Zasada zachowania energii.pdf

(300 KB) Pobierz
Wyk³ad 8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 8
8. Zasada zachowania energii
8.1 Wstęp
Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazaliśmy, że
W = ∆ E k
Często na punkt materialny działa kilka sił, których suma wektorowa jest siłą wypad-
kową: F = F 1 + F 2 + F 3 +.......+ F n . Wtedy praca jest sumą algebraiczną prac wykona-
nych przez poszczególne siły: W = W 1 + W 2 + W 3 +...........+ W n .
Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy postać
W 1 + W 2 + W 3 +...........+ W n =∆ E k
Będziemy właśnie rozpatrywać układy, w których działają różne siły, pozwoli to na de-
finiowanie różnych rodzajów energii.
8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
Zaczynamy od rozważmy przykładów dwóch rodzajów sił: sił zachowawczych i sił nie-
zachowawczych .
V
Najpierw rozpatrzmy sprężynę jak w przykładzie z poprzedniego wykładu.
Przesuwamy ciało o masie m z prędkością v w kierunku sprężyny, tak jak na rysunku.
Założenia:
• ruch na płaszczyźnie odbywa się bez tarcia,
• sprężyna jest idealna tzn. spełnia ona prawo Hooke'a: F = - kx , gdzie F jest siłą wy-
wieraną przez sprężynę kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odległość x ,
• masa sprężyny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą ciała, więc cała ener-
gia kinetyczna w układzie sprężyna + ciało jest zgromadzona w tym ciele.
Przy ściskaniu sprężyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczn
do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod
wpływem sprężyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało
początkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako zdolność ciała do wykonania
pracy kosztem jego ruchu (kosztem E k ). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność
ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana . Siła sprężysta wywiera-
na przez idealną sprężynę jest zachowawcza . Inne siły, działają także w ten sposób, np.
a maleje
aż
8-1
4224571.003.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z tą
samą prędkością i energią kinetyczną.
Jeżeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do położenia początko-
wego i ma inną energię kinetyczną niż na początku to oznacza, że po przebyciu drogi
zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to,
że przynajmniej jedną z działających sił określa się jako niezachowawczą .
Aby zilustrować ten przypadek, załóżmy, że powierzchnia nie jest ide
mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia się ruchowi bez względu
w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła sprężystości czy grawitacji) i ciało
wraca z mniejszą energią kinetyczną. Mówimy, że siła tarcia (i inne działające podob-
nie) są niezachowawcze .
Możemy przeanalizow
iła nad punktem materialnym.
W pierwszym przykładzie (be
ężyna ulega ściskaniu, jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemiesz-
czenia, cos180° = -1). Gdy sprężyna rozprężą się praca jest dodatnia (siła i przemiesz-
czenie jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez siłę sprę-
żystą (siłę wypadkową) jest równa zero.
W drugim przykładzie (uwzględniam
ujemna dla każdej części cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia się ruchowi).
Ogólnie: Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punkte
rialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest nie-
zachowawcza jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który po-
rusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru .
Możemy jeszcze trzecim sposobem rozważyć różnicę między
alnie gładka,
że
ać zachowawczy charakter sił analizując pracę jaką wykonuje
ta s
z tarcia) praca wykonana przez siłę sprężystą, gdy
spr
y tarcie). Praca wykonywana przez siłę tarcia
jest
m mate-
siłami niezachowawczy-
B
B
1
1
2
2
A
A
mi i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z
B do A po innej (2) (patrz rysunek).
Jeżeli siła jest zachowawcza to
W AB ,1 + W BA ,2 = 0
b
o droga zamknięta. Możemy to zapisać inaczej
W AB ,1 = - W BA ,2
A
le gdyby odwrócić kierunek ruchu i przejść z A do B po drugiej drodze to, ponieważ
8-2
4224571.004.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
zmieniamy tylko kierunek to
W AB ,2 = - W BA ,2
Skąd otrzymujemy
W AB ,1 = W AB ,2
W
do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mogą mieć dowolny kształt byleby tylko
łączyły te same punkt A i B .
Siłę nazywamy zachowaw
lnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie
od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią
nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi
łączącej te punkty .
Przedstawione definicje są
idać z tego, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu od A
czą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem mate-
ria
równoważne.
8.3 Energia potencjalna
Skupimy się teraz na odosobnionym układzie ciało + sprężyna. Zamiast mówić ciało
porusza będziemy mówić: stan układu się zmienia .
Widzieliśmy, że gdy nie występuje tarcie to energia
e tak, że wraca do początkowej wartości w cyklu zamkniętym. W tej sytuacji (gdy
działają siły zachowawcze) staje się celowe wprowadzenie pojęcia energii stanu lub
energii potencjalnej E p . Mówimy, że jeżeli energia kinetyczna układu zmieni się o war-
tość ∆ E k to tym samym zmienił się stan układu to energia potencjalna E p (stanu) tego
układu musi się zmienić o wartość równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwną
co do znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru
kinetyczna maleje a potem ro-
śni
∆ E k + ∆ E p = 0
In
do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej E p układu, tak że ich
suma pozostaje przez cały czas stała
nymi słowy, każda zmiana energii kinetycznej E k jest równoważona przez równą co
E k + E p . = const.
(8.1)
Energia potencjalna przedstawia formę nagromadzonej energii, która może być całko-
wicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną. Nie można więc wiązać energii
potencjalnej z siłą niezachowawczą.
W przykładzie ze sprężyną (bez ta
okalizowana w sprężynie energia potencjalna rośnie. Z twierdzenia o pracy i energii
rcia) energia kinetyczna ciała początkowo maleje,
a zl
W = ∆ E k
w
ięc dla zachowawczej siły F
W = ∆ E k = - ∆ E p
8-3
się
4224571.005.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stąd
x
∆
E
p
=
−
W
=
−
∫
F
(
x
)
d
x
(8.2)
x
0
ożemy więc zapisać zależność między siłą i energią potencjalną
F
( −
x
)
=
d
E )
p
d
(
x
(8.3)
x
T
nieważ ∆ E p = E pB – E pA . Żeby znaleźć E pB trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość
E pA
x
E
pB
=
∆
E
p
+
E
pA
=
−
∫ 0
F
(
x
)
d
x
+
E
pA
x
P
E p było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).
Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych
• grawitacyjna energia potencjalna (w pobliżu powierzchni Ziemi)
Ruch wzdłuż osi y
F ( y ) = - mg
jest stała. Przyjmujemy, że dla y = 0, E p (0) = 0.
y
y
E
p
(
y
)
=
−
∫
F
(
y
)
d
y
+
E
p
(
0
=
−
∫
(
−
mg
)
d
y
=
mgy
0
0
Sprawdzenie
F
=
−
d
E
p
(
y
)
=
−
d
(
mgy
)
=
−
mg
d
y
d
y
•
Ruch wzdłuż osi x
F ( x ) = - kx
rzyjmujemy dla x = 0, E p (0) = 0.
8-4
M
rzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć ∆ E p a nie E p samą. Po-
unkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), żeby
F
Wtedy
energia potencjalna sprężyny
P
Wtedy
4224571.006.png 4224571.001.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
x
kx
2
E
= ∫
−
(
−
kx
)
d
x
=
p
2
0
Sprawdzenie:
kx
2
d
d
E
(
x
)
2
F
=
−
p
=
−
=
−
kx
d
x
d
x
8.3.1 Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego
W przykładzie powyżej obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawita-
cyjną w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała.
Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną
masy m znajdującej się w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od
środka Ziemi.
Dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu ze stanu A
do stanu B możemy zapisać jako
∆
E
p
=
E
pB
−
E
pA
=
−
W
AB
skąd
E
pB
=
−
W
AB
+
E
pB
Żeby policzyć energię potencjalną w punkcie B musimy znać energię potencjalną w
punkcie odniesienia A i policzyć pracę W AB .
Dla masy m znajdującej się w pewnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o
r od środka Ziemi stan odniesienia wybiera się tak, że Ziemia i masa m znajdują się od
siebie w nieskończonej odległości. Temu położeniu ( r Æ ∞) przypisujemy zerową ener-
gię potencjalną, E pA = 0. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem
zerowej siły. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla wybranego punktu odnie-
sienia
E
p
(
r
)
=
−
W
∞ r
+
0
Musimy teraz obliczyć pracę
−
W ∞
r
. Ponieważ znamy siłę
F
=
−
G
M
Z
m
r
2
to możemy obliczyć pracę i w konsekwencji energię potencjalną (znak minus wskazuje
kierunek działania siły do środka Ziemi; siła przyciągająca)
8-5
4224571.002.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin