3_wykl_kin.pdf

(150 KB) Pobierz
Wykl_kin_3
Poj ę cia wst ę pne
Wykład IV
Kinematyka zajmuje si ę ruchem ciał bez badania przyczyn tego ruchu.
Ruchem ciała nazywamy zjawisko polegaj ą ce na zmianie w czasie poło Ŝ enia tego
ciała wzgl ę dem innego ciała, które umownie przyjmujemy za nieruchome.
W zagadnieniach technicznych za nieruchome ciało przyjmujemy Ziemi ę i
wzgl ę dem niej badamy ruch ciał.
Z ciałem nieruchomym wi ąŜ emy układ współrz ę dnych, który nazywamy układem
odniesienia .
Ruch jest zjawiskiem wzgl ę dnym i zale Ŝ y od przyj ę tego układu odniesienia.
Badanie ruchu polega na badaniu zmiany w czasie poło Ŝ enia ciała w przyj ę tym
układzie odniesienia.
Czas traktujemy jako poj ę cie pierwotne.
Kinematyka punktu materialnego
2
KINEMATYKA
Poj ę cie toru punktu
z
Punktu
A
Tor punktu
Torem punktu
(trajektori ą ) nazywamy
miejsce geometryczne
chwilowych poło Ŝ e ń
punktu
Ruch prostoliniowy
Ruch krzywoliniowy
Bryły sztywnej
z
y
O
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
Ruch płaski
Ruch kulisty
x
x
y
Ruch ogólny
3
4
Równania ruchu punktu
Równania ruchu punktu
Oznaczmy przez x, y, z współrz ę dne punktu A
poruszaj ą cego si ę wzgl ę dem przyj ę tego układu
odniesienia. Współrz ę dne te zale Ŝą od czasu, czyli
s ą funkcjami zmiennej t .
Równania ruchu s ą wi ę c zarazem równaniami
parametrycznymi toru punktu. Ruguj ą c z nich
parametr t otrzymujemy równanie toru.
x
=
f
(t)
y
=
f
2
(t)
z
=
f
3
(t)
f(x,
y,
z)
=
0
Równania te nazywamy kinematycznymi
równaniami ruchu lub sko ń czonymi równaniami
ruchu.
5
6
1
1
27547214.051.png 27547214.062.png 27547214.066.png 27547214.067.png 27547214.001.png 27547214.002.png 27547214.003.png 27547214.004.png 27547214.005.png
Ruch punktu na płaszczy ź nie
Promie ń wektor
y
z
tor punktu
A
A
x
f(x,y)=0
r
y
Ruch punktu mo Ŝ na
opisa ć za pomoc ą
promienia wodz ą cego r
y
O
O
x
Równania ruchu punktu w układzie kartezja ń skim
r
=
r
(t)
x
A
x
=
f
1
(t)
y
=
f
2
(t)
r
=
x
( ) ( ) ( ) k
t
i
+
y
t
j
+
z
t
7
8
Współrz ę dne sferyczne
Współrz ę dne sferyczne
W układzie sferycznym za
współrz ę dne punktu przyjmujemy:
•długo ść promienia wodz ą cego r
•k ą t pomi ę dzy płaszczyzn ą zx i
płaszczyzn ą O z A
•k ą t pomi ę dzy płaszczyzn ą xy i
promieniem wodz ą cym r .
z
Transformacja współrz ę dnych sferycznych do układu
kartezja ń skiego
A
x
=
r
×
cos
( ) ( )
×
cos
ψ
r
y
O
y
y
=
r
×
sin
( ) ( )
j
×
cos
ψ
j
r
=
f
(t)
1
z
=
r
×
sin
( )
ψ
j
=
f 2
(t)
x
A
ψ 3
=
f
(t)
9
10
Współrz ę dne biegunowe
Współrz ę dne walcowe
z
W układzie walcowym za
współrz ę dne punktu przyjmujemy:
•współrz ę dna kartezja ń ska z
•długo ść promienia wodz ą cego r
•k ą t pomi ę dzy płaszczyzn ą xz i
promieniem wodz ą cym r .
W układzie biegunowym jako
współrz ę dne punktu przyjmujemy:
•długo ść promienia wodz ą cego r
•k ą t biegunowy
y
A
A
x
r 1
=
f
(t)
r
y
O
z
y
j
j
O
j
=
f 2
(t)
x
z
=
f
(t)
r
1
Transformacja układu współrz ę dnych
r
=
f
2
(t)
x
A
x
=
r
×
cos(
j
)
y
=
r
×
sin(
j
)
j
=
f 3
(t)
11
12
2
j
27547214.006.png 27547214.007.png 27547214.008.png 27547214.009.png 27547214.010.png 27547214.011.png 27547214.012.png 27547214.013.png 27547214.014.png 27547214.015.png 27547214.016.png 27547214.017.png 27547214.018.png 27547214.019.png 27547214.020.png 27547214.021.png
Współrz ę dne walcowe
Współrz ę dna naturalna
Transformacja współrz ę dnych walcowych do układu
kartezja ń skiego
Je Ŝ eli dany jest tor punktu
(równanie toru ruchu punktu)
to poło Ŝ enie punktu w
przestrzeni mo Ŝ emy okre ś li ć
przez podanie współrz ę dnej
s(t) mierzonej wzdłu Ŝ toru
od pewnego nieruchomego
punktu A o
z
A
x
=
r
×
cos(
j
)
A
O
S(t)
y
=
r
×
sin(
j
)
O
y
z
=
z
S
=
f(t)
t
2
dx
2
dy
2
dz
2
x
S
=
∫
±
+
+
dt
dt
dt
dt
t
1
13
14
Opis ruchu punktu za pomoc ą promienia wektora
Opis ruchu punktu
z
z
Niech poło Ŝ enie punktu A jest
okre ś lone za pomoc ą promienia
wektora r poprowadzonego z
nieruchomego punktu O .
A
Poło Ŝ enie punktu A w chwili t+ D t
okre ś lamy za pomoc ą promienia
wektora r A , poprowadzonego równie Ŝ
z nieruchomego punktu O .
A
O
r(t)=r
A
D r
O
r A
( )
t
A
y
y
r
=
r
A
( )
O
r
=
r
A
0
+
r
O
r(t+
D
t)=r
A
x
x
r
(t
+
t)
=
r
(t)
+
r
15
16
Pr ę dko ść punktu materialnego
Pr ę dko ść punktu
Wektor pr ę dko ś ci
punktu w danej
chwili jest równy
pochodnej wektora
promienia wodz ą cego
wzgl ę dem czasu.
z
u
=
d
r
A
dt
u
r A
( )
t
υ
=
υ
i
+
υ
j
+
υ
k
y
x
y
z
O
Wektor pr ę dko ś ci u
punktu le Ŝ y na stycznej
do toru i ma kierunek
ruchu punktu A .
Składowe pr ę dko ś ci s ą równe pochodnym wzgl ę dem czasu
odpowiednich współrz ę dnych poruszaj ą cego si ę punktu.
D
r
d
r
u
=
lim 0
=
=
#
dy
dz
dx
x
D
®
D
t
dt
υ x
=
=
x
υ y
=
=
y
υ z
=
=
z
dt
dt
dt
17
18
3
t
A
A
r
t
#
#
#
27547214.022.png 27547214.023.png 27547214.024.png 27547214.025.png 27547214.026.png 27547214.027.png 27547214.028.png 27547214.029.png 27547214.030.png 27547214.031.png 27547214.032.png 27547214.033.png 27547214.034.png 27547214.035.png
Składowe pr ę dko ś ci w układzie kartezja ń skim
Wyra Ŝ enie pr ę dko ś ci za pomoc ą współrz ę dnej naturalnej
z
t
A
z
u
z
u
u
A
u
u
y
O
y
x
O
y
punktu A nazywamy wektor, którego warto ść
bezwzgl ę dna równa jest warto ś ci bezwzgl ę dnej pochodnej drogi
punktu A wzgl ę dem czasu, skierowany wzdłu Ŝ stycznej do toru
rozpatrywanego punktu, w t ę stron ę , w któr ą w danej chwili
punkt si ę porusza.
u
x
x
υ
=
υ
2
x υ
+
υ
y
2
+
z
2
19
20
Wektor pr ę dko ś ci
Pr ę dko ść w biegunowym układzie współrz ę dnych
W układzie biegunowym pr ę dko ść
rozkładamy na dwie składowe:
• pr ę dko ść promieniowa
y
u
S
dS
dS
u r
u
r
υ =
τ
υ
=
lim
=
u
• pr ę dko ść obwodowa
u j
A
t
dt
dt
t
®
0
r
dr
u
=
O
j
gdzie: wersor wektora pr ę dko ś ci o kierunku stycznym
do toru
τ
r
dt
x
d
j
u
=
u
+
u
u j
=
r
r
dt
u
=
u
2
r
+
u
2
21
22
Hodograf
Przyspieszenie punktu materialnego
z
Przyspieszenie punktu równe
jest pochodnej geometrycznej
wektora pr ę dko ś ci punktu
wzgl ę dem czasu.
z
b(t) b(t+ t)
D
b(t2)
b(t1)
A
r A
( )
t
u
y
O
Wektor przyspieszenia jest
styczny do hodografu pr ę dko ś ci
i zwrócony w stron ę ś rodka
krzywizny toru punktu.
O
a
y
b=b(t)
x
Jako pocz ą tek wektora
przyspieszenia przyjmuje si ę
punkt, którego przyspieszenie
wyznaczamy.
Krzyw ą b ę d ą c ą miejscem geometrycznym ko ń ców wektora b(t)
wykre ś lonych z jednego punktu nazywamy hodografem funkcji
wektorowej b(t)
d
u
d
2
r
#
a
=
=
=
r
x
dt
dt
2
23
24
4
Pr ę dko ś ci ą
27547214.036.png 27547214.037.png 27547214.038.png 27547214.039.png 27547214.040.png 27547214.041.png 27547214.042.png 27547214.043.png 27547214.044.png 27547214.045.png 27547214.046.png 27547214.047.png 27547214.048.png 27547214.049.png
Przyspieszenie punktu
Przyspieszenie w biegunowym układzie
współrz ę dnych
a
=
d
u
=
d
2
r
W układzie biegunowym
przyspieszenie rozkładamy na
dwie składowe:
• przyspieszenie promieniowe a r
• przyspieszenie obwodowe a
y
a
dt
dt
2
a
a
r
j
A
a
=
a
i
+
a
j
+
a
k
j
2
r
x
y
z
2
d
r
d
j
j
O
a
=
-
r
x
Składowe przyspieszenia s ą równe drugim pochodnym wzgl ę dem
czasu odpowiednich współrz ę dnych poruszaj ą cego si ę punktu.
r
dt
2
dt
a
=
a
+
a
d
2
j
d
j
dr
r
j
2
2
d
2
x
d
y
d
z
a
=
r
+
2
j
a
=
=
x
a
=
=
y
a
=
=
z
dt
2
dt
dt
2
r
2
a
=
a
+
a
x
2
y
2
z
2
dt
dt
dt
j
25
26
Naturalny układ współrz ę dnych
Układ trzech osi: stycznej zwróconej w stron ą ruchu, normalnej
głównej zwróconej w stron ęś rodka krzywizny toru i binormalnej
zwróconej tak aby te osie w podanej kolejno ś ci tworzyły układ
prawy nazywamy naturalnym układem współrz ę dnych
Przyspieszenie w naturalnym układzie współrz ę dnych
Wektor przyspieszenia punktu le Ŝ y w płaszczy ź nie ś ci ś le
stycznej do toru.
a
= t
a
t
0
+
a
n
n
0
binormalna
b
Niezale Ŝ nie od kształtu toru, przyspieszenie punktu w układzie
naturalnym ma tylko dwie wzajemnie prostopadłe składowe:
styczn ą i normaln ą . Składowa binormalna jest równa zero.
t
0
Płaszczyzna
ś ci ś le styczna
n
t
n
styczna
a
=
( ) ( )
a
+
a
Opisany układ jest układem
ruchomym zwi ą zanym z
poruszaj ą cym si ę punktem.
a
=
a
t
2
+
a
n
2
normalna główna
27
28
Przyspieszenie w naturalnym układzie
współrz ę dnych
Podział ruchów punktu materialnego
Przyspieszenie styczne powoduje zmian ę modułu wektora
pr ę dko ś ci. Przyspieszenie styczna ma kierunek wektora
pr ę dko ś ci
Ze wzgl ę du na przyspieszenie normalne mo Ŝ emy
wyró Ŝ ni ć
a t
= dt
d
u #
=
• ruch prostoliniowy a n =0
• ruch krzywoliniowy a n
Przyspieszenie normalne powoduje zmian ę kierunku wektora
pr ę dko ś ci i jest skierowane w stron ęś rodka krzywizny toru
¹
0
u
2
Gdzie:
u
– pr ę dko ść punktu,
r
- promie ń
n
a
=
krzywizny toru
r
29
30
5
#
#
#
27547214.050.png 27547214.052.png 27547214.053.png 27547214.054.png 27547214.055.png 27547214.056.png 27547214.057.png 27547214.058.png 27547214.059.png 27547214.060.png 27547214.061.png 27547214.063.png 27547214.064.png 27547214.065.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin