rozd3.pdf

(304 KB) Pobierz
QPrint
3. SZEREGI LICZB RZECZYWISTYCH
Szeregiem wyznaczonym przez ciĢg =1
( n
n a nazywamy ciĢg sum czħĻciowych
( n
n S danych wzorem
=1
aS +
n
+= ...
a
n
,
n
=
1
2
...
; szereg taki zapisujemy krtko
=1
a .
n
JeŇeli ciĢg =1
( n
n S jest zbieŇny do granicy skoıczonej S, to mwimy, Ňe szereg
=1
a jest zbieŇny, a liczbħ S nazywamy jego sumĢ; piszemy krtko
=1
a
n =
S
. JeŇeli
n
n
n S nie jest zbieŇny do granicy skoıczonej, to mwimy, Ňe szereg jest roz-
bieŇny.
W pewnych przypadkach wygodnie jest rozwaŇaę rwnieŇ szeregi postaci
( n
=k
a , gdzie k jest pewnĢ liczbĢ caþkowitĢ. Jest oczywiste, Ňe kaŇdy taki szereg
n
moŇna przenumerowaę
=
k a .
−
+
n
n
1
Np.
=
1
=
e
.
n
!
n
0
JeŇeli szereg
=1
|
n a jest zbieŇny, to mwimy, Ňe szereg
=1
|
a jest bezwzglħd-
n
n
nie zbieŇny. JeŇeli szereg jest zbieŇny, ale nie jest bezwzglħdnie zbieŇny, to mwimy,
Ňe jest on warunkowo zbieŇny.
WþasnoĻci szeregw zbieŇnych
1. Na zbieŇnoĻę szeregu nie majĢ wpþywu jego poczĢtkowe wyrazy. Niech N
k
i niech = 1
( n
n S oznacza ciĢg sum czħĻciowych szeregu
=
k a . Mamy
−
1
+
n
n
1
S
n
.
2. Warunek konieczny zbieŇnoĻci szeregu: JeŇeli szereg
=1
S
k
−
1 +
S
n
−
1
a jest zbieŇny, to
n
n a .
n .
3. Warunek CauchyÓego zbieŇnoĻci szeregu: Szereg
=1
0
a
−= − S
S
n
S
n
1
S
−
=
0
a jest zbieŇny wtedy i
n
tylko wtedy, gdy speþnia nastħpujĢcy warunek CauchyÓego:
30
: 1
ciĢg =1
1
+= k
56268796.016.png
n
+
>
0
n
0 N
n
>
m
n
0
:
a
1
n
.
k
=
m
S jest zbieŇny do granicy skoıczonej wtedy i tylko wtedy,
gdy speþnia warunek CauchyÓego, tzn.
Dowd. CiĢg =1
( n
n
)
|
>
0
n
0
N
m
,
n
n
0
:
|
S
n
−
S
m
.
n > mamy
+
n
Pozostaje zauwaŇyę, Ňe dla m
S
n
−
S
m
=
a
n
.
k
=
m
1
4. JeŇeli szereg jest bezwzglħdnie zbieŇny, to jest zbieŇny.
n
n
m
a
| .
a
|
n
n
k
=
m
+
1
k
=
+
1
Ęwiczenie. Szereg
=
q jest bezwzglħdnie zbieŇny dla
n
−
1
| <
q . =
|
1
=
q
n
−
1
n
1
n
1
1
= 1
dla
| <
q . Dla
|
1
q szereg jest rozbieŇny.
|
1
−
q
5. Szereg harmoniczny
=1
n jest rozbieŇny. Niech
n
1
H
:
=
. Mamy
n
k
n
k
=
1
H
=
+
1
1
+
+
1
1
+
+
1
+
...
1
+
...
+
+
1
+
...
1
2
n
2
3
4
5
8
2
n
−
1
+
1
2
n
3
+
2
1
+
4
1
+
...
+
2
n
−
1
1
=
3
+
1
+
1
+
...
+
1
>
n
+
.
2
4
8
2
n
2
2
2
2
2
1
442
443
n
−
1
Ęwiczenie. Wyznaczyę
H ,
10
3
H ,
10
6
H z dokþadnoĻciĢ do 0,001.
10
9
6. JeŇeli 0
a dla dowolnego n, to szereg
=1
n
>
a jest zbieŇny wtedy i tylko wte-
n
n
dy, gdy ciĢg sum czħĻciowych =1
( n
S jest ograniczony z gry; piszemy wtedy
n
)
=1
a . KaŇdy ciĢg zbieŇny jest ograniczony. JeŇeli ciĢg sum czħĻciowych jest
n
<
+
n
ograniczony z gry, to jako ciĢg niemalejĢcy musi byę zbieŇny.
7. Kryterium porwnawcze zbieŇnoĻci szeregw: JeŇeli
0
a
n b
n
dla dowolne-
go n i +
=1
b , to +
<
=1
a . Odwrotnie, jeŇeli +
n
<
=1
a , to +
n
=
=1
b .
=
n
n
n
n
31
1
56268796.017.png 56268796.018.png 56268796.019.png 56268796.001.png 56268796.002.png
Np. dla
0
< s szereg
=1
1
1
jest rozbieŇny.
n
s
n
8. Kryterium asymptotyczne zbieŇnoĻci szeregw: JeŇeli
a
n b
, >
n
0
oraz
a
n
g
(
0
+
)
, to +
=1
a +
<
=1
b , oraz +
<
=1
a +
=
=1
b .
=
n
n
b
n
n
n
n
n
Dowd. ZaþŇmy, Ňe +
=1
b . Istnieje N
<
n takie, Ňe g
a
n
dla
2
n ,
n
0
b
n
n
czyli
a 2
n gb
dla
n
n . Teraz stosujemy kryterium porwnawcze i wnioskujemy,
n
0
Ňe +
=1
a . ZamieniajĢc rolami szeregi, dostajemy drugĢ implikacjħ.
n
<
n
Np. +
=1
sin
1
=
.
n
n
9. JeŇeli szereg
=1
a jest zbieŇny, to dla dowolnego R
n
szereg
=
a jest
n
n
n
1
zbieŇny oraz
=
a
n a
=
n
.
n
=
1
n
1
10. JeŇeli szeregi
=1
a i
=1
n
b sĢ zbieŇne, to szereg
=
(
a jest zbieŇny
n b
+
n
)
n
n
n
1
oraz
=
(
a
n
+
b
n
)
=
a
n
+
b
n
.
n
= 1
1
n
=
1
n
11. Kryterium á
2 Ñ. JeŇeli 0
k
a oraz
n
a
n a
+ 1 dla dowolnego n, to
n
=1
a +
<
+
=1
2
k
a
<
. Np. dla dowolnego 1
s szereg
=1
>
1
jest zbieŇny,
n
2
k
n
s
n
k
n
1
1
k
bo zbieŇny jest szereg
2
k
=
. Jest oczywiste, Ňe wskazane szeregi
2
ks
= −
2
s
1
k
=
1
k
1
bħdĢ rwnieŇ jednoczeĻnie rozbieŇne.
Dowd. Niech =
( k
S oznacza ciĢg sum czħĻciowych szeregu
=1
1
)
2
k
a . Przy-
k
2
k
k
puĻęmy, Ňe +
=1
2
k
a
<
. Aby pokazaę, Ňe szereg
=1
a jest zbieŇny, wystarczy
n
2
k
k
n
pokazaę, Ňe ciĢg =1
(
S jest ograniczony. Mamy
2
k
)
k
S
2
k
=
a
1
+
(
a
2
+
a
3
)
+
(
a
4
+
...
+
a
7
)
+
(
a
8
+
...
+
a
15
)
+
(
a
2
k
+
...
+
a
2
k
+ )
1
−
a
+
2
a
+
4
a
+
8
a
+
...
+
2
k
a
=
S
.
1
2
4
8
k
2
k
32
1
56268796.003.png 56268796.004.png 56268796.005.png 56268796.006.png 56268796.007.png 56268796.008.png
W drugĢ stronħ:
S
2
k
=
(
a
1
+
a
2
)
+
(
a
3
+
a
4
)
+
(
a
5
+
...
+
a
8
)
+
(
a
9
+
...
+
a
16
)
+
(
a
2
k
−
1
+
...
+
a
2
k
)
+ −
a
2
a
+
4
a
+
8
a
+
...
+
2
k
1
a
1
S
.
2
4
8
16
k
2
k
2
12. Kryterium CauchyÓego zbieŇnoĻci szeregw: JeŇeli 0
n a dla dowolnego n
oraz
lim
n
a
n
=
(
0
+
)
, to:
n
jeŇeli 1
< g , to +
=1
n a ,
<
n
jeŇeli 1
> g , to +
=1
n a ,
=
n
jeŇeli 1
= g , to nic nie wiadomo (np.
=1
1
n i
1
n n
).
2
n
=1
Dowd. Niech
< cg . Wtedy c
<
1
n
a
n dla
n , czyli
n
0
a dla
n c
n
n , i
n
0
stosujemy kryterium porwnawcze. JeŇeli
> cg , to
>
1
n
a
n dla
c
n , czyli
n
0
a
n c
i szereg nie speþnia warunku koniecznego zbieŇnoĻci.
13. Kryterium dÓAlemberta zbieŇnoĻci szeregw: JeŇeli 0
+
n a dla dowolnego n
>
oraz
+ g
a
n
+
1
=
(
0
+
)
, to:
a
n
n
jeŇeli 1
< g , to +
=1
n a ,
<
n
jeŇeli 1
> g , to +
=1
n a ,
=
n
jeŇeli 1
= g , to nic nie wiadomo (np.
=1
1
n i
1
n n
).
2
n
=1
a
a −
Dowd. Niech
< cg . Wtedy
<
1
n
+ 1
c
dla
n , czyli
n
n
+ dla
1
a
c
n
n
0
0
n
a
a
0
n
n
n , i stosujemy kryterium porwnawcze. JeŇeli
n
> cg , to
>
1
a
n
+ 1
c
dla
n ,
n
0
0
a
n
czyli +
a i szereg nie speþnia warunku koniecznego zbieŇnoĻci.
14. Kryterium Dirichleta: JeŇeli 0
n c
− 0
0
a
n
n
n a i
a
n
+ 1
a
n
dla dowolnego n i 0
n a ,
oraz =1
(
b jest taki, Ňe
)
n
|
b
1
++ |
...
b
n
C
dla dowolnego n, to szereg
=1
n a jest
n
n
zbieŇny.
33
+ g
n
lim
56268796.009.png 56268796.010.png 56268796.011.png 56268796.012.png 56268796.013.png
Dowd. Niech
B +
n
: 1
= ...
b
+
b
n
. SprawdŅmy warunek CauchyÓego dla szeregu
=1
a .
n b
n
n
Mamy
+
n
a
1
k
b
k
=
a
m
+ n
1
b
m
+
1
+
...
+
a
n
b
=
k
=
m
=
a
m
+
1
(
B
m
+
1
−
B
m
)
+
a
m
+
2
(
B
m
+
2
−
B
m
+
1
)
+
...
+
a
n
(
B
n
−
B
n
−
1
)
=
=
−
a +
+
1
B
m
+
B
m
+
1
(
a
m
+
1
−
a
m
+
2
)
+
B
m
+
2
(
a
m
+
2
−
a
m
+
3
)
+
...
+
B
n
−
1
(
a
n
−
1
−
a
n
)
a
n
B
,
a stĢd
+
n
a
1
k b
k
k
=
m
C
(
a
m
+
1
+
(
a
m
+
1
−
a
m
+
2
)
+
(
a
m
+
2
−
a
m
+
3
)
+
...
+
(
a
n
−
1
−
a
n
)
+
a
n
)
=
2
Ca
m
+
.
15. Kryterium Leibniza: JeŇeli 0
a i
a
+ 1 dla dowolnego n i 0
a , to
n
n
n
szereg przemienny
= −
(
1
n a jest zbieŇny. Np. szereg
n
= −
(
1
n
n jest warunkowo
n
1
n
1
zbieŇny.
Dowd. Stosujemy kryterium Dirichleta do
=
b
= 1
(
−
1
n
(
C ).
=
1
n
34
m
n
1
n a
1
56268796.014.png 56268796.015.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin