Otremba Z - Fizyka na starcie. Podstawy mechaniki.pdf - _ Fizyka. Mechanika - Henio_Chomik

PODSTAWY MECHANIKI

(pierwszy rozdział podr ħ cznika „Fizyka na starcie”)

Mechanika jeszcze w XIX wieku traktowana była jako cz ħĻę matematyki (to przecie Ň z mechaniki pochodzi

stosowany obecnie we wszystkich dziedzinach wiedzy rachunek ró Ň niczkowy i całkowy). Spostrze Ň ono jednak jej

praktyczny zwi Ģ zek z takimi dziedzinami jak np. fizyka du Ň ych szybko Ļ ci czy fizyka Ļ wiatła. Dlatego obecnie jest

działem fizyki, w jakim analizuje si ħ stany materii w przestrzeni i czasie. Podstawy mechaniki s Ģ jednocze Ļ nie

podstawami fizyki, poniewa Ň wprowadzaj Ģ grup ħ poj ħę wykorzystywanych we wszystkich działach, zarówno

fizyki klasycznej, jak i współczesnej, a tak Ň e w ró Ň nego rodzaju dziedzinach in Ň ynierskich.

W dydaktyce fizyki mechanika dzieli si ħ na dwa poddziały: statyk ħ i dynamik ħ .

STATYKA , to analiza zachowa ı materii, na jak Ģ działaj Ģ siły; przy czym siły te równowa ŇĢ si ħ ! Na przykład

dwie spr ħŇ yny widoczne na rys. 1.1 „podpieraj Ģ ” kul ħ o ci ħŇ arze F g . Owo podpieranie, to nacisk dwóch sił F 1 i F 2

składaj Ģ cych si ħ na sił ħ wypadkow Ģ , równowa ŇĢ c Ģ sił ħ ci ħŇ aru F g .

Rys. 1.1. Przykład statyczny (a) oraz jego matematyczny model (idea) w zobrazowaniu graficznym (b).

Czytelnik mo Ň e sprawdzi ę metod Ģ graficzn Ģ , czy suma sił F 1 , F 2 i F 3 rzeczywi Ļ cie równa jest zeru.

DYNAMIKA , to analiza zachowa ı materii, na jak Ģ działaj Ģ siły niezrównowa Ň one . Powiedzmy to w inny sposób:

jest to sytuacja, w jakiej na okre Ļ lon Ģ mas ħ działa (niezerowa) siła i, w wyniku jej działania, masa ta porusza si ħ

ruchem zmiennym. Na przykład na rys. 1.2 jabłko porusza si ħ ruchem jednostajnie zmiennym, poniewa Ň działa na

nie stała siła przyci Ģ gania ziemskiego (warto poszuka ę w na stronach internetowych informacji pojawiaj Ģ cych si ħ w

wyniku zestawienia haseł: „Tower of Pisa” + Galileo/Galileusz ) . W rzeczywisto Ļ ci ruch jednostajnie zmienny - to tylko

model-idea, poniewa Ň pomini ħ ty został opór powietrza, ewentualny wiatr i jego zawirowania, nierównomierno Ļę

przestrzennego rozkładu pola grawitacyjnego, elektryzowanie podczas tarcia o powietrze, itd.

Dygresja

W przyrodzie nie ma zjawisk, których przebieg w pełni odpowiadałby wyobra Ň eniu idealnemu (jako Ň e

swoim przebiegiem co najwy Ň ej upodabniaj Ģ si ħ do idei). Powiedzmy to inaczej: w fizyce posługujemy

si ħ modelami/ideami, czyli uproszczonymi opisami zjawisk – poszukujemy zatem prostych zasad

(modeli, idei), jakie w zadowalaj Ģ cym stopniu pozwol Ģ przewidywa ę przebieg zjawisk. Je Ň eli pojawiaj Ģ

si ħ trudno Ļ ci - wprowadza si ħ tak Ň e fenomenologiczne opisy zjawisk i dobiera do nich formuły

matematyczne.

Z. Otremba Fizyka na starcie - Mechanika

Rys. 1.2. Przykład dynamiczny (a) oraz jego idea (b).

Czy jakie Ļ elementy obrazka po lewej odpowiadaj Ģ przypadkowi statycznemu?

Uwaga! Materi ħ w stanie ruchu jednostajnego nale Ň y równie Ň traktowa ę jako przypadek statyczny, poniewa Ň w

układzie poruszaj Ģ cym si ħ jednostajnie z pr ħ dko Ļ ci Ģ tej materii, materia owa trwa w bezruchu (pozostaje w

spoczynku).

Warto rozwa Ň y ę przykłady na rys. 1.3 i ustali ę , które z nich przedstawiaj Ģ sytuacj ħ statyczn Ģ , a które dynamiczn Ģ .

d e f

Rys. 1.3. Przykłady statyczne i dynamiczne. Do statycznych nale ŇĢ te, w jakich suma

przyło Ň onych sił jest równa zeru. Np. dom stoi w nieruchomo (nie zapada si ħ ), bo jego ci ħŇ ar

zrównowa Ň ony jest przez oddolny nacisk gruntu, a kulka w cieczy opada ruchem jednostajnym,

poniewa Ň ci ħŇ ar zrównowa Ň ony jest sił Ģ wyporno Ļ ci i sił Ģ Stokesa. Tylko sytuacje a i e zaliczaj Ģ

si ħ do dynamicznych. W przypadku a jest to ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy, a w

przypadku b - ruch zmienny, poniewa Ň przy Ļ pieszenie (tzw. przy Ļ pieszenie do Ļ rodkowe) cały

czas si ħ zmienia (co do kierunku i zwrotu).

Dom i most na rys 1.3d i 1.3f dla obserwatora zwi Ģ zanego z powierzchni Ģ Ziemi s Ģ sytuacjami statycznymi.

Natomiast Ksi ħŇ yc kr ĢŇĢ cy wokół Ziemi (rys. 1.3e), dla ka Ň dego obserwatora stanowi przypadek dynamiczny

(poniewa Ň grawitacyjna siła przyci Ģ gania do Ļ rodkowego w tym ruchu stale si ħ zmienia, i to zarówno co do

kierunku jak i zwrotu). Spadochroniarz (rys. 1.3b) to tak Ň e sytuacja statyczna, poniewa Ň siła przyci Ģ gania

grawitacyjnego jest zrównowa Ň ona sił Ģ oporu powietrza działaj Ģ c Ģ na czasz ħ spadochronu (siła oporu powietrza

jest proporcjonalna do szybko Ļ ci ruchu spadochronu). Kulka opadaj Ģ ca w cieczy (rys. 1.3c) – to kolejna sytuacja

statyczna, poniewa Ň siła grawitacyjna działaj Ģ ca na kulk ħ jest zrównowa Ň ona dwiema siłami:

Z. Otremba Fizyka na starcie - Mechanika

- tzw. sił Ģ Stokesa, czyli sił Ģ , która działa na kulk ħ w tym samym kierunku, ale ze zwrotem przeciwnym do

zwrotu opadania (siła Stokesa jest proporcjonalna do promienia kulki i szybko Ļ ci jej opadania);

- sił Ģ Archimedesa (siła Archimedesa - zwana sił Ģ wyporno Ļ ci - jest równa ci ħŇ arowi cieczy o obj ħ to Ļ ci

kulki, o kierunku pionowym, ze zwrotem do góry).

W pocz Ģ tkowej chwili opadania kulki siły nie s Ģ jeszcze zrównowa Ň one (sytuacja dynamiczna). Dopiero po

osi Ģ gni ħ ciu przez kulk ħ odpowiedniej szybko Ļ ci mamy do czynienia z sytuacj Ģ statyczn Ģ . A klocek zsuwaj Ģ cy si ħ z

równi pochyłej (rys. 3a)? Otó Ň , je Ň eli składowa siły grawitacyjnej wzdłu Ň równi jest wi ħ ksza od siły tarcia – mamy

do czynienia z sytuacj Ģ dynamiczn Ģ . Ale mo Ň e si ħ zdarzy ę , Ň e siła tarcia jest równa sile zsuwaj Ģ cej. Wtedy klocek

jest nieruchomy wzgl ħ dem równi, albo porusza si ħ ruchem jednostajnym – b ħ dzie to sytuacja statyczna (ale mało w

tym przypadku prawdopodobna). Nawi Ģ zuj Ģ c jeszcze raz do rys. 2a zauwa Ň ymy, Ň e gdyby przedstawiona na tym

rysunku „ the Pisa Tower ” była du Ň o wy Ň sza (mo Ň e jak biblijna wie Ň a Babel ;-) jabłko rozp ħ dziło by si ħ tak bardzo,

Ň e siła grawitacyjna zrównałaby si ħ z sił Ģ oporu powietrza (podobnie jak w przypadku kulki spadaj Ģ cej w cieczy na

rys. 3c). Jest mo Ň liwe sformułowanie kinematycznej zasady, wg jakiej ustalamy, czy materia jest w stanie

statycznym, czy nie. Oto owa zasada: je Ň eli mo Ň na obserwatora umie Ļ ci ę w układzie współrz ħ dnych poruszaj Ģ cym

si ħ ruchem jednostajnym tak, Ň e obserwator widzi materi ħ w bezruchu – to na pewno jest to sytuacja statyczna.

Dlatego – uwaga! To, Ň e widzimy i Ň materia przemieszcza si ħ , wcale nie jest dowodem, Ň e nie znajduje si ħ ona w

sytuacji statycznej!

W mechanice, oprócz poj ħ cia „statyka” i „dynamika” funkcjonuje poj ħ cie „kinematyka” (podkre Ļ lenia wskazuj Ģ

miejsce akcentu podczas wypowiadania tych wyrazów). Kine- ma -tyka to dział fi zyki zajmuj Ģ cy si ħ opisywaniem

ruchu bez rozwa Ň a ı nad tym, jakie siły ten ruch wywołuj Ģ . Jednak Ň e to, co zaliczamy do kine ma tyki zawarte jest

tak Ň e w dy- na -mice, gdzie opisuje si ħ ruch, ale na podstawie znajomo Ļ ci sił działaj Ģ cych na materi ħ . W zasadzie,

je Ļ li rozpatrywa ę opis matematyczny okre Ļ lonego ruchu, to i statyk ħ mo Ň na uwa Ň a ę za szczególny (trywialny)

przypadek dynamiki; mianowicie, jest to przypadek dynamiczny, w jakim wypadkowa siła działaj Ģ ca na materi ħ

przyjmuje warto Ļę zerow Ģ .

1.1. Zagadnienia matematyczne jakie nie powinny stwarza ę trudno Ļ ci absolwentowi szkoły Ļ redniej

Tytuł tego rozdziału sformułowany jest w nieco przewrotny sposób, gdy Ň nale Ň ałoby powiedzie ę , Ň e chodzi tu

raczej o apel do Abiturientów, aby zechcieli przypomnie ę sobie niektóre szkolne zagadnienia matematyczne, a w

szczególno Ļ ci te, które s Ģ wskazane poni Ň ej.

1.1.1. Funkcja a równanie

Wyra Ň enia (formuły) matematyczne w fizyce to funkcje lub równania .

W mechanice spotykamy si ħ najcz ħĻ ciej z funkcjami czasu. Najprostsz Ģ z nich jest zale Ň no Ļę współrz ħ dnej (na

danej osi) od czasu. Na przykład, rozpoczynaj Ģ cy si ħ na okre Ļ lonej wysoko Ļ ci pionowy rzut kamieniem do góry

warto rozwa Ň a ę jako zmiany współrz ħ dnej na poprowadzonej pionowo osi. Osi Ģ t Ģ powinna by ę prosta równoległa

do ruchu kamienia. O Ļ musi mie ę pocz Ģ tek (czyli punkt zerowy), i musi by ę skierowana (tzn. nale Ň y arbitralnie

ustali ę w jakim kierunku odło Ň one s Ģ warto Ļ ci dodatnie, a w jakim ujemne – a nast ħ pnie zaznaczy ę to strzałk Ģ na

ko ı cu osi). Przyjmijmy, Ň e pocz Ģ tek osi współrz ħ dnych znajduje w miejscu rzutu kamienia (w miejscu rozpocz ħ cia

jego ruchu), natomiast jej zwrot - do góry (rys. 1.4). Ruch rozpoczyna si ħ na współrz ħ dnej „zero ” , przez chwil ħ

odbywa si ħ do góry, po czym rozpoczyna si ħ spadanie w dół. Prosz ħ zauwa Ň y ę , Ň e współrz ħ dna pocz Ģ tkowa y o nie

wynosi tutaj h , ale zero! Natomiast w momencie uderzenia w ziemi ħ , współrz ħ dna b ħ dzie wynosiła – h (minus h ).

Z. Otremba Fizyka na starcie - Mechanika

Idea ruchu tego kamienia, to przemieszczanie si ħ punktu (np. Ļ rodka masy kamienia) wzdłu Ň prostej pionowej.

Dzi ħ ki wprowadzeniu osi x , idea ta przybiera kształt matematyczny w postaci funkcji (1.1):

x(t)

−

(1.1)

gdzie: v o - szybko Ļę pocz Ģ tkowa kamienia

t - zmienna niezale Ň na, czyli czas

g - przyspieszenie ziemskie

Rys. 1.4. Funkcja i równanie. Graficznym zobrazowaniem funkcji jest tutaj parabola

(wyra Ň enie 1.1), a zobrazowaniem równania jest punkt o współrz ħ dnych t 1 ,-h .

Uwaga ! Równanie powstaje przez wstawienie warto Ļ ci do funkcji (tak jak wstawienie punktu do linii wykresu)

Je Ň eli do funkcji wstawimy jej warto Ļ ci w okre Ļ lonym punkcie – otrzymamy równanie . Graficznym

zobrazowaniem funkcji jest linia, natomiast zobrazowaniem równania jest punkt na tej linii.

1.1.2. Skalar a wektor

Je Ň eli do scharakteryzowania okre Ļ lonej wielko Ļę fizycznej konieczna jest informacja o jej ukierunkowaniu w

przestrzeni (oprócz podania jej warto Ļ ci), to na pewno mamy do czynienia z wielko Ļ ci Ģ wektorow Ģ . Na przykład

pr ħ dko Ļę jest wektorem, a szybko Ļę – skalarem; bo, np. policjant wypisuje mandat za przekroczenie szybko Ļ ci (nie

pr ħ dko Ļ ci). Chyba, Ň e kierowca poruszał si ħ pod pr Ģ d na jezdni jednokierunkowej... Wtedy pojazd miał,

niew Ģ tpliwie, niewła Ļ ciw Ģ pr ħ dko Ļę (jej wektor miał zwrot niezgodny ze zwrotem pr ħ dko Ļ ci uczestników ruchu

respektuj Ģ cych znaki drogowe). Czyli: niewła Ļ ciwa pr ħ dko Ļę to pr ħ dko Ļę w niedobrym kierunku i zwrocie,

niewła Ļ ciwa szybko Ļę – za du Ň o na liczniku (poprawnie nale Ň ałoby powiedzie ę : „wska Ņ niku szybko Ļ ci”, lub

„tachometrze”).

Z. Otremba Fizyka na starcie - Mechanika

Nale Ň y zatem wyra Ņ nie podkre Ļ li ę , Ň e wektor posiada trzy cechy (skalar tylko jedn Ģ - warto Ļę ):

- warto Ļę ,

- kierunek,

- zwrot.

Wektor nie zmienia si ħ , je Ň eli jest przemieszczany translacyjnie (co znaczy, Ň e ka Ň dy jego punkt przemieszczany

jest tak samo). Dlatego punkt przyło Ň enia wektora – nie jest cech Ģ wektora ( ! ), ale w okre Ļ lonych przypadkach

fizykalnych podanie punktu przyło Ň enia mo Ň e by ę konieczne (np. metacentrum siły wyporu).

Wektory podlegaj Ģ działaniom matematycznym zwanymi sumowaniem wektorów i mno Ň eniem wektorów . Przy

czym mno Ň enie odbywa si ħ w dwojaki sposób: skalarny i wektorowy .

Graficzne sumowanie wektorów

Przed graficznym sumowaniem wektorów przemieszczamy je tak, Ň eby ich pocz Ģ tki znalazły si ħ w tym samym

punkcie. Nast ħ pnie tworzymy równoległobok (jak na rys. 1.5) i ł Ģ czymy punkt pocz Ģ tków wektorów z

przeciwległym wierzchołkiem równoległoboku.

Rys. 1.5. Graficzne sumowanie wektorów.

Mno Ň enie skalarne wektorów

Wynik mno Ň enia skalarnego to iloczyn warto Ļ ci wektorów pomno Ň ony przez kosinus k Ģ ta pomi ħ dzy nimi.

Rys. 1.6. Iloczyn skalarny.

Wynik mno Ň enia graficznego jest wielko Ļ ci Ģ skalarn Ģ , a w odniesieniu do interpretacji graficznej jest to

powierzchnia równoległoboku, którego boki tworz Ģ wymna Ň ane wektory.

Otremba Z - Fizyka na starcie. Podstawy mechaniki.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: