11.4 - Funkcje wielu zmiennych.pdf - Zadania - Matematyka podstawowa - aneciakurczaczek

WydziałWiLi,Budownictwo,sem.2

drJolantaDymkowska

Funkcjewieluzmiennych-pochodnefunkcjizło»onej,funkcjeuwikłane.

Zad.1Obliczy¢pochodn¡funkcjizło»onej:

1.1z=e x− 2 y , je»elix=sint,y=t 3

1.2z=ln(e x +e y ), je»eliy=x 3

1.3z=f(x,y), je»elix=tcost,y=arctgt

1.4z=f(x,y), je»elix=lnt,y= 1 t

Zad.2Obliczy¢pochodnecz¡stkowerz¦dupierwszegofunkcjizło»onej:

2.1z=sinxcosy, je»elix=u−2v,y=u+2v

2.2z=x 2 y−xy 2 , je»elix=u+v,y=u−v

2.3z=f(x,y), je»elix=usinv,y=uv

2.4z=f(x,y), je»elix=ln(uv),y=u+v

@y ,je»eliz=f(xy 2 , x y )+g(3xy).

Zad.4Obliczy¢dz,je»eliz=f(x,y)ix=cos(uv),y=x 5 −7y.

Zad.5Wykaza¢,»efunkcjaz=y·f(cos(x−y))spełniarównanie

@x + @z

@y = z

y .

Zad.6Wykaza¢,»efunkcjaz=x·f y x

−x 2 −y 2 spełniarównanie

@x +y @z

@y =z−x 2 −y 2 .

Zad.6Obliczy¢y 0 ,je»elifunkcjauwikłanay=y(x)okre±lonajestrównaniem:

6.1x+ye x −y+5x 2 y=0

6.2xy+arctg(xy)=0

6.3x 2 lny−y 2 lnx+1=0

6.42ysinx−2xarctgy+3=0

Zad.7Obliczy¢y 0 iy 00 ,je»elifunkcjauwikłanay=y(x)okre±lonajestrównaniem:

7.1x 2 +y 2 −5xy=0

7.2x−y+lny=0

7.3y−2xarctg y x =0

7.4arctg y x −ln p x 2 +y 2 =0

7.51+xy−ln(e xy +e −xy )=0

Zad.3Obliczy¢ @z

x @z

Zad.8Obliczy¢y 0 (1)iy 00 (1),je»elifunkcjauwikłanay=y(x)spełniarównanie:

x 2 −2xy+y 2 +x+y−2=0.

Zad.9Obliczy¢y 0 (2),je»elifunkcjauwikłanay=y(x)spełniarównanie:

e x− 2 +xy−3y−1=0.

Zad.10Obliczy¢y 0 (0),je»elifunkcjauwikłanay=y(x)spełniarównanie:

x 2 −xy+2y 2 +x−y=0.

Zad.11Obliczy¢y 0 (e)iy 00 (e),je»elifunkcjauwikłanay=y(x)spełniarównanie:

x 2 y−e 2 y =0.

11.4 - Funkcje wielu zmiennych.pdf