Na dzisiejszych zajęciach będziemy kontynuować temat macierzy i wyznaczników. Na sam początek twierdzenie dotyczące podstawowych własności wyznaczników.
· Wyznacznik macierzy A jest tym samym, co wyznacznik macierzy transponowanej, czyli det A = det .
· Jeżeli dowolny wiersz, bądź kolumnę wyzancznika pomnożymy przez liczbę rzeczywistą lambda, to jest to równoznaczne z pomnożeniem wyznacznika przez tą liczbę.
· Jeśli w wyznaczniku przestawimy dowolne dwa wiersze, lub kolumny, to wyznacznik zmienia znak na przeciwny.
· Jeśli pewien wiersz wyznacznika, lub kolumna jest złozony z samych zer, to wyznacznik jest równy 0.
· Jeśli w wyznaczniku występują dwa identyczne wiersze, lub dwie identyczne kolumny, to wartość wyznacznika jest równa 0. Warto jednak tu jeszcze wspomnieć kilka słów odnosnie kombinacji liniowej wierszy i kolumn macierzy. Mówimy, że wiersz k wyznacznika jest kombinacją liniową pozostałych wierszy, gdy każdy element w postaci:
.
Mówimy, że wiersz k wyznacznika jest proporcjonalny do wiersza l tego
wyznacznika, gdy:
· Wyznacznik o dwóch proporcjonalych wierszach, lub kolumnach jest równy 0.
· Jeżeli w wyznaczniku pewien wiersz, lub kolumna jest kombinacją liniową pozostałych wierszy, lub kolumn, to wyznacznik jest równy 0.
· Jeżeli do dowolnego wiersza, lub kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy, lub kolumn, to wartośc wyznacznika nie ulegnie zmianie.
Definicja – MINOR WYZNACZNIKA
Minorem wyznacznika det A nazywamy każdy wyznacznik powstały z det A przez wykreślenie tej samej liczby wierszy i kolumn z zachowaniem kolejności pozostaych. Minorem wyznacznika det A nazywamy też podwyznacznik powstały z det A przez wykreślenie jednego wiersza i jednej kolumny. Wprowadźmy następujące oznaczenie:
- Minor powstały z wykreślenia wiersza o numerze i i kolumny o numerze j powstały z
det A.
Kolejne ważne twierdzenie, to twierdzenie Laplace’a. Niech A = . Wówczas det A będzie równy:
. Jest to wzór Laplace’a na rozwinięcie wyznacznika względem kolumny o numerze j. Podobne twierdzenie można przedstawić względem wiersza o numerze i., czyli: . Wyrażenie nazywamy dopełnieniem algebraicznym wyrazu macierzy A.
Zobaczmy teraz na przykład. Dana jest macierz w postaci A = . Należy obliczyć korzystając ze wzorów Laplace’a wyznacznik powyższej macierzy. I tak wybierzemy kolumnę 2, gdyż tam znajdują się dwa zera, dzieki któremu będzie nam łatwiej liczyć.
I otrzymaliśmy wynik – obliczyliśmy ile wynosi wyznacznik metodą pierwszą, czyli Laplace’a. Teraz wyliczymy metodą drugą przez przekształcenia elementarne. Naszym zadaniem będzie zamienić nasz wyznacznik na taki, w którym otrzymamy zera w drugim wierszu pierwszej kolumny, trzecim wierszu pierwszej kolumny, trzecim wierszu drugiej kolumny, i w czwartym wierszu prócz ostatniej kolumny. Wykonamy więc dla naszego wyznacznika operacje na kolumnach. Skorzystamy z algorytmu Gaussa. W pierwszym kroku wierszem podstawowym jest zawsze wiersz pierwszy. Ten wiersz będziemy mnożyć przez różne liczby i dodawać do pozostałych wierszy. To, przez co pomnozymy będzie w tym kroku wynikało z wartości znajdujących się w pierwszej kolumnie. I tak otrzymamy:
Teraz chcemy mieć zero zamiast wyrazu w trzecim wierszu i drugiej kolumnie, oraz zamiast wyrazu w czwartym wierszu i trzeciej kolumnie. Teraz jako wiersz bazowy będzie brany wiersz drugi. I mamy pomnozyć wiersz drugi przez -2 i dodać go do trzeciego. W rezultacie otrzymamy:
Kolejny krok to zlikwidować ta jedynkę w wierszu czwartym. A zatem wierszem bazowym będzie wiersz trzeci. I tu wystarczy dodać wiersz trzeci do czwartego, gdyż jedynka nam się automatycznie usunie. I tak otrzymamy:
Nasz wyznacznik będzie wynosił tyle, ile wymnożenie wyrazów przekątnej rozpoczynającej się od wyrazu pierwszego wiersza pierwszej kolumny. A więc -8.
Kolejne twierdzenie to twierdzenie Cauchiego, które niekiedy potrafi być użyteczne. Jeżeli A, B sa macierzami kwadratowymi stopnia n, to ma miejsce równość:
det (A * B) = det A * det B. Zobaczmy przykład. Mamy dwie macierze trzy na trzy. Należy obliczyć A * B, det A i det B. Macierze te to:
A zatem det A * det B= det (A * B), czyli -4.
DEFINICJA – MACIERZ ODWROTNA
Niech A będize macierzą kwadratową stopnia e. Macierza odwrotną o ile istnieje nazywamy macierz o własności , gdzie det I = 1. Macierz A dla której istnieje macierz odwrotna nazywamy macierzą odwracalną. Stąd wynika wniosek, że macierz odwracalna jest nieosobliwa, czyli taka, że A jest różne od 0. Udowodnijmy:
, gdy , oraz .
DEFINICJA – MACIERZ DOŁĄCZONA
Macierzą dołączoną oznaczamy transponowaną macierz dopełnień algebraicznych macierzy A. Czyli.
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, czyli A jest różne od 0, to macierz odwrotna istnieje i ma postać: . Zobaczmy na przykładzie. Należy wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy o postaci:
Widzimy, że det A = 2, a więc jest to macierz nieosobliwa. I liczymy:
Teraz policzmy macierz odwrotną, czyli . Dokonajmy sprawdzenia. Powinniśmy po wymnożeniu macierzy A przez jej odwrotnośc otrzymać macierz jednostkową. A więc:
. I zgadza się.
Teraz przytoczmy twierdzenie o własnościach macierzy odwrotnej:
Należy zwrócić uwage na jedną rzecz. Zbiór wszystkich nieosobliwych macierzy kwadratowych stopnia n wraz z działaniem mnożenia macierzy jest grupą, co oznaczamy symbolem .
DEFINICJA – RZĄD MACIERZY O WYMIARACH m x n
Rzędem macierzy o wymiarach m x n nazywamy stopień największego niezerowego podwyznacznika tej macierzy. Rząd macierzy będizemy oznaczać symbolem rzA. Zobaczmy, jakie są własności rzędu macierzy. Rząd macierzy nigdy nie ulega zmianie, gdy:
1. Pomnozymy dowolny wiersz, lub kolumnę przez liczbę różną od 0.
2. Przestawimy wiersze, lub kolumny macierzy.
3. Do dowolnego wiersza lub kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy lub kolumn.
4. Wyciągniemy z macierzy wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer.
32:00
i7xn1