W10-Fizyka-Haran.pdf

(115 KB) Pobierz
102800302 UNPDF
Fizyka dla elektroników 1
Dr Grzegorz Harań
Wykład 10
Mechanika
Drgania
Równanie ruchu harmonicznego prostego:
dt 2 kx =0
x = Ae t m 2 k =0 - równanie charakterystyczne
k m =± i 0 0 = k m e 1,2 t = e ± i 0 t
Załóżmy warunki początkowe x t =0= x 0, V t =0= dx
1,2 =± i
dt ∣ t =0 =0 - maksymalne wychylenie
x t =0= A 1 A 2 = x 0 ⇒ A 1 = x 0
2
dx
dt ∣ t =0 = i 0 A 1 − i 0 A 2 ⇒ A 1 = A 2
Rozwiązanie szczególne (warunki początkowe) x t = x 0
2 e i 0 t e − i 0 t = x 0 cos 0 t
k m - częstość kątowa drgań oscylatora harmonicznego prostego
0 =
Energia drgań: E = 1
2 mV 2 1
2 kx 2
V = dx
dt =− x 0 0 sin 0 t
E = 1
2 mx 2 2 sin 2  0 t  1
2 kx 2 cos 2  0 t = 1
2 kx 0 sin 2  0  1
2 kx 2 cos 2  0 t = 1
2 kx 2 = 1
2 m 2 x 2
Przykład: wahadło fizyczne.
d - odległość osi obrotu od środka masy
m - masa wahadła
I - moment bezwładności wahadła
moment siły = d × m g = dmg sin− n
n - wektor jednostkowy prostopadły do płaszczyzny ruchu i określony
tak, że = n (kierunek  n z reguły śruby prawoskrętnej)
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
I = = d 2
dt 2 jeśli przyjmiemy oś z wzdłuż osi obrotu to: = d 2
dt 2 0,0 ,1 , a moment
m d 2 x
dt 2 =− kx k,m 0 md 2 x
102800302.012.png 102800302.013.png 102800302.014.png 102800302.015.png 102800302.001.png
siły = mgd sin0,0 ,1 i otrzymujemy I d 2
dt 2 0,0 ,1= mgd sin0,0 ,1
dt 2 =− mgd sin
Dla małych wychyleń≪1 mamy sin≈
I d 2
dt 2 mgd =0⇒ 0 =
mgd
I = 0 cos 0 t
k m x = x 0 cos 0 t
Szczególny przypadek: wahadło matematyczne.
I = md 2 0 =
mgd
g d
Okres drgań - T = 2
0 =2
d g (częstość kątowa=szybkość kątowa)
Przykład: układ LC.
E = q 2
2C 1
2 LI 2 = q 2
2C 1
dq dt
2
= const / d
dt
2 L
q
C
dt L dq
d 2 q
dt 2 =0 /: dq
q - ładunek na kondensatorze
dt
dt
dt 2 q
C =0⇒ 0 =
1 LC ,q = Q cos 0 t I - natężenie prądu
Drgania tłumione
Równanie ruchu: m d 2 x
dt 2 =− kx − bV , gdzie V = dx
dt b 0
dt kx =0, x = Ae t
Równanie charakterystyczne m 2 b  k =0
= b 2 −4mk  1 = 1
2m − b − b 2 −4mk=− b 2m = 1
m
b 2
4m − k =− b
2m −
b 2m 2 − k m
b 2m 2 − k m
2 =− b
2m
Rozwiązanie ogólne:
1. jeśli 1 ≠ 2 czyli b
2m ≠
k m = 0 x t = A 1 e 1 t A 2 e 2 t
I d 2
m d 2 x
dt 2 kx =0⇒ 0 =
md 2 =
dq
L d 2 q
m d 2 x
dt b dx
102800302.002.png 102800302.003.png 102800302.004.png 102800302.005.png 102800302.006.png 102800302.007.png
a) b
2m
k m = 0 to 1 =− b 2m − i  2 =− b 2m i , = k m − b 2m 2
A 1 e − i t A 2 e i t - ruch drgający tłumiony („harmoniczny”)(„ruch
periodyczny”)
x t = e
− b
2m t
b) b
k m = 0 1 , 2 ∈ℝ x t = e − b 2m t A 1 e − t A 2 e − t , = b 2m 2 − k m - ruch
tłumiony aperiodyczny
2m
k m = 0 , x t = A 1 A 2 t e − b 2m t
Ad 1.a) Ruch harmoniczny tłumiony
2m =
2 − b 2m 2
warunki początkowe: x t =0= x 0 ,V t =0=0
x t =0= A 1 A 2 = x 0
V t =0=− b
− b
2m t
A 1 e − i t A 2 e i t , =
2m A 1 A 2 − i A 1 i A 2 =0
A 1 = x 0
2 1 ib
2m ,A 2 = x 2 1− ib
2m
x t = x 0 e
− b
2m t
cos t  b
2m sin t 
T = 2
dla bardzo małego tłumienia ln b
2m ≪ 0 b
2m ≪=
2 − b 2m 2
2m ≪1 i przybliżone
− b
rozwiązanie: x t = x 0 e
2m t
cos t
Drgania wymuszone
Działa okresowa siła F w = A cos t wymuszająca
dt 2 =− kx − b dx
dt A cos t k,b,A,m 0
dt 2 2b
dt k
m x = A
m = b
2m , 0 =
k m , = A m
2m
dt 2 2 dx
dt  2 x =cos t
Ruch harmoniczny z siła wymuszającą:=0
d 2 x
2. jeśli 1 = 2 czyli b
x t = e
to b
m d 2 x
d 2 x
dx
d 2 x
dt  2 x =cos t
102800302.008.png 102800302.009.png 102800302.010.png 102800302.011.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin