100matura_odp.pdf

(214 KB) Pobierz
Microsoft Word - 100matura_odp.doc
Zadanie 01
Zbiór A, to półpłaszczyzna ograniczona prost Ģ y = -x+1,
zbiór B, to koło o Ļ rodku S( 2
1 ; 0) i promieniu r = 2 .
Ró Ň nica B-A jest odcinkiem koła (bez ci ħ ciwy).
( ã ):
Zbiory A m , to kwadraty o wierzchołkach (m ; 0), (0 ; m), (-m ; 0), (0 ;-m).
Zbiory B m , to koła o Ļ rodku S( 2
1 ; 0) i promieniu
r
= m
+
1
, st Ģ d
2
m
+
1
>
m
+
1
. Nierówno Ļę jest spełniona dla
m
Î
(−
1
;
1
)
i m Î N .
2
2
2
2
Czyli m = 0.
Zadanie 02
Równanie ma 2 pierwiastki, gdy
D
>
0
czyli (k + 7 ) 2 - 4(k + 6) > 0, st Ģ d
k
Î R
−
{ 5
−
}
.Warunek zadania zapiszemy korzystaj Ģ c z wzorów Viette’a:
( ) ( ) 2
+
7
2
³
6
k
+
6
−
, st Ģ d. (
k
Î
−
¥
;
−
5
È
−
3
+¥
)
Odpowied Ņ : (
k
Î
−
¥
;
−
5
)
È
−
3
+¥
)
Zadanie 03
Układ ma rozwi Ģ zanie dla m ¹ 6 :
x
=
−
m
,
y
=
2
m
−
8
.
m
−
6
m
−
6
x
>
0
Û
m
Î
( )
0
,
y
>
0
Û
m
Î
(
−
¥
;
) (
6
+¥
)
.
Odpowied Ņ : m Î{ 1, 2, 3 }.
©Irek.edu.pl
1
k
È
459705893.026.png 459705893.027.png 459705893.028.png 459705893.029.png 459705893.001.png
Zadanie 04
Dla
x
Î
Æ
−
¥
;
1
Ö
funkcja ma posta ę y = x 2 + 2x – 1,
2
dla
x
Î ;
2
1
+
¥
)
funkcja ma posta ę y = x 2 - 2x + 1, dla
x
=
1
,
y
=
1
.
2
4
Wierzchołek pierwszej paraboli W(-1;-2), drugiej P(1;0).
Przesuwaj Ģ c prost Ģ y = m wzdłu Ň osi OY zauwa Ň amy, Ň e równanie :
nie ma pierwiastków dla (
m
Î
−
¥
;−
2
,
ma jeden pierwiastek dla m = -2,
ma dwa pierwiastki dla ( ) Ö
m
Î
−
2
È
Æ
1
;
+¥
Ô
,
4
ma trzy pierwiastki dla m = 0 lub
m
=
1
,
4
ma cztery pierwiastki dla Ö
m
Î
Æ
0
1
Ô
.
4
Zadanie 05
Układ ma rozwi Ģ zanie dla m ¹ 1:
m
2
+
m
m
2
−
3
m
x
=
,
y
=
(
) 2
(
) 2
m
−
1
m
−
1
Warunek zadania jest spełniony dla m = 3.
Zadanie 06
Przek Ģ tne kwadratu s Ģ prostopadłe, czyli prosta AC ma równanie
y
=
−
1
x
−
2
1
2
2
(zawiera dany punkt A ).
Przek Ģ tne przecinaj Ģ si ħ w punkcie S(-1;-2), długo Ļę odcinka
AS
= 5
=
SC
, st Ģ d i z równania prostej AC mamy punkt C(-3;-1).
Analogicznie:
BS
= 5
=
SD
oraz prosta BD pozwalaj Ģ wyznaczy ę
B(0;0) i D(-2;-4). Pole kwadratu P =10.
©Irek.edu.pl
2
Ä
Ô
Ä
Ä
459705893.002.png 459705893.003.png 459705893.004.png 459705893.005.png 459705893.006.png
Zadanie 07
ĺ rodkiem okr ħ gu jest punkt O(0;0). Prosta prostopadła do danej i
przechodz Ģ ca przez Ļ rodek okr ħ gu ma równanie y = x.
Przecina okr Ģ g w punktach A(2;2) i B(-2;-2), a prost Ģ y = -x +8
w punkcie C(4;4). Odległo Ļę
AC
=
8 =
2
2
, za Ļ
BC
=
72 =
6
2
.
St Ģ d Ļ rodkiem szukanego okr ħ gu jest Ļ rodek odcinka AC , punkt P(3;3),
a promie ı jest połow Ģ jego długo Ļ ci:
r
=
2
.
Zadanie 08
Korzystaj Ģ c z okre Ļ lenia działania ! mamy:
( )
( )
=
n
+
1
!
−
n
=
n
(
n
+
1
−
1
)
=
n
,
lim
a
=
1
(
)
n
+
1
!
+
n
n
n
+
1
+
1
n
+
2
n
n
®
¥
Ci Ģ g jest rosn Ģ cy, 14-ty wyraz jest równy 8
7
, a 1 do a 13 s Ģ mniejsze.
Zadanie 09
a
2
3
Podstaw Ģ ostrosłupa jest trójk Ģ t równoboczny, czyli
P p
=
.
4
Wysoko Ļę ostrosłupa wraz z kraw ħ dzi Ģ boczn Ģ i odcinkiem równym 3
2
wysoko Ļ ci podstawy tworzy trójk Ģ t prostok Ģ tny, w którym jest dany
k Ģ t a . St Ģ d wyznaczamy wysoko Ļę ostrosłupa
h
=
a
3
tg
a
. Wi ħ c
3
a
3
V
=
tg
a
. Podstawiaj Ģ c dane wielko Ļ ci V = 18.
12
©Irek.edu.pl
3
!
!
a n
!
!
459705893.007.png 459705893.008.png 459705893.009.png 459705893.010.png 459705893.011.png
Zadanie 10
Dwa wierzchołki trójk Ģ ta wyznaczamy rozwi Ģ zuj Ģ c układ równa ı :
Ê
x
+
y
=
4
Ì
y
=
x
2
−
6
x
+
8
St Ģ d A(1;3) i B(4;0). trzeci to wierzchołek paraboli C(3;1). Wyznaczaj Ģ c
długo Ļ ci boków trójk Ģ ta
AB
=
3
2
,
AC
=
2
5
,
BC
=
2
sprawdzamy na
podstawie twierdzenia Pitagorasa, Ň e trójk Ģ t jest prostok Ģ tny oraz
obliczamy
P
=
1
AB
BC
=
3
.
2
Zadanie 11
Liczba x 1 = P(A), gdzie
=
A
=
2
W
=
4
. St Ģ d x 1 = 2
1 . Rozwi Ģ zaniem
równania wykładniczego jest x 2 =4. Podstawiaj Ģ c x 1 i x 2 do W(x)
otrzymujemy układ równa ı :
Ë
1
+
1
a
+
1
b
+
4
=
0
8
4
2
Ì
64
+
16
a
+
4
b
+
4
=
0
St Ģ d a =2,5; b = -7. Wielomian ma posta ę W(x) = x 3 –2,5x 2 –7x +4
i jest podzielny przez trójmian ( x - 2
1 )(x – 4) =x 2 –4,5x + 2.
Po wykonaniu dzielenia otrzymujemy trzeci pierwiastek x 3 = - 2 .
Natomiast rozwi Ģ zaniem nierówno Ļ ci W(x) > 0 jest
x
Î
Ä −
2
1
Ö
È
(
4
+¥
)
.
2
Zadanie 12
Wiedz Ģ c, Ň e
S
=
a
1
+
a
8
8
i S 8 =100 i a 8 = 23 mamy a 1 = 2 i r =3.
8
2
Rozwi Ģ zuj Ģ c równanie na n-t Ģ sum ħ ci Ģ gu arytmetycznego
( )
=
[
a
1
+
a
1
+
n
−
1
r
] n
obliczamy n =16.
2
©Irek.edu.pl
4
Ë
=
Ê
Æ
Ô
S n
459705893.012.png 459705893.013.png 459705893.014.png 459705893.015.png 459705893.016.png 459705893.017.png 459705893.018.png
Zadanie 13
Rozwi Ģ zuj Ģ c układ równa ı
Ê
2
x
−
y
=
5
Ì
x
2
+
y
2
=
25
wyznaczamy dwa wierzchołki prostok Ģ ta A(0; -5) i B(4;3), wierzchołek D
le Ň y na prostej prostopadłej do danej i przechodz Ģ cej przez punkt A , czyli
prostej y = - 2
1 x – 5 i jest rozwi Ģ zaniem układu:
Ë
y
=
−
1
x
−
5
2
Ì
x
2
+
y
2
=
25
czyli D(-4;-3). Wyznaczamy długo Ļ ci boków prostok Ģ ta
AB
=
4
5
,
AD
=
2
5
i obliczamy pole P = 40.
Zadanie 14
Przek Ģ tna podstawy d=4 3 , połowa przek Ģ tnej, kraw ħ d Ņ boczna i
wysoko Ļę ostrosłupa tworz Ģ trójk Ģ t prostok Ģ tny w którym jest k Ģ t a i
h
=
tg
a
V
=
1 2
a
h
=
16
, st Ģ d h=6.
.
1
3
d
2
Zadanie 15
Lewa strona jest sum Ģ n wyrazów ci Ģ gu arytmetycznego, w którym a 1 =2,
r=3, S n =187 i x=a n . Ze wzoru na sum ħ
S n
=
2
a
1
+
( )
−
1
r
n
wyznaczamy
2
n =11 czyli x = a 11 =32.
Zadanie 16
Obliczamy długo Ļę podstawy
AB
=
3
5
. Piszemy równanie prostej AB :
y=2x-3 i prostej do niej prostopadłej, przechodz Ģ cej przez C czyli prostej
CD
y
=
−
1
x
+
4
1
.
2
2
Punkt D jest punktem przeci ħ cia si ħ tych prostych i ko ı cem wysoko Ļ ci CD .
Z układu równa ı wyznaczamy D(3;3) i
CD
=
5
.
P
=
7
1
.
2
©Irek.edu.pl
5
Ë
Ê
n
459705893.019.png 459705893.020.png 459705893.021.png 459705893.022.png 459705893.023.png 459705893.024.png 459705893.025.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin