lista-7zR.pdf

Dynamika bryły sztywnej.

I. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności.

171. Na cząstkę o masie 2 kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem 57

r i j działa siła

F i j . Wyznacz wektora momentu tej siły względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

172. Cząstka o masie 2 kg znajdująca się w punkcie określonym wektorem 57

r i j ma prędkość

6 . Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

r i j . Wartość wektora prędkości

cząstki wynosi 20 m/s, natomiast wartość momentu pędu względem początku układu współrzędnych

tej cząstki wynosi 100 kgm 2 /s. Wyznacz kąt pomiędzy kierunkiem wektora położenia i prędkości.

Rozwiązanie:

174. Punkt materialny o masie 2 kg porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 2 m/s -1 po okręgu

promieniu 20 cm. Wyznacz wartość momentu siły dośrodkowej względem środka okręgu.

Rozwiązanie:

175. Bryłę sztywną tworzy kula o promieniu R i masie M , na której wierzchołku postawiono pionowo

pręt o długości L i masie m . Posługując się momentami bezwładności 2 M /(5 R 2 ) kuli względem osi

przechodzącej przez jej środek oraz momentem bezwładności Ml 2 /12 pręta względem jego osi

środkowej wyznaczyć moment bezwładności tej bryły względem osi prostopadłej do pręta

i przechodzącej przez: punkt a) styku kuli z podstawą; b) styku kuli z prętem; c) koniec pręta.

Rozwiązanie:

176. Pokazać, że moment bezwładności I dowolnego ciała o masie M względem dowolnej osi jest

równy momentowi bezwładności cienkiej obręczy o masie M i promieniu ( I / M ) 1/2 .

Rozwiązanie:

177. U sufitu wiszą podczepione na poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się

z sufitem: kula, sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi M . Promienie:

v 



 7

173. Wektor położenia cząstki o masie 2 kg ma postać: 34

kuli, sfery, walca, cienkiej obręczy i tarczy są równe R , a pręt ma długość R. Która z tych brył ma

względem osi obrotu największy/najmniejszy moment bezwładności?

Rozwiązanie:

178. Bryłę sztywną tworzą trzy jednakowe, cienkie pręty, każdy

o długości L połączone w kształt litery H (patrz rysunek obok).

Wyznaczyć momenty bezwładności tej bryły względem osi

obrotu A , B i C zaznaczonych na rysunku. Ws-ka: skorzystać

z twierdzenia Steinera. Względem, której z tych osi bryła ta ma

najmniejszy/największy moment bezwładności?

największy i najmniejszy moment bezwładności?

Rozwiązanie:

179. Cienki, jednorodny pręt o masie m i długości l obraca się wokół prostopadłej do niego osi.

Gdy oś przechodzi przez koniec pręta, to moment bezwładności wynosi ml 2 /3. Korzystając

z twierdzenia Steinera wyznacz jego moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek

pręta i do niego prostopadłej.

Rozwiązanie:

179b. Sztywna konstrukcja (patrz rysunek obok) składa się z kwadratu

o boku a połączonego z cienką obręczą o promieniu R . Jednostka długości

materiału kwadratu i obręczy ma gęstość liniową λ (jednostką λ jest kg/m).

Wyznaczyć moment bezwładności pokazanej obok na rysunku konstrukcji

obracającej się względem osi zaznaczonej linią przerywaną.

Rozwiązanie:

II. Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

180. Koło zamachowe wykonuje początkowo 10 obrotów na sekundę. Po przyłożeniu stałego

momentu hamującego koło to zatrzymuje się po 10 s. Jaka jest wartość przyspieszenia kątowego w

tym ruchu?

Rozwiązanie:

181. Walec obraca się ze stałą prędkością kątową wokół nieruchomej osi będącej jego osią symetrii.

Moment bezwładności bryły tego walca względem osi obrotu wynosi I, a jego energia kinetyczna E k .

Wyznacz jego moment pędu.

Rozwiązanie:

182. Ile wynosi energia kinetyczna walca o masie 18 kg i promieniu 40 cm toczącego się bez poślizgu

po poziomej powierzchni z prędkością 3 m/s?

Rozwiązanie:

184. Jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać koło zamachowe o momencie bezwładności I wirujące

z prędkością kątową a jaką gdy koło to toczy się bez poślizgu po płaskiej powierzchni?

Rozwiązanie:

185. Kula i walec o jednakowych promieniach i masach staczają się bez poślizgu po równi pochyłej

z wysokości h . Które z ciał będzie miało większą prędkość u jej końca?

Rozwiązanie:

186. Moment siły o wartości 40 N·m nadaje kołu obracającemu się dookoła osi przechodzącej przez

jego środek przyspieszenie kątowe 10 rad/s 2 . Wyznacz moment bezwładności koła .

Rozwiązanie:

187. Do obwodu koła rowerowego o masie m przyłożono stałą siłę styczną F i wprawiono je w ruch

obrotowy wokół nieruchomej osi. Koło rowerowe należy rozpatrywać jako cienkościenną obręcz o

momencie bezwładności 2

m . Ile wynosi energia kinetyczna koła po upływie czasu t od rozpoczęcia

działania siły?

Rozwiązanie:

188. Pionowy słup o wysokości h = 10 m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię.

Wiedząc, że moment bezwładności słupa o masie m i długości l względem osi przechodzącej

przez jego koniec jest równy ml 2 /3, wyznacz liniową prędkość górnego końca słupa w chwili

uderzenia o ziemię.

Rozwiązanie:

189. Ciało obraca się z prędkością kątową 6 rad/s wokół sztywno zamocowanej osi. Jego moment

bezwładności względem osi obrotu wynosi 20 kg m 2 . Ile wynosi jego energia kinetyczna?

Rozwiązanie:

190. Podczas odbicia się od trampoliny prędkość kątowa obrotu wokół środka masy skoczka do wody

wzrasta od zera do 6,2 rad/s w czasie 220 ms. Obliczyć wartości: a) średniego przyspieszenia

kątowego skoczka, b) średniego momentu siły, działającego na niego ze strony trampoliny, jeśli

moment bezwładności skoczka względem jego środka masy wynosi 10 kg·m 2 .

Rozwiązanie:

191. Koło rozpędowe o momencie bezwładności I i promieniu R wiruje z prędkością

kątową 0 . Współczynnik tarcia między klockiem i kołem wynosi f . Z jaką siłą należy

przycisnąć klocek hamulcowy do powierzchni koła, aby zatrzymać je po upływie

czasu t ?

Rozwiązanie:

192. Jednorodna sfera o masie M, promieniu R może obracać się

bez tarcia wokół pionowej osi (patrz rysunek obok). Linka o

znikomo małej masie jest owinięta wokół sfery w płaszczyźnie

równikowej a następnie przełożona przez krążek o momencie

bezwładności I oraz promieniu r , do której końca jest podczepiona

masa m. Krążek obraca się bez tarcia, a linka nie ślizga się po nim.

Jaka będzie prędkość m , gdy przebędzie drogę h ? Ile wynosi

przyspieszenie masy m podczas ruchu?

----------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Autorki rozwiązań ;

Za. 171 – 190 dr E. Pieciul

Zad. 191 – 192 dr S.Szarska

Rzad171

MrF k k

(5, 7, 0) (3, 4, 0) (0, 0, 5 4 3 7) 20 21

ˆ ˆ

RZad172

Jrpmrv k k

2 35 42

ˆ ˆ

RZad173

Jmrv mrv

sin

100

2 5 20 2

RZad174

MrF bo siła dośrodkowa jest równoległa do promienia.

Rozwiązanie:

RZad175

m- masa pręta, M- masa kuli, R- promień kuli, L- długość pręta

I= MR +MR + mL +m(2R + L)

I= MR +MR + mL

I= mL

MR +M(L+R)

RZad176

element długości obręczy wycięty małym kątem d wynosi dlRd

odpowiadająca mu masa

M M M

dm dl Rd d

z definicji momentu bezwładności otrzymujemy:

RdmRM dRM dRM MR

( / 2 )

( / 2 ) 2

wynik jak dla masy punktowej M w odległości R od osi obrotu.

Inne rozwiązanie (autor dr P.Biegański)

Moment bezwładności dowolnego ciała można zapisać:

I=CML 2

gdzie C stała M masa ciała L jakiś rozmiar liniowy

Moment bezwładności obręczy o masie M i promieniu R to:

I=MR 2

Jeśli momenty i masy są takie same to licząc I/M z obu wzorów otrzymujemy: I/M=

CL 2 =R 2 Czyli R=I/M

cbdo

RZad177

Kula

I= MR +MR

Sfera

I= MR +MR

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: