02.1 - Pochodna kierunkowa.pdf

(82 KB) Pobierz
35156052 UNPDF
1
Wydział:WILi,Budownictwo,sem.3
drJolantaDymkowska
Pochodnakierunkowa
2 )oraz
P 0 ( x 0 ,y 0 ,z 0 )( P 0 ( x 0 ,y 0 ))jestpunktemnale»¡cymdown¦trzaobszaru D :Int D .Załó»my,te»»e
~a =[ a 1 ,a 2 ,a 3 ]( ~a =[ a 1 ,a 2 ])jestdowolnym,niezerowymwektoremwprzestrzeni R
3 ( R
3 ( R
2 ).
Definicja Pochodn¡funkcjifwpunkcieP 0 wkierunkuwektora~a nazywamygranic¦(oileta
granicaistnieje)
f ( P ) − f ( P 0 )
| ~ P 0 P | ,
lim
P ! P 0
gdziepunkt P = P 0 + t~a i t 2 R .
Pochodn¡tak¡nazywamykrótko pochodn¡kierunkow¡ ioznaczamy @f
@~a ( P 0 )lub f 0 ~a ( P 0 ).
Mamyzatem:
f ( P 0 + t~a ) − f ( P 0 )
t | ~a |
f 0 ~a ( P 0 )=lim
t ! 0
oraz
• dla f = f ( x,y,z )
f 0 ~a ( P 0 )= 1
q
a 2 1 + a 2 2 + a 2 3
lim
t ! 0
f ( x 0 + ta 1 ,y 0 + ta 2 ,z 0 + ta 3 ) − f ( x 0 ,y 0 ,z 0 )
t
• dla f = f ( x,y )
f 0 ~a ( P 0 )= 1
q
a 2 1 + a 2 2
lim
t ! 0
f ( x 0 + ta 1 ,y 0 + ta 2 ) − f ( x 0 ,y 0 )
t
Przykład Obliczy¢pochodn¡kierunkow¡funkcji f ( x,y,z )= x + y + z 2 wpunkcie P 0 (1 , − 1 , 3)
wkierunkuwektora ~a = ~ P 0 P ,gdzie P (0 , 1 , 1).
Rozwi¡zanie :Poniewa» ~a =[ − 1 , 2 , − 2],wi¦c
f 0 ~a ( P 0 )= 1
3 lim
t ! 0
f (1 − t, − 1+2 t, 3 − 2 t ) − f (1 , − 1 , 3)
t =
3 lim
(1 − t )+( − 1+2 t )+(3 − 2 t ) 2 − 9
t = 1
3 lim
4 t 2 − 11 t
t = − 11
t ! 0
t ! 0
3
Uwaga Pochodnecz¡stkowefunkcjitrzechzmiennychs¡pochodnymikierunkowymi,obliczonymi
wkierunkuosiukładuwspółrz¦dnych,tj.:
f 0 x ( P 0 )= f 0 ~ i ( P 0 ) , f 0 y ( P 0 )= f 0 ~ j ( P 0 ) , f 0 z ( P 0 )= f 0 ~ k ( P 0 ) .
Załó»my,»efunkcjaskalarna f ( x,y,z )( f ( x,y ))jestokre±lonawobszarze D R
= 1
2
FaktJe»elifunkcja f ( x,y,z )okre±lonawzbiorzeotwarym D mawka»dympunkcietegozbioru
pochodnecz¡stkowepierwaszegodz¦du,todladowolnegopunktu P 0 2D idowolnegowektora ~a
zachodzi
f 0 ~a ( P 0 )= ~e a grad f,
gdzie ~e a = ~a | ~a | .
Mamyzatem:
| ~a | , a 2
| ~a | , a 3
#
h f 0 x ( P 0 ) ,f 0 y ( P 0 ) ,f 0 z ( P 0 ) i =
f 0 ~a ( P 0 )= ~e a grad f =
| ~a |
| ~a | f 0 z ( P 0 ) .
Przykład Obliczy¢pochodn¡kierunkow¡zpoprzedniegoprzykładu,korzystaj¡czpowy»szego
faktu.
Rozwi¡zanie :Obliczamypochodnecz¡stkowefunkcji f ( x,y,z )= x + y + z 2 wpunkcie
P 0 (1 , − 1 , 3):
| ~a | f 0 x ( P 0 )+ a 2
| ~a | f 0 y ( P 0 )+ a 3
f 0 x =1 f 0 x ( P 0 )=1
f 0 y =1 f 0 y ( P 0 )=1
f 0 z =2 z f 0 x ( P 0 )=6
Wówczas,zgodniezpowy»szymfaktem,mamy:
f 0 ~a ( P 0 )= − 1
3 f 0 x ( P 0 )+ 2
3 f 0 y ( P 0 ) − 2
3 f 0 z ( P 0 )= − 1
3 + 2
3 − 12
3 = − 11
3
Zadaniadosamodzielnegorozwi¡zania
Zad.1 Obliczy¢pochodn¡kierunkow¡funkcji f wpunkcie P 0 wkierunkuwektora ~a :
a ) f ( x,y )= x 2 − 2 xy,P 0 (2 , 1) ,~a =[3 , 4]
b ) f ( x,y )= x 3 +2 xy 2 ,P 0 (0 , 1) ,~a =[1 , 1]
c ) f ( x,y )= x 2 − xy + y 2 ,P 0 (1 , 1) ,~a =[ − 1 , − 1]
d ) f ( x,y )=sin( x + y ) ,P 0
0 , 2
x ,P 0 (2 , 1 , 1) ,~a =[1 , 0 , 2]
h ) f ( x,y,z )=sin x +cos y − sin z,P 0 ( , 0 , − ) ,~a =[0 , − 2 , 2]
Zad.2 Wyznaczy¢pochodn¡funkcji f ( x,y,z )= xyz wpunkcie P 0 (5 , 1 , 2)wkierunkuodtego
punktudopunktu P (9 , 4 , 14).
Zad.3 Wyznaczy¢pochodn¡funkcji f ( x,y )= x 3 − y wpunkcie P 0 (1 , 2)wkierunkuwektora
równoległegodoprostej
(
x =1+
p 2
2 t
l :
p 2
y =2+
2 t
" a 1
= a 1
,~a =[ − 1 , 1]
e ) f ( x,y,z )= x 2 + y 2 − z 2 ,P 0 (1 , 1 , 1) ,~a =[4 , 4 , 0]
f ) f ( x,y,z )= x 2 + xyz − y 2 ,P 0 (2 , − 1 , 3) ,~a =[3 , 4 , − 2]
g ) f ( x,y,z )= y + z
35156052.001.png 35156052.002.png 35156052.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin