W15.pdf

(20 KB) Pobierz
Mathcad - W15.mcd
W15
Przykład 1 Dane jest zagadnienie początkowe
d
d
y
=
f x y
(
,
)
=
y x
+
, y 0
( ) 1
=
x
Za pomocą jawnej metody Eulera obliczyć y 1 oraz y 2 , gdy krok całkowania h = 0.1.
x 0 = 0, x 1 = x 0 + h = 0.1, x 2 = x 0 +2h = 0.2
y 0 = 1 y 1 = y 0 + hf(x 0 ,y 0 ) = y 0 + h(y 0 + x 0 ) = 1 + 0.1 = 1.1
y 2 = y 1 + hf(x 1 ,y 1 ) = y 1 + h(y 1 + x 1 ) = 1.1 + 0.1(1.1 + 0.1) = 1.22
Przykład 2 Dane jest zagadnienie początkowe
d
d
y
=
f x y
(
,
)
=
2 y
×
+
x
, y 1
( ) 1
=
x
oraz metoda Heuna rzędu 2-go y i 1
+
=
y i
+
h
2
×
(
f i f x i 1
+
(
+
,
y i h f i
+
×
)
)
, i = 0,1, ....
y 0 1
= , f i f x i y i
=
( )
,
Obliczyć y 1 , gdy krok całkowania h = 0.2.
x 0 = 1, x 1 = x 0 + h = 1.2,
y 0 = 1, f 0 = f(x 0 ,y 0 ) = f(1,1) = 3
y 1 = y 0 + 0.1 ( f 0 + f(x 1 ,y 0 + 0.2f 0 ) ) = 1 + 0.1(3 + f(1.2,1.6)) = 1 + 0.1(3+ 3.2 + 1.2) = 1.74
Przykład 3 Napisać kilka pierwszych wyrazów rozwinięcia w szereg potęgowy
rozwiązania y = y(x) zagadnienia początkowego
d
d
y
=
f x y
( )
,
=
x 2
+
y 2
, y 0
( ) 1
=
x
Rozwinięcie to ma postać
y a 0 a 1 x
=
+
×
+
a 2 x 2
×
+
a 3 x 3
×
+
........
(*)
y
( )
k
( )
0
gdzie a 0 y 0
=
( )
,
a k
=
dla k = 1, 2, .....
k
!
Bezpośrednio z danych zadania wynika, Ŝe a 0 1
= , a 1 1
=
RóŜniczkując równanie róŜniczkowe obliczamy y '' = 2x + 2yy' , y ''' = 2 + 2 (y ' ) 2 + 2yy ''
Stąd a 2 1
= , a 3
=
8
6
Ostatecznie y 1 x
=
+
+
x 2
+
8
6
×
x 3
+
........
Uwaga . Rozwiązanie rozwaŜanego zagadnienia jest rozwijalne w szereg potęgowy (*) w pewnym
otoczeniu punktu x = 0. Sumy częściowe rozwinięcia (*) stanowią przybliŜenia rozwiązania w
przedziałach domkniętych tego otoczenia.
447150856.001.png 447150856.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin