14(1).pdf

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

14. 

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

14.1. Drgania poprzeczne pręta pryzmatycznego

Drgania poprzeczne są to takie drgania, które wywołują przemieszczenia w  x ,t  prostopadłe do osi

pręta.

Rozpatrzmy nieskończenie mały wycinek pręta o długości dx , charakteryzujący się gęstością liniową

 [ kg / m ] (rys. 14.1).

dm=μ dx

y,w

Rys. 14.1. Element dx belki

Wszystkie wielkości fizyczne i geometryczne q, M, T, r, ω są funkcjami położenia i czasu f  x ,t  ,

zależą od współrzędnej analizowanego punktu i od chwili czasu. Ponieważ wycinek pręta dx posiada masę

dm , to podczas ruchu działa na niego siła bezwładności:

r  x ,t  =− dm ∂ 2 w  x ,t 

∂ t 2

Po wycięciu elementu dx z konstrukcji działają na niego siły:

q(x,t)

T(x,t)

T  x,t 

∂

T  x,t 

∂

r(x,t)

Rys. 14.2. Siły działające na element dx

Zapisując równanie równowagi ∑ Y = 0 otrzymujemy:

T  x ,t  − T  x ,t  − ∂ T  x ,t 

∂ x

dx − q  x ,t  dx − r  x ,t  = 0

Dla pręta nieobciążonego ( q ( x , t )=0) przy analizie drgań swobodnych mamy:

∂ T  x ,t 

∂ x

dx  r  x ,t  = 0

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

a po podstawieniach wyrażeń na siłę bezwładności i masę:

∂ T  x ,t 

∂ x

dx − dm ∂ 2 w

∂ t 2 = 0

∂ T  x ,t 

∂ x

dx − dx ∂ 2 w

∂ t 2 = 0

Dla pręta zginanego względem zmiennej x obowiązuje zależność łącząca krzywiznę belki z momentem

zginającym:

EJ ∂ 2 w

∂ x 2 =− M

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu po zmiennej x otrzymujemy:

∂ x 4 =− ∂

∂ x  ∂ ∂ x  =− ∂ x  T 

Wykorzystując zależność na pochodną siły tnącej w równaniu równowagi mamy:

EJ ⋅ ∂ 4 w  x ,t 

∂ x 4  ∂ 2 w  x ,t 

∂ t 2 = 0

Upraszczając zapis:

EJ ⋅ IV ⋅= 0

(14.1)

Należy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi

oznaczeniami:

 – pochodne po czasie t ,

 I – pochodne po współrzędnej przestrzennej x .

Wprowadzamy do zapisu rozdział zmiennych. Przemieszczenie jest iloczynem funkcji W zależnej tylko od

przestrzeni i funkcji T zależnej tylko od czasu:

w  x ,t  = W  x  ⋅ T  t 

(14.2)

Pochodne liczymy po odpowiednich zmiennych:

d x 4 ⋅ T  t   d 2 T  t 

d t 2 ⋅ W  x  = 0

Po podzieleniu przez wyrażenie ⋅ W  x  ⋅ T  t  otrzymujemy sumę:

 ⋅

d 4 W  x 

d x 4

W  x 



d 2 T  t 

d t 2

T  t 

= 0

(14.3)

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

EJ ∂ 4 w  x ,t 

EJ ⋅ d 4 W  x 

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

Aby równanie było spełnione, wyrażenia muszą być sobie równe, lecz z przeciwnym znakiem. Dla rozwiązań

różnych od zera każdy z członów przedstawia pewną skalarną wartość  2 .

 ⋅

d 4 W  x 

d x 4

W  x 

=−

d 2 T  t 

d t 2

T  t 

= 2

Następnie możemy rozwiązać oba równania niezależnie, najpierw dla zmiennej t , a potem x.

−

d 2 T  t 

d t 2

T  t 

= 2



d 2 T  t 

d t 2  2 ⋅ T  t  = 0

Postępując analogicznie jak przy analizie ruchu punktu materialnego, po wstawieniu w równaniu (12.8) za

funkcję q  t  przemieszczenie T  t  otrzymujemy rozwiązanie:

T  t  = C 1 ⋅ sin  t  C 2 ⋅ cos  t = C ⋅ sin   t  

Stałe równania C i możemy wyznaczyć z warunków początkowych (czas).

 ⋅

d 4 W  x 

d x 4

W  x 

= 2



d x 4 − 2 ⋅ 

EJ ⋅ W  x  = 0

Wprowadzając podstawienie

 4 = 2 ⋅ 

(14.4)

otrzymujemy

d 4 W  x 

d x 4 − 4 ⋅ W  x  = 0

(14.5)

Rozwiązaniem, całką ogólną równania różniczkowego (14.5) jest wielomian:

W  x  = A ⋅ sin  x  B ⋅ cos  x  C ⋅ sinh  x  D ⋅ cosh  x

(14.6)

A, B, C i D to wielkości stałe niezależne od czasu, które możemy wyznaczyć z warunków brzegowych

(przestrzeń). Dalej będziemy poszukiwać rozwiązań dla konkretnych belek różniących się sposobem

podparcia.

14.1.1. Belka swobodnie podparta

Zastanówmy się jak będą wyglądały drgania własne pręta, rozpatrując przypadek belki swobodnie

podpartej (rys. 14.3).

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

d 4 W  x 

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

μ [kg/m]

EJ [Nm²]

Rys. 14.3. Belka swobodnie podparta

W układzie przedstawionym na rys. 14.3 przemieszczenia i momenty zginające nad podporami powinny być

równe zero:

1) W  x = 0  = 0

2) M  x = 0  = W II  0  = 0

3) W  x = l  = 0

4) M  x = l  = W II  l  = 0

Rozwiązaniem ogólnym jest wielomian:

W  x  = A ⋅ sin  x  B ⋅ cos  x  C ⋅ sinh  x  D ⋅ cosh  x

którego druga pochodna wynosi:

W II

 x  =− 2 ⋅ A ⋅ sin  x − 2 ⋅ B ⋅ cos  x  2 ⋅ C ⋅ sinh  x  2 ⋅ D ⋅ cosh  x

Z warunków brzegowych otrzymujemy równania:

B  D = 0

− B  D = 0

A ⋅ sin  l  B ⋅ cos  l  C ⋅ sinh  l  D ⋅ cosh  l = 0

− 2 ⋅ A ⋅ sin  l − 2 ⋅ B ⋅ cos  l  2 ⋅ C ⋅ sinh  l  2 ⋅ D ⋅ cosh  l = 0

− A ⋅ sin  l − B ⋅ cos  l  C ⋅ sinh  l  D ⋅ cosh  l = 0

Z warunku 1) i 2) otrzymujemy wprost:

D = 0

B = 0

co wykorzystujemy w równaniach 3) i 4) :

{ A ⋅ sin  l  C ⋅ sinh  l = 0

Sumowanie równań prowadzi do stałej:

C = 0

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

− A ⋅ sin  l  C ⋅ sinh  l = 0

Część 2

14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY

a ich odjęcie, do zależności:

2 A ⋅ sin  l = 0

Równanie jest spełnione, gdy A = 0 lub sin  l = 0 . Funkcja sin  x  ma miejsca zerowe dla x = k  , czyli:

 l = k 

a współczynnik:

= k 

Ponieważ przyjęliśmy podstawienie:

 4 = 2 ⋅ 

to:

 2 =  4 EJ



Wobec tego:

 2 = k 4  4

l 4 ⋅ EJ



= k 2  2

l 2 ⋅

 E 

Możemy wnioskować, że belka będzie miała nieograniczoną ilość częstości drgań własnych ( k jest liczbą

naturalną). Linia ugięcie będzie miała postać sinusoidy (rys. 14.4).

W k  x  = A k ⋅ sin k 

k = 1

k = 2

k = 3

Rys. 14.4. Postacie drgań własnych belki wolnopodpartej dla różnych wartości k

Natomiast przemieszczenia będą się zmieniały w czasie według funkcji:

w  x ,t  = k = 1

∞

sin ⋅ k  x

⋅  C 1k ⋅ sin  k t  C 2k ⋅ cos  k t 

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: