matematyka_granice_funkcji.pdf
(
143 KB
)
Pobierz
111909462 UNPDF
Edited by Foxit PDF Editor
Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004
Granicefunkcji
mgrZofiaMatusiewicz
18sierpnia2004
1Granicefunkcji
1.1GranicafunkcjiwpunkciewedługHeinego
Definicja1(wgHeinego)
x
!
c
f
(
x
)=
g
,8
(
x
n
)
,
{
x
n
}
(
c
−
r,c
)
[
(
c,c
+
r
)
[lim
n
!1
x
n
=
c
)
lim
n
!1
f
(
x
n
)=
g
]
dladowolnegor
2
R
+
.
Definicjagranicylewostronnej:
Definicja2(wgHeinego)
x
!
c
−
f
(
x
)=
g
,8
(
x
n
)
,
{
x
n
}
(
c
−
r,c
)
[lim
lim
n
!1
x
n
=
c
)
lim
n
!1
f
(
x
n
)=
g
]
dladowolnegor
2
R
+
.
Definicjagranicyprawostronnej:
Definicja3(wgHeinego)
x
!
c
+
f
(
x
)=
g
,8
(
x
n
)
,
{
x
n
}
(
c,c
+
r
)
[lim
lim
n
!1
x
n
=
c
)
lim
n
!1
f
(
x
n
)=
g
]
dladowolnegor
2
R
+
.
Granicafunkcjiniewła±ciwejfunkcjiwpunkcie:
Definicja4(wgHeinego)
x
!
c
f
(
x
)=
1,8
(
x
n
)
,
{
x
n
}
(
c
−
r,c
)
[
(
c,c
+
r
)
[lim
n
!1
x
n
=
c
)
lim
n
!1
f
(
x
n
)=
1
]
dladowolnegor
2
R
+
.
Definicjagranicywła±ciwejwniesko«czono±ci:
Definicja5(wgHeinego)
x
!1
f
(
x
)=
g
,8
(
x
n
)
,
{
x
n
}
(
r,
1
)
[lim
n
!1
x
n
=
)
lim
n
!1
f
(
x
n
)=
g
]
dladowolnegor
2
R
+
.
1
For Evaluation Only.
lim
lim
lim
Definicjagranicyniewła±ciwejwniesko«czono±ci:
Definicja6(wgHeinego)
x
!1
f
(
x
)=
1,8
(
x
n
)
,
{
x
n
}
(
r,
1
)
[lim
n
!1
x
n
=
c
)
lim
n
!1
f
(
x
n
)=
1
]
dladowolnegor
2
R
+
.
1.2GranicafunkcjiwpunkciewedługCauchy’ego
Definicja7(wgCauchy’ego)
x
!
c
f
(
x
)=
g
,8
>
0
9
>
0
8
x
2
(
c
−
r,c
)
[
(
c,c
+
r
)
[(
|
x
−
c
|
<
)
)
(
|
f
(
x
)
−
g
|
<
)]
dladowolnegor
2
R
+
.
Definicjagranicylewostronnej:
Definicja8(wgCauchy’ego)
x
!
c
−
f
(
x
)=
g
,8
>
0
9
>
0
8
x
2
(
c
−
r,c
)
[(0
<c
−
x<
)
)
(
|
f
(
x
)
−
g
|
<
)]
dladowolnegor
2
R
+
.
Definicjagranicyprawostronnej:
Definicja9(wgCauchy’ego)
x
!
c
+
f
(
x
)=
g
,8
>
0
9
>
0
8
x
2
(
c,c
+
r
)
[(0
<x
−
c<
)
)
(
|
f
(
x
)
−
g
|
<
)]
dladowolnegor
2
R
+
.
Granicafunkcjiniewła±ciwejfunkcjiwpunkcie:
Definicja10(wgCauchy’ego)
x
!
c
f
(
x
)=
1,8
>
0
9
>
0
8
x
2
(
c
−
r,c
)
[
(
c,c
+
r
)
[(
|
c
−
x
|
<
)
)
(
|
f
(
x
)
−
g
|
>
)]
dladowolnegor
2
R
+
.
Definicjagranicywła±ciwejwniesko«czono±ci:
Definicja11(wgCauchyego)
x
!1
f
(
x
)=
g
,8
>
0
9
2
R
8
x
2
(
r,
1
)
[(
x>
)
)
(
|
f
(
x
)
−
g
|
<
)]
dladowolnegor
2
R
+
.
lim
Definicjagranicyniewła±ciwejwniesko«czono±ci:
Definicja12(wgCauchy’ego)
x
!1
f
(
x
)=
1,8
>
0
9
2
R
8
x
2
(
r,
1
)
[(
x>
)
)
(
f
(
x
)
>
)]
dladowolnegor
2
R
+
.
lim
2
lim
lim
lim
lim
lim
1.3Twierdzeniadotycz¡cegranic
Twierdzenie1
NiechW
(
x
)
b¦dziewielomianemstopnian,P
(
x
)
b¦dzie
wielomianemstopniamije±lim>n,to:
lim
c
!1
W
(
x
)
P
(
x
)
=0
,
orazje±liwspółczynnikprzyxwnajwi¦kszejpot¦dzewP
(
x
)
jestdodatni:
lim
c
!1
P
(
x
)
W
(
x
)
=+
1
,
za±je±liwspółczynnikprzyxwnajwi¦kszejpot¦dzewP
(
x
)
jestujemny:
lim
c
!1
P
(
x
)
W
(
x
)
=
−1
,
Twierdzenie2
NiechW
(
x
)
iP
(
x
)
b¦d¡wielomianamistopnianto:
lim
c
!1
W
(
x
)
=
a
b
,
gdzieajestwspółczynnikiemprzyxwnajwi¦kszejpot¦dzewP
(
x
)
,za±b
gdzieajestwspółczynnikiemprzyxwnajwi¦kszejpot¦dzewW
(
x
)
.
Twierdzenie3
x
!
c
(
f
(
x
)+
g
(
x
))=lim
x
!
c
f
(
x
)+lim
x
!
c
g
(
x
)
Twierdzenie4
x
!
c
(
f
(
x
)
−
g
(
x
))=lim
x
!
c
f
(
x
)
−
lim
x
!
c
g
(
x
)
Twierdzenie5
x
!
c
(
s
·
g
(
x
))=
s
·
lim
x
!
c
f
(
x
)
Twierdzenie6
x
!
c
(
f
(
x
)
·
g
(
x
))=(lim
x
!
c
f
(
x
))
·
(lim
x
!
c
g
(
x
))
Twierdzenie7
x
!
c
(
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
!
c
f
(
x
)
lim
x
!
c
g
(
x
)
je±li
lim
x
!
c
6
=0
.
3
P
(
x
)
lim
lim
lim
lim
lim
Twierdzenie8
x
!
c
(
f
(
x
))
g
(
x
)
=lim
x
!
c
f
(
x
)
lim
x
!
c
g
(
x
)
Twierdzenie9
x
!
c
(
g
(
f
(
x
))=(lim
x
!
c
f
(
x
))
.
Twierdzenie10
Niechb¦d¡danefunkcjef,g,hspełniaj¡cewarunki:
f
(
x
)
¬
g
(
x
)
¬
h
(
x
)
dlaka»degox
2
(
c
−
r,c
)
[
(
c,c
+
r
)
dladowolnegor
2
R
+
oraz
x
!
c
f
(
x
)=lim
x
!
c
h
(
x
)=
q
to
x
!
c
g
(
x
)=
q
Analogicznetwierdzeniazachodz¡dlagranicjednostronnychorazgranicw
niesko«czono±ci.
Twierdzenie11
x
!1
f
(
x
)=lim
y
!
0
+
f
(
1
u
)
Twierdzenie12
x
!−1
f
(
x
)=lim
y
!
0
−
f
(
1
u
)
2Podstawowegranicewyra»e«nieoznaczonych
2.1Symbolenieoznaczone
Wyra»enia,które”przyjmuj¡warto±ci”:
•
1−1
•
0
·1
•
1
1
•
1
1
•
1
0
•
0
0
•
0
0
nazywasi¦SYMBOLAMINIEOZNACZONYMI.
4
lim
lim
lim
lim
lim
lim
2.2Podstawowegranicewyra»e«nieoznaczonych
1.
lim
x
!
0
sin
x
x
=1
2.
lim
x
!
0
tg
x
x
=1
3.
lim
x
!
0
x
sin
x
=1
4.
lim
x
!
0
x
tg
x
=1
5.
x
!
0
(1+
x
)
1
x
=
e
6.
x
!
0
(1+
x
)
a
x
=
e
a
7.
x
!
+
/
−1
(1+
1
x
)
x
=
e
8.
x
!
+
/
−1
(1+
a
x
)
x
=
e
a
9.
lim
x
!
0
e
x
−
1
x
=ln
e
=1
10.
lim
x
!
0
a
x
−
1
x
=ln
a
11.
lim
x
!
0
ln(1+
x
)
x
=1
12.
lim
x
!
0
log
a
(1+
x
)
x
=
1
ln
a
5
lim
lim
lim
lim
Plik z chomika:
alka1968
Inne pliki z tego folderu:
Ebook.-.Playboy.Special.Edition-Playboy_s.Sexy.Girls.Next.Door.(November.December.2005).[Magazine.Erotic](1).pdf
(20119 KB)
Ebook.-.Playboy.Special.Edition-Playboy_s.Sexy.Girls.Next.Door.(November.December.2005).[Magazine.Erotic].pdf
(20119 KB)
Psychologia_osiagniec.pdf
(444 KB)
matematyka_granice_funkcji.pdf
(143 KB)
Inne foldery tego chomika:
……∂ SUNIA …∂
♠♠ zorza ♠♠
۩ Moje miasteczko ۩
۩ nutki religijne ۩
۩ PRYWATNE ۩
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin