procesu stochastycznego. Muszą być dodatkowo
spełnione tzw. warunki zgodności.
2) Znajomość dystrybuanty n-wymiarowej dla dowolnego n, tzn. znajomość wszystkich
rozkładów skończenie wymiarowych procesu stochastycznego nie określa w sposób
jednoznaczny procesu stochastycznego. Niektóre procesy mają taką własność, są to np.
procesy ośrodkowe.
Parametry procesu stochastycznego.
Wartość oczekiwana procesu .
m
(
t
)
=
E
( )
X
t
Wariancja procesu .
V
(
t
)
=
D
2
(
t
)
=
s
2
(
t
)
=
E
(
(
X
-
m
(
t
)
)
2
)
t
Odchylenie standardowe procesu to pierwiastek z wariancji procesu .
Autokowariancja
(
(
)(
)
)
K
(
t
1
,
t
2
)
=
E
X
t
1
-
m
(
t
1
)
X
t
2
-
m
(
t
2
)
Autokowariancja unormowana (współczynnik autokorelacji procesu)
r
(
t
,
t
)
=
K
(
t
1
,
t
2
)
=
K
(
t
1
,
t
2
)
1
2
V
(
t
)
V
(
t
)
D
(
)
D
(
t
)
1
2
1
2
Autokorelacja
(
)
R
( 2
t
1
,
t
)
=
E
X
t X
t
2
4
1
t
1
309446212.001.png
L.Kowalski
Wybrane zagadnienia z procesów stochastycznych
Własności:
1)
V
(
t
)
=
D
2
(
t
)
=
s
2
(
t
)
=
K
(
t
,
t
)
2)
K
(
t
1
,
t
2
)
=
R
(
t
1
,
t
2
)
-
m
( ) ( )
t
1
m
t
2
3)
K
(
t
1 )
,
t
2
£
V
( ) ( ) ( ) ( )
t
1
V
t
2
=
D
t
1
D
t
2
4)
V
(
t
)
=
D
2
(
t
)
=
s
2
(
t
)
=
E
( ) ( )
X
2
-
EX
2
t
t
Uwaga.
1. Z powyższych własności wynika, że praktycznie wystarczy wyliczyć
m i
( t
)
R
( 2
t
1 t
)
a pozostałe parametry uzyskamy na ich podstawie.
2. Przy obliczaniu
m i
( t
)
R
( 2
t
1 t
,
)
przydatne bywają następujące zależności znane
z rachunku prawdopodobieństwa
( )
EX
2
=
D
2
X
+
EX
2
, bo
D
2
X
=
EX
2
-
( )
EX
2
EXY
=
Cov
(
X
,
Y
)
+
EXEY
bo
Cov
(
X
,
Y
)
=
EXY
-
EXEY
Cov
(
X
,
Y
)
=
r
DXDY
bo
r
=
Cov
(
X
,
Y
)
DXDY
Przykład.
Obliczymy parametry procesu
X
(
t
)
=
A
sin
w
t
, t
Î
R.
- stała,
A - zmienna losowa o rozkładzie np. N(230, 5),
Rozwiązanie.
Wartość oczekiwana wynosi
m
(
t
)
=
E
( )
X
t
=
sin
w
tEA
=
230
sin
w
t
Autokorelacja wynosi
(
R
(
t
,
t
)
=
E
X
X
)
=
E
(
A
sin
w
t
A
sin
w
t
)
=
sin
w
t
sin
w
t
E
(
A
2
)
=
1
2
t
1
t
2
1
2
1
2
(
)
(
)
=
sin
w
t
sin
w
t
D
2
A
+
( )
EA
2
=
sin
w
t
sin
w
t
25
+
230
2
=
1
2
1
2
=
52925
sin
w
t
1
sin
w
t
2
Autokowariancja wynosi
K
(
t
1
,
t
2
)
=
R
(
t
1
,
t
2
)
-
m
( ) ( )
1
m
t
2
=
25
sin
w
t
1
sin
w
t
2
Wariancja wynosi
V
(
t
)
=
25
(
sin
w
t
)
2
5
,
w
t
309446212.002.png 309446212.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin