STATYSTYKA CZ.I

Wnioskowanie statystyczne to proces myślowy polegający na formułowaniu sądów o całości przy dysponowaniu o niej ograniczoną liczbą informacji.

Zmienna losowa skokowa i jej rozkład

Zmienną losową X jest wielkość, która przy zajściu każdego zdarzenia losowego ω przyjmuje konkretną wartość , co można zapisać w sposób następujący:

Innymi słowy zmienna losowa X jest liczbową prezentacją wyniku doświadczenia losowego, a więc jej wartość zależna jest od przypadku.

Jeśli doświadczenie polega na kontroli jakości 20 komputerów wyprodukowanych przez producenta tych wyrobów, to zmienną losową X będzie liczba wadliwych komputerów, która może przyjąć wartości: od 0 do 20.

Jeśli poszczególnym wartościom przyporządkujemy prawdopodobieństwa realizacji tej zmiennej losowej oznaczonej przez , wówczas otrzymamy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej, przy czym:

Znać rozkład zmiennej losowej skokowej X to znać realizacje tej zmiennej, czyli , oraz odpowiadające im prawdopodobieństwa .

Rozkład zmiennej losowej skokowej można przedstawić za pomocą funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej lub tablicy.

              Przykładem zmiennej losowej skokowej jest wielkość popytu na określone dobro. Popyt zależy bowiem od wielu czynników, takich jak: ceny dobra, ceny innych dóbr (substytucyjnych), dochód do dyspozycji gospodarstwa domowego zgłaszającego popyt na to dobro itp. Jest zatem, przynajmniej częściowo, zależny od przypadku.

Przykład 1

Rozkład prawdopodobieństwa liczby oczek przy rzucie kostką do gry.

To jest rozkład jednostajny (prawdopodobieństwa są równe).

Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) zmiennej losowej skokowej

Wartość oczekiwana jest zatem średnią arytmetyczną ważoną realizacji zmiennej losowej X, a wagami są odpowiadające im prawdopodobieństwa .

Wariancja zmiennej losowej skokowej

Odchylenie standardowej zmiennej losowej skokowej

Przykład 2

Rozkład zmiennej losowej

Nieobecność studentów na zajęciach ze statystyki. Grupa liczyła 10 osób

Obliczenia:

Wartość oczekiwana: 

Wariancja dla zmiennych losowych skokowych: 

Odchylenie standardowe:

Dystrybuanta zmiennej losowej nazywa się prawdopodobieństwem tego, że zmienna losowa przyjmie wartości mniejsze lub równe określonej wartości (czyli jest równa sumie prawdopodobieństw realizacji wartości zmiennej, mniejszych bądź równych ).

Jest to funkcja określana wzorem:

Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej (dyskretnej)

W naszym przykładzie:

Odp.: Prawdopodobieństwo, że na zajęciach nie będą obecne najwyżej 2 osoby wynosi 0,7.

Ważniejsze teoretyczne rozkłady zmiennej losowej skokowej

Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa (rozkład) jest następująca:

Wartość oczekiwana i wariancja w tym rozkładzie wynoszą:

Przykład 3

Klientami sklepu spożywczego są kobiety i mężczyźni. Na podstawie wcześniejszych badań stwierdzono, że prawdopodobieństwo zakupu żywności przez kobietę w tym sklepie wynosi 0,6.

a)      Co jest zmienną losową w powyższym przykładzie?

b)      Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję badanej zmiennej losowej.

Odpowiedzi:

a)      Zmienną losową jest płeć klienta. Przyjmuje ona wartość 1 w powyższym przypadku kobiety (sukces) oraz 0, gdy do sklepu wchodzi mężczyzna. Jest to przykład zmiennej zero-jedynkowej.

b)     

oraz

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego), jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa określona jest wzorem:

,

gdzie:

- liczba wariantów zmiennej losowej,

- liczba realizacji zdarzenia ,

- prawdopodobieństwo realizacji zdarzeń   w każdej z niezależnych realizacji.

Wartość oczekiwana w tym rozkładzie wynosi:

a wariancja:

Schemat Bernoulliego:

Z takim rozkładem mamy do czynienia w przypadku wyznaczania prawdopodobieństwa kolejnych wartości w doświadczeniach. Aby rozkład dwumianowy mógł znaleźć zastosowanie, muszą być spełnione następujące warunki:

●        przeprowadza się jednakowych doświadczeń,

●  ...