Geometria - test.pdf

(99 KB) Pobierz
Microsoft Word - geometria.doc
1. Wyznaczyć współrzędne wektora
→
= A X w przestrzeni
R , wiedząc, że
A
(
3 −
1
,
4
)
, zaś
B
( )
5
, a
następnie zapisać wektor X jako kombinację liniową wektorów bazy kanonicznej tej przestrzeni.
2. Obliczyć kosinusy kierunkowe wektorów:
a) [ ] T
X
=
3,
,
2
, b) [ ]
Y =213
,, T , c) [ ]
Z = 411
,,
T
.
3. Obliczyć kosinus kąta między wektorami:
a) X =[2,-1,0] T , Y =[-3,0,1] T ,
b) X =[1,1,1] T , Y =[-1,0,3] T ,
4. Które z podanych par wektorów są kolinearne?
a) [ ] [ ] T
X
−= Y
2
,
4
T
,
=
−
3
,
6
,
b) [ ] [ ] T
X
= Y
2
,
3
,
1
T
,
=
4
,
−
6
,
2
,
5. Które z podanych trójek wektorów są komplanarne?
a) [ ] [ ] [ ] T
X
=
2
,
−
1
,
3
T
,
Y
=
3
,
1
,
1
T
,
Z
=
4
,
3
,
−
1
,
b) [ ] [ ] [ ] T
X
=
2
,
1
,
1
T
,
Y
=
−
1
,
2
,
1
T
,
Z
=
1
,
1
,
−
2
,
c) [ ] [ ] [ ] T
X
=
2
,
−
2
,
3
T
,
Y
=
1
,
4
,
1
T
,
Z
=
3
,
2
,
4
.
6. Znaleźć współrzędne wektora
w = , gdy [ ] [ ] T
b
a
=
2
,
−
1
3
T
,
b
=
1
,
1
,
−
2
.
7. Obliczyć iloczyn mieszany wektorów Z
X ,
,
, a astępnie zinterpretować otrzymane wyniki.
a) [ ] [ ] [ ] T
X
=
1
,
−
1
,
1
T
,
Y
=
2
,
−
2
,
2
T
,
Z
=
−
3
,
3
,
−
3
,
b) [ ] [ ] [ ] T
X
=
2
,
1
,
3
T
,
Y
=
1
,
−
2
,
1
T
,
Z
=
3
,
−
1
,
4
,
c) [ ] [ ] [ ] T
X
=
3
,
−
1
,
2
T
,
Y
=
4
,
1
,
1
T
,
Z
=
−
1
,
2
,
−
2
.
8. Obliczyć objętość czworościanu ABCD, gdy:
a) A(0,0,0), B(-1,-2,1), C(-2,2,2), D(3,3,3),
b) A(1,-1,1), B(0,2,3), C(12,6,-1), D(2,3,4),
9. Znaleźć równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt
P
0
( 3
2
,−
1
,
, do której równoległe są
u .
10. Znaleźć równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt ( 1
=
1
,
−
2
,
1
T
i
v
=
3
,
0
,
2
, P i prostopadłej do wektora
0
3
2
,
n
=
[ ] T
4,
3
.
11. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:
a) ( ) ( ) ( )
P
1
2
,
−
1
,
1
,
P
2
1
,
−
3
,
2
,
P
3
1
,
0
,
4
,
b)
P
1
( ) ( ) ( )
,
1
−
,
1
,
P
2
3
,
0
,
2
,
P
3
1
,
−
1
,
0
.
12. Napisać równanie płaszczyzny zawierającej dane dwie proste:
x
=
2
−
t
x
=
1
+
2
s
k
:
y
=
−
1
+
2
t
l
:
y
=
3
−
4
s
z
=
1
+
t
z
=
−
2
−
2
s
,
1,
,−
,
wektory [ ] [ ] T
,−
2
13. Znaleźć odległość punktu
P
0
( )
3
,−
3
,
2
od płaszczyzny danej równaniem
x
+ z
2
y
−
2
+
3
=
0
.
x
=
2
−
t
14. Znaleźć odległość punktu P od prostej l : ( )
P
2
,
3
,
−
1
,
l
:
y
=
−
1
+
2
t
z
=
1
+
t
15. Zapisać równaniem odcinkowym płaszczyzny dane równaniami:
a)
2
x
− z
y
+
3
−
5
=
0
,
b)
x
+ z
2
y
−
2
+
3
=
0
.
16. Zbadać jak płaszczyzna
π
2
x
+ z
4
y
−
6
+
5
=
0
położona jest względem płaszczyzn:
π
1
:
3
x
− z
y
+
2
−
11
=
0
,
π
2
:
3
x
+
6
y
−
9
z
+
7
,
5
=
0
,
π
3
:
4
x
+ z
8
y
−
12
+
11
=
0
.
17. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt P i równoległej do wektora u , gdy:
a)
P
(
1
,
3
,
− u
2
)
=
[
0
,
−
3
,
5
]
T
;
b)
P
(
− u
2
,
0
,
5
)
=
[
2
,
−
2
,
3
]
T
.
18. Napisać równania 1) parametryczne, 2) kierunkowe, prostej przechodzącej przez punkty
a)
A
(
0 B
,
0
,
0
)
(
1
,
2
,
3
)
;
b)
A
(
3
,
− B
2
,
0
)
(
1
,
1
,
−
3
)
c)
A
(
5
,
5
,
− B
1
)
(
2
,
−
3
,
1
)
.
19. Zbadać, czy układ równań
2
x
+
3
y
−
z
+
7
=
0
przedstawia prostą. Jeżeli tak - zapisać ją równaniami
x
−
2
y
+
4
z
−
3
=
0
parametrycznymi.
20. Wyznaczyć wektory kierunkowe prostych:
a)
2
x
−
y
+
3
z
−
6
=
0
, b)
x
+
3
y
−
2
z
+
4
=
0
,
x
+
7
y
−
5
z
+
11
=
0
2
x
−
y
+
z
−
1
=
0
21. Zbadać jak prosta k jest położona względem prostych
l i
,
i
=
1
,
2
,
3
.
x
=
1
−
t
x
=
2
s
x
=
−
1
+
3
s
x
=
2
+
2
s
k
:
y
=
2
+
3
t
l
1
:
y
=
3
−
6
s
l
2
:
y
=
8
−
9
s
l
3
:
y
=
3
+
s
z
=
1
−
2
t
z
=
−
1
+
4
s
z
=
3
+
6
s
z
=
1
+
s
22. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M i prostą l :
x
=
2
+
t
x
+
3
y
−
2
z
+
4
=
0
a) ( )
M
2
,
−
2
,
1
,
l
:
y
=
1
−
t
, b) ( )
M
1
,
1
,
−
2
,
l
:
.
1
1
2
2
2
x
−
y
+
z
−
1
=
0
z
=
−
2
−
t
23. Znaleźć tę płaszczyznę, należącą do pęku płaszczyzn o krawędzi
l :
2
x
−
y
+
3
z
−
1
=
0
,która jest prostopadła do płaszczyzny
π
3
x
+ z
4
y
−
5
+
11
=
0
.
x
−
3
y
−
2
z
+
4
=
0
x
=
3
t
x
=
2
+
s
24. Wyznaczyć odległość prostej
k
:
y
=
1
−
t
od prostej
l
:
y
=
−
2
−
s
skośnej względem k .
z
=
2
−
t
z
=
1
+
2
s

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin