MATAA.RTF

CAŁKI NIEOZNACZONE:

np.:òx5dx=

np.:ò(1-2x2+3ex)=òdx-2òx2dx+3òexdx=

=x-+3ex+c

Metody liczenia:

a)     metoda przez części – jeśli potrafimy określić pochodne wyrażeń – podstawiamy do wzoru: uv-òvu’, np.:

b)     metoda podstawiania – jeżeli nie można skorzystać z powyższej metody – wyrażenie spod nawiasu, z mianownika, z wykładnika potęgi podstawiamy za t liczymy pochodną i podstawiamy za dt, np.:

następnie podstawiamy do wyrażenia pierwotnego i wyliczamy:

CAŁKA OZNACZONA:

+

+

-–

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI:

              np.:

              y=2x3-3x2                            D=R                                                  0                             1

              y’=6x2-6x

              y’>0 <=> 6x2-6x>0     |:6

                            x2-x>0

                            x(x-1)>0

                            x=0 4  x-1=0

                                                  x=1                                         

y’=>0 <=> x Î (-∞;0) U (0;+∞) to fm w każdym przedziale,

y’<0 <=> x Î (0;1) to fo

EKSTREMUM FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH:

1)

2) to ekstremum funkcji istnieje

     to funkcja osiąga minimum             

     to funkcja osiąga maximum

np.:

f(x,y)=3xy- x 3-y3

f’x =3y-3x2

f’y=3x- 3y2

f”xx=-6x

f”yy=-6y

f”xy=3

f”yx=3

Z pochodnych f’x i f’y tworzymy układ równań:                           

Dla A=(0,0)

[f”xy(0,0)]2 – f”xx(0,0) f”yy(0,0)=32-0*0=9

Dla B=(1,1)

[f”xy(1,1)]2 – f”xx(1,1) f”yy(1,1)=32-(-36)*(-36)=-27

f”xx(1,1) = -6<0

f”yy(1,1) = -6<0

fmax(1,1)= 3xy- x 3-y3=3-1-1=1