ciagi - twierdzenia.doc

(290 KB) Pobierz

1. Pojęcie ciągu. Ciągi liczbowe.

Definicja 1.: Ciągiem nazywamy funkcję

, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$ lub jego skończony odcinek początkowy $\{1, 2, 3, ..., m\}$ .

W pierwszym przypadku ciąg nazywa się ciągiem nieskończonym, a w drugim ciągiem skończonym, dokładniej m-elementowym lub m-wyrazowym.

Definicja 2.: Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wyrazy są liczbami.

Ciąg liczbowy jest jednoznacznie określony przez podanie ogólnego wzoru, wyrażającego n-ty wyraz jako funkcję zmiennej n, lub przez podanie wzoru rekurencyjnego wyrażającego przez wyrazy wcześniejsze: $a_1,\, a_2,\, a_3,\, ...,\, a_{n-1}$ , musi być przy tym podany pierwszy wyraz. Nie każdy ciąg liczbowy można przedstawić tymi sposobami.

2. Ciągi ograniczone. Ciągi monotoniczne.

Definicja 3.: Ciągiem ograniczonym nazywamy ciąg liczbowy, którego zbiór wyrazów jest zbiorem ograniczonym.

Ciąg liczb rzeczywistych jest ciągiem ograniczonym z góry lub odpowiednio z dołu, gdy zbiór jego wyrazów jest ograniczony z góry (z dołu). Mamy zatem:

* ciąg jest ciągiem ograniczonym z góry $\Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_n\leq r$

* ciąg jest ciągiem ograniczonym z dołu $\Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_n\geq r$

* ciąg jest ciągiem ograniczonym $\Longleftrightarrow\,\,\bigvee_{r\in\mathbb{R}}\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, |a_n|\leq r$ .

Definicja 4.: Ciąg liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem monotonicznym, jeśli spełnia jeden z dwóch warunków:

(1) $\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_{n+1}\geq a_n$ lub

(2) $\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\,\, a_{n+1}\leq a_n$ .

Jeśli spełniony jest warunek (1), ciąg jest ciągiem niemalejącym, jeśli warunek (2) – ciąg jest ciągiem nierosnącym. Gdy warunek (1) lub (2) jest spełniony w mocniejszej postaci, z nierównością

ostrą zamiast słabej, ciąg nazywamy ciągiem rosnącym lub odpowiednio ciągiem malejącym. Ciąg, który jest malejący lub rosnący, nazywamy ciągiem ściśle monotonicznym.

3. Pojęcie granicy. Ciągi zbieżne i rozbieżne.

Definicja 5.: Liczbę g nazywamy granicą ciągu nieskończonego , jeśli dla każdej liczby dodatniej $\epsilon$ istnieje taka liczba k, że dla n>k zachodzi nierówność: $|a_n-g|<\epsilon$

Definicja 6.: Ciągiem zbieżnym (rozbieżnym) nazywamy ciąg, który posiada granicę (nie posiada granicy).

4. Twierdzenia dotyczące ciągów i ich granic.

Twierdzenie 1.: Jeśli ciąg posiada granicę, to tylko jedną.

Twierdzenie 2.: Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Twierdzenie 3.: Przy założeniu, że ciągi i są zbieżne zachodzą następujące wzory:

(1) $\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n+ \lim_{n \to \infty}b_n$

(2) $\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n- \lim_{n \to \infty}b_n$

(3) $\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n)= \lim_{n \to \infty}a_n \cdot \lim_{n \to \infty}b_n$

(4) $\lim_{n \to \infty}( \frac{a_n}{b_n})= \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n}$ , o ile $\lim_{n \to \infty}b_n \neq 0$ .

Wniosek z (3): $\lim_{n \to \infty}(-a_n)=- \lim_{n \to \infty}a_n$ .

Twierdzenie 4.: Jeżeli ciąg jest zbieżny i $\lim_{n \to \infty}b_n \neq 0$ , to $\lim_{n \to \infty}( \frac{1}{b_n})= \frac{1}{ \lim_{n \to \infty}b_n}$ .

Twierdzenie 5.: Jeżeli ciąg jest zbieżny to zachodzi: $\lim_{n \to \infty}|a_n|=| \lim_{n \to \infty}a_n|$ .

Twierdzenie 6. (twierdzenie o trzech ciągach): Jeśli $a_n \leq c_n \leq b_n$ i $\lim_{n \to \infty}a_n=g= \lim_{n \to \infty}b_n$ , to ciąg jest zbieżny, przy czym

$\lim_{n \to \infty}c_n= \lim_{n \to \infty}b_n= \lim_{n \to \infty}a_n$

Twierdzenie 7.: Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu nie wpływa na zbieżność tego ciągu ani na jego granicę.

Twierdzenie 8.: Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co ciąg dany (jeśli $\lim_{n \to \infty}a_n=g$ , to $\lim_{n \to \infty}a_{m_n}=g$ ).

Twierdzenie 9. (Bolzano-Weierstrassa): Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

Dowód: Niech wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału . Podzielmy ten przedział na na połowy. Wówczas co najmniej w jednej połówce zawarte jest nieskończenie wiele wyrazów naszego ciągu, bo w przeciwnym wypadku w całym przedziale byłoby tylko skończenie wiele wyrazów ciągu, co oczywiście jest niemożliwe. Niech więc będzie tą połową przedziału, która zawiera nieskończenie wiele liczb .
Podobnie robimy z przedziałem , wydzielamy jego połowę zawierającą nieskończenie wiele wyrazów ciągu .
Powtarzając to postępowanie w nieskończoność, w k-tym kroku wydzielamy przedział , zawierający również nieskończenie wiele wyrazów ciągu .
Każdy z utworzonych w ten sposób przedziałów (począwszy od drugiego) zawiera się w poprzednim, stanowiąc jego połowę. Ponadto długość k-tego przedziału, równa $b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}$ dąży do zera wraz ze wzrostem k.
Wiedząc, że jeśli granica dwóch ciągów jest zbieżna do zera, to są one zbieżne do wspólnej granicy, wnioskujemy, że i dążą do wspólnej granicy g. Podciąg $(x_{n_k})$ konstruujemy indukcyjnie. Jako $x_{n_1}$ bierzemy dowolny (np. pierwszy) wyraz ciągu zawarty w przedziale . Jako $x_{n_2}$ bierzemy dowolny z wyrazów ciągu następujących po $x_{n_1}$ i zawartych w przedziale itd... Ogólnie jako $x_{n_k}$ obieramy dowolny (np. pierwszy) z wyrazów następujący po wyrazach $x_{n_1},\, x_{n_2},\, ...,\, x_{n_{k-1}}$ zawartych w przedziale . Możliwość

takiego wyboru przebiegającego kolejno, zawdzięczamy temu, że każdy z przedziałów zawiera nieskończenie wiele liczb . Ponieważ $a_k\leq x_{n_k}\leq b_k$ i $\lim_{k\to\infty} a_k=\lim_{k\to\infty} b_k=c$ , z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że $\lim_{k \to\infty}x_{n_k}=c$ , Q.E.D.

Twierdzenie 10.: Jeśli ciąg jest ograniczony i jeśli wszystkie jego podciągi zbieżne są zbieżne do tej samej granicy g, to również ciąg jest zbieżny do granicy g.

Twierdzenie 11. (warunek Cauchy'ego): Na to, by ciąg był zbieżny, potrzeba i wystarcza aby dla każdego $\epsilon>0$ istniała taka liczba r, że dla n>r zachodzi nierówność $|a_n-a_r|<\epsilon$

Twierdzenie 12.: Ciąg rosnący nieograniczony z góry jest rozbieżny do $\infty$ .

Twierdzenie 13.: Jeśli $\lim_{n \to \infty}a_n= \pm \infty$ , to $\lim_{n \to \infty}( \frac{1}{a_n})=0$ .

Twierdzenie 14.: Jeśli $\lim_{n \to \infty}a_n= \infty$ , zaś ciąg jest ograniczony z dołu, to $\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)= \infty$ .

Twierdzenie 15.: Jeśli $\lim_{n \to \infty}a_n= \infty$ oraz stale $b_n \geq c$ , przy czym , to $\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\infty$ .

Twierdzenie 16.: Jeśli $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ oraz $a_n\leq b_n$ , to $\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$ .

Twierdzenie 17.: Jeśli , to $\lim_{n\to\infty}a^n=0$ .

Twierdzenie 18.: Jeśli , to $\lim_{n \to \infty}a^n= \infty$ .

Twierdzenie 19.: Jeśli , to $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$ .

Twierdzenie 20.: Jeśli i jeśli jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do 0, to $\lim_{n\to\infty}a^{r_n}=1$ .

Twierdzenie 21. (Stolza): Niech $b_n\rightarrow +\infty$ , przy czym - choćby poczynając od pewnego miejsca - rośnie wraz z n, tj. $b_{n+1}>b_n$ . Wówczas

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}} \right)$

jeśli tylko istnieje granica po prawej stronie

(skończona lub nieskończona).

Twierdzenie 22.
Ciąg nieograniczony z góry (z dołu) zawiera podciąg rozbieżny do $+\infty\; (-\infty)$
Wniosek: (wraz z tw. B-W)
Każdy ciąg nieskończony zawiera podciąg mający granicę (skończoną lub nie).

Twierdzenie 23.
Jeśli $\lim_{n\to \infty} a_n=g$ , to $\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n}{n}=g$
Dowód: np. z tw. Stolza.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Wniosek z tw. 23:
Jeśli $\lim_{n\to \infty}(b_n-b_{n-1})=b$ , to $\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n}=b$
(wystarczy przyjąć $b_1=a_1, \; b_n-b_{n-1}=a_n$ )

Twierdzenie 24.
Jeśli $\forall{n\in\mathbb{N}}\; a_n>0$ oraz $\lim_{n\to \infty} a_n=g$ , to $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=g$
Dowód z wykorzystaniem poprzedniego twierdzenia i ciągłości funkcji logarytmicznej i wykładniczej:
Przyjmijmy
$b_n=\ln a_n, \; \lim_{n\to\infty}b_n=\ln g$
wtedy:
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=\lim_{n\to\infty}e^\frac{\ln (a_1a_2\cdots a_n)}{n}=e^{\ln g}=g$

gdyż
$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln (a_1a_2\cdots a_n)}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln a_1+\ln a_2+...+\ln a_n}{n}=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}=\lim_{n\to\infty}b_n=\ln g$

Wniosek z tw.:

Jeżeli $\lim_{n\to \infty} \frac{b_n}{b_{n-1}}=g$ , to $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=g$
(przyjmujemy $b_1=a_1,\; \frac{b_n}{b_{n-1}}=a_n$ )

I nierówność z tym związana: (założenie: )
$\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$

Twierdzenie 25.
Jeśli $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1$ lub $\limsup_{n\to\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}<1$ , to $\lim_{n\to \infty}a_n=0$
(wykorzystanie kryteriów zbieżności szeregów).