MS-przyk1.pdf

(193 KB) Pobierz
MS-przyk1
METODA SIŁ – przykład 1 – obciążenie siłami 26.03.09
ROZWIĄZANIE RAMY PŁASKIEJ METODĄ SIŁ I OBLICZENIE PRZEMIESZCZEŃ
1 DANE WYJŚCIOWE
Dana jest rama jak na rysunku.
Rozwiązać ją metodą sił, sporządzić
wykresy sił przekrojowych i dokonać
kontroli rozwiązania oraz obliczyć
zaznaczone przemieszczenia.
M=15, 00 kNm
i
P=20,00kN
k 1
=
EI
1.3889EI
2
m
EI
j
k
=
0
.
5
2,00 m
2,00m 2,00 m
2,00 m
2,00 m
Uwaga dotycząca oznaczeń.
Aby uniknąć niejednoznaczności
oznaczeń wszystkie przemieszczenia obliczane w statycznie wyznaczalnym układzie podstawowym i
dotyczące tylko układu podstawowego oznaczać będziemy małym symbolem d a przemieszczenia
obliczane w statycznie niewyznaczalnym układzie danym lub obliczane w układzie podstawowym a
dotyczące układu danego oznaczać będziemy dużym symbolem
1
m
3
. Siły przekrojowe i reakcje
wyzn ac zane w układzie podstawowym oznaczać będziemy odpowiednim symbolem z nadkreśleniem
(np. M ) a w układzie danym oznaczać będziemy odpowiednim symbolem bez nadkreślenia (np. M ).
2 WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
Aby skorzystać z wzoru
D
= 3 przekształcamy układ dany w zbiór tarcz „sztywnych”
otwartych przez usunięcie więzi podporowych, dokonanie przecięć wszędzie tam gdzie połączenie nie
jest pełne oraz „otwarcie” tarcz zamkniętych.
W rozpatrywanym przykładzie wystarczy
usunięcie więzi podporowych, co ilustruje rysunek
poniżej. Na rysunku tym w nawiasach podano liczby
usuniętych więzi, których suma jest liczbą więzi e w
przytoczonym wzorze.
3 UKŁAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJĄCY MU UKŁAD RÓWNAŃ
3.1 UKŁAD PODSTAWOWY
Układ podstawowy tworzymy z układu
danego przez zastąpienie n więzi
niewiadomymi siłami w taki sposób by
powstały układ był geometrycznie
niezmienny.
Uwaga: Liniami przerywanymi wyróżniono
włókna do znakowania momentów
zginających w prętach i w więzi sprężystej
rotacyjnej.
e
-
×
t
(e=3)
t
=
1
e
=
3
+
2
=
5
(e=2)
n
=
5
-
3
×
1
=
2
M=15,00 kNm
P=20,00kN
X 1
X 2
1.3889 EI
x
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
y
3.2 POSTAĆ OGÓLNA UKŁADU RÓWNAŃ
d
11
×
X
1
+
d
12
×
X
2
+
d
1
F
=
D
1
rz
=
0
,
0
d
21
×
X
1
+
d
22
×
X
2
+
d
2
F
=
D
2
rz
=
.
4 ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO
4.1 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD DANEGO OBCIĄŻENIA
F = (M, P, q)
Uwaga: Wszystkie wielkości
wyznaczane w tym punkcie wyróżniamy
nadkreśleniem i indeksem górnym F. Dla
skrócenia zapisu w obliczeniach
pominiemy te wyróżniki stosując pełne
symbole tylko w oznaczeniach wielkości,
z których korzystać będziemy w
dalszych obliczeniach.
M=15,00 kNm
P=20,00kN
x
V B
H A
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
V A
y
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
n h
134775094.051.png 134775094.062.png 134775094.073.png 134775094.082.png 134775094.001.png 134775094.002.png 134775094.003.png 134775094.004.png 134775094.005.png 134775094.006.png 134775094.007.png 134775094.008.png 134775094.009.png 134775094.010.png 134775094.011.png 134775094.012.png 134775094.013.png 134775094.014.png 134775094.015.png 134775094.016.png
METODA SIŁ – przykład 1 – obciążenie siłami 26.03.09
4.1.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
∑
M
A
=
-
V
B
×
10
m
+
P
×
6
m
+
M
+
q
×
3
m
×
3
m
/
2
=
0
⇒
-
V B
×
10
m
+
20
kN
×
6
m
+
15
kNm
+
5
kN
/
m
×
3
m
×
3
m
/
2
=
0
⇒
V
B
=
V
F
B
=
15
.
75
kN
,
∑
Y
=
-
V
A
-
V
B
+
P
=
0
⇒
-
V A
-
15
.
75
kN
+
20
kN
=
0
⇒
V
A
=
V
F
A
=
4
.
25
kN
,
∑
X
=
H
A
+
q
×
3 m
=
0
⇒
H A
+
5
kN
/
m
×
3
m
=
0
⇒
H
A
=
H
F
A
=
-
15
.
00
kN
.
∑
Kontrola
M
B
=
-
H
A
×
3
m
+
V
A
×
10
m
-
P
×
4
m
+
M
-
q
×
3
m
×
3
m
/
2
=
kNm
4.1.2 OBLICZENIE WARTOŚCI RZĘDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIŁ
PRZEKROJOWYCH
0
=
(
15
×
3
+
4
.
25
×
10
-
20
×
4
+
15
-
5
×
3
×
3
/
2
)
=
0
M
A
=
,
M
E
=
V
A
×
2
m
-
H
A
×
1
m
-
q
×
1
m
×
1
m
/
2
=
=
4
.
25
kN
×
2
m
+
15
kN
×
1
.
m
-
5
kN
/
m
×
1
.
m
×
1
.
m
/
2
=
25
.
375
kNm
,
M
CA
=
V
A
×
4
m
-
H
A
×
3
m
-
q
×
3
m
×
3
m
/
2
=
4
.
25
×
4
m
+
15
kN
×
3
m
-
5
kN
/
m
×
3
m
×
3
m
/
2
=
39
.
50
kNm
,
M
CD
=
M
CA
+
M
=
39
.
kNm
+
15
kNm
=
54
.
50
kNm
,
M
D
=
V
B
×
4
m
=
15
.
75
kN
×
4
m
=
63
.
00
kNm
,
M
B
=
0
,
V
AC
=
V
A
×
cos
a
-
H
A
×
sin
a
=
(
4
.
25
×
0
.
+
15
×
0
.
)
kN
=
12
.
40
kN
,
N
AC
=
-
V
A
×
sin
a
-
H
A
×
cos
a
=
(
-
4
.
25
×
0
.
+
15
×
0
.
)
kN
=
9
.
45
kN
,
V
CA
=
V
A
×
cos
a
-
H
A
×
sin
a
-
q
×
3
m
×
sin
a
=
(
4
.
25
×
0
.
+
15
×
0
.
-
5
×
3
×
0
.
)
kN
=
3
.
40
kN
,
N
CA
=
-
V
A
×
sin
a
-
H
A
×
cos
a
-
q
×
3
m
×
cos
a
=
(
-
4
.
25
×
0
.
+
15
×
0
.
-
5
×
3
×
0
.
)
kN
=
-
2
.
55
kN
,
N .
Rzędne środkowe momentów zginających dla przedziału CD i DB, wykorzystując ich
prostoliniowy charakter, obliczono jako średnie arytmetyczne z wartości brzegowych.
(
CD
=
P
-
V
B
=
20
kN
-
15
.
75
kN
=
4
.
25
kN
,
V
DB
=
-
V
B
=
-
15
.
75
kN
,
CB
=
0
M
s
CD
=
M
CD
+
M
D
)
/
2
=
(
54
.
+
63
)
/
2
×
kNm
=
58
.
75
kNm
,
M
s
DB
=
(
M
D
+
M
B
)
/
2
=
(
63
+
0
)
/
2
×
kNm
=
31
.
50
kNm
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S
F
=
-
V
=
-
4
25
kN
.
1
A
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S
F
=
M
=
39
.
50
kNm
.
2
CA
4.1.3 WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH
+
+
M F
+
-
-
+
+
N F
V F
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
V
,
,
2
134775094.017.png 134775094.018.png 134775094.019.png 134775094.020.png 134775094.021.png 134775094.022.png 134775094.023.png 134775094.024.png 134775094.025.png 134775094.026.png 134775094.027.png
METODA SIŁ – przykład 1 – obciążenie siłami 26.03.09
4.2 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA X 1 = 1
Uwaga: Wszystkie wielkości
wyznaczane w tym punkcie wyróżniamy
nadkreśleniem i indeksem górnym 1. Dla
skrócenia zapisu w obliczeniach
pominiemy te wyróżniki stosując pełne
symbole tylko w oznaczeniach
wielkości, z których korzystać będziemy
w dalszych obliczeniach.
X 1
x
V B
H A
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
y
V A
4.2.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
∑
M
=
-
V
×
10 m
+
1
=
0
⇒
V
=
V
1
=
0
.
10
/
m
,
A
B
B
B
∑
Y
=
-
V
A V
-
=
0
⇒
V
=
V
1
=
-
0
.
10
/
m
,
B
A
A
∑
X
=
H
=
0
⇒
H
A H
=
1
=
0
.
A
A
B
4.2.2 OBLICZENIE WARTOŚCI RZĘDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIŁ
PRZEKROJOWYCH
0
Kontrola
∑
M
=
-
H
A
×
3
m
+
V
A
×
10
m
+
X
1
=
-
0
×
3
-
0
×
10
+
1
=
0
M
A
=
,
M
C
=
V
A
×
4
m
-
H
A
×
3
m
=
-
0
.
40
,
M
D
=
V
B
×
4
m
-
1
=
-
0
60
,
M
B
=
-
1
,
V
AC
=
V
A
×
cos
a
-
H
A
×
sin
a
=
-
0
.
08
/
m
,
N
AC
=
-
V
A
×
sin
a
-
H
A
×
cos
a
=
0
.
06
/
m
,
V
CB
=
-
V
B
=
-
0
.
10
/
m
,
N
CB
=
0
.
M
E
=
M
s
,
AC
=
(
M
A
+
M
C
)
/
2
=
(
0
-
0
.
)
/
2
=
-
0
.
20
,
M
s
,
CD
=
(
M
C
+
M
D
)
/
2
=
(
-
0
.
-
0
.
)
/
2
=
-
0
.
50
,
M
s
,
DB
=
(
M
D
+
M
B
)
/
2
=
(
-
0
.
-
1
)
/
2
=
-
.
80
.
M
s
,
CB
=
(
M
C
+
M
B
)
/
2
=
(
-
0
.
-
1
)
/
2
=
-
0
.
70
.
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S
1
1
=
-
V
A
=
0
10
/
m
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S
1
2
=
M
C
=
-
0
.
40
.
4.2.3 WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH
-
-
M 1
-
+
-
N 1
V 1
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
0
134775094.028.png 134775094.029.png 134775094.030.png 134775094.031.png 134775094.032.png 134775094.033.png 134775094.034.png 134775094.035.png 134775094.036.png 134775094.037.png 134775094.038.png 134775094.039.png 134775094.040.png 134775094.041.png 134775094.042.png 134775094.043.png 134775094.044.png 134775094.045.png 134775094.046.png 134775094.047.png 134775094.048.png 134775094.049.png 134775094.050.png 134775094.052.png
METODA SIŁ – przykład 1 – obciążenie siłami 26.03.09
4.3 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA X 2 = 1.
Uwaga: Wszystkie wielkości wyznaczane
w tym punkcie wyróżniamy
nadkreśleniem i indeksem górnym 2. Dla
skrócenia zapisu w obliczeniach
pominiemy te wyróżniki stosując pełne
symbole tylko w oznaczeniach wielkości,
z których korzystać będziemy w dalszych
obliczeniach.
X 2
x
V B
H A
2,00m
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
y
V A
4.3.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR.
∑
M
=
-
V
×
10
m
+
1
×
3
m
=
0
⇒
V
B V
=
2
=
0
30
,
A
B
B
∑
Y
=
-
V
A V
-
=
0
⇒
V
A V
=
2
=
-
0
30
,
B
A
∑
X
=
H
+
1
=
0
⇒
H
A H
=
2
=
-
1
.
A
A
Kontrola
∑
M
B
=
-
H
A
×
3
m
+
V
A
×
10
m
=
(
-
(
-
1
×
3
+
(
-
0
×
10
)
m
=
0
.
4.3.2 OBLICZENIE WARTOŚCI RZĘDNYCH CHARAKTERYSTYCZNYCH SIŁ
PRZEKROJOWYCH
0
M
A
=
,
M
C
=
V
A
×
4
m
-
H
A
×
3
m
=
1
.
80
m
,
M
D
=
V
B
×
4
m
=
1
20
m
,
M
B
=
0
,
V
AC
=
V
A
×
cos
a
-
H
A
×
sin
a
=
0
.
36
,
N
AC
=
-
V
A
×
sin
a
-
H
A
×
cos
a
=
0
.
98
,
V
CB
=
-
V
B
=
-
0
.
30
,
N
CB
=
1
.
M
E
=
M
s
,
AC
=
(
M
A
+
M
C
)
/
2
=
(
0
+
1
.
)
/
2
×
m
=
0
.
90
m
,
M
s
,
CD
=
(
M
C
+
M
D
)
/
2
=
(
1
.
+
1
.
)
/
2
×
m
=
1
.
50
m
,
M
s
,
DB
=
(
M
D
+
M
B
)
/
2
=
(
1
.
+
0
)
/
2
×
m
=
0
.
60
m
,
M
s
,
CB
=
(
M
C
+
M
B
)
/
2
=
(
1
.
+
0
)
/
2
×
m
=
0
.
90
m
.
Siła podłużna w więzi sprężystej nr 1:
S
2
1
=
-
V
A
=
0
30
Moment zginający w więzi sprężystej nr 2:
S
2
2
=
M
C
=
1
.
80
m
4.3.3 WYKRESY SIŁ PRZEKROJOWYCH
M 2
N 2
V 2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
4
134775094.053.png 134775094.054.png 134775094.055.png 134775094.056.png 134775094.057.png 134775094.058.png 134775094.059.png 134775094.060.png 134775094.061.png 134775094.063.png 134775094.064.png 134775094.065.png 134775094.066.png 134775094.067.png 134775094.068.png 134775094.069.png 134775094.070.png 134775094.071.png 134775094.072.png 134775094.074.png 134775094.075.png 134775094.076.png
METODA SIŁ – przykład 1 – obciążenie siłami 26.03.09
5 OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW I ROZWIĄZANIE UKŁAD RÓWNAŃ
5.1 OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW UKŁADU RÓWNAŃ
Współczynniki układu równań o bli c zamy wykorzystując wzory
M
i
×
M
j
S
i
s
×
S
j
s
M
i
×
M
F
S
i
s
×
S
F
s
∑
∑
d
=
∫
dx
+
,
d
=
∫
dx
+
,
ij
EI
k
iF
EI
k
s
s
Do obliczenia całek w powyższych wzorach zastosowano wzór Simpsona lub Mohra. Ze względu na
charakter wykresów momentów zginających całki w powyższych wzorach przedstawiono w postaci
sum 3 lub 2 całek odpowiadających przedziałom całkowania, w których funkcje podcałkowe spełniają
założenia umożliwiające zastosowanie odpowiedniego wzoru.
M
1
×
M
1
1
1
S
1
1
×
S
1
1
S
1
2
×
S
1
2
d
=
∫
dx
=
∫
M
1
×
M
1
×
dx
+
∫
M
1
×
M
1
×
dx
+
+
=
11
EI
EI
EI
k
k
AC
CB
1
2
AC
CB
=
1
×
-
0
.
×
5
m
×
2
×
(
-
0
.
)
+
1
×
6
m
×
(
(
-
0
.
)
×
(
-
0
.
)
+
4
×
(
-
0
.
)
×
(
-
0
.
)
+
(
-
1
×
(
-
1
) +
EI
2
3
1
.
3889
EI
6
+
0
.
/
m
×
0
.
/
m
+
(
-
0
.
)
×
(
-
0
.
)
=
2
.
693049
m
0
.
EI
/
m
3
E I
/
m
EI
M
1
×
M
2
1
1
S
1
1
×
S
2
1
S
1
2
×
S
2
2
d
=
d
=
∫
dx
=
∫
M
1
×
M
2
×
dx
+
∫
M
1
×
M
2
×
dx
+
+
=
12
21
EI
EI
EI
k
k
AC
CB
1
2
AC
CB
=
1
×
-
0
.
×
5
m
×
2
×
1
.
m
+
1
×
6
×
(
-
0
.
×
1
.
+
4
×
(
-
0
.
)
×
0
.
+
(
-
1
×
0
)
m
2
+
EI
2
3
1
.
3889
×
EI
6
0
.
/
m
×
0
.
(
-
0
.
)
×
1
.
m
m
2
+
+
=
-
4
.
192781
0
.
EI
/
m
3
E I
/
m
EI
M
2
×
M
2
1
1
S
2
1
×
S
2
1
S
2
2
×
S
2
2
d
=
∫
dx
=
∫
M
2
×
M
2
×
dx
+
∫
M
2
×
M
2
×
dx
+
+
=
22
EI
EI
EI
k
k
AC
CB
1
2
AC
CB
1
1
.
m
×
5
m
2
1
1
.
m
×
6
m
2
0
.
×
0
.
1
.
×
1
.
m
m
3
=
×
×
×
1
.
m
+
×
×
×
1
.
m
+
+
=
13
.
485563
EI
2
3
1
.
3889
×
EI
2
3
0
.
EI
/
m
3
EI
/
m
EI
M
1
×
M
F
1
1
1
d
=
∫
dx
=
∫
M
1
×
M
F
×
dx
+
∫
M
1
×
M
F
×
dx
+
∫
M
1
×
M
F
×
dx
+
1
F
EI
EI
EI
EI
AC
CD
DB
AC
CD
DB
S
1
1
×
S
F
S
1
2
×
S
F
1
5
m
+
1
+
2
=
×
×
(
0
×
0
+
4
×
(
-
0
)
×
25
.
375
kNm
+
(
-
0
)
×
39
.
kNm
) +
k
k
EI
6
1
2
+
1
×
2
×
(
-
0
.
×
54
.
+
4
×
(
-
0
×
58
.
75
+
(
-
0
)
×
63
)
kNm
2
+
1
.
3889
×
EI
6
+
1
×
4
×
(
-
0
×
63
+
4
×
(
-
0
×
31
.
+
(
-
1
×
0
)
kNm
2
+
0
/
m
×
(
-
4
25
)
kN
+
(
-
0
)
×
39
.
kNm
=
1
.
3889
×
EI
6
0
.
EI
/
m
3
EI
/
m
=
-
155
.
764461
kNm 2
EI
M
2
×
M
F
1
1
1
d
=
∫
dx
=
∫
M
2
×
M
F
×
dx
+
∫
M
2
×
M
F
×
dx
+
∫
M
2
×
M
F
×
dx
=
2
F
EI
EI
EI
EI
AC
CD
DB
AC
CD
DB
S
2
1
×
S
F
S
2
2
×
S
F
1
5
m
+
1
+
2
=
×
×
(
0
×
0
+
4
×
0
m
×
25
.
375
kNm
+
1
m
×
39
.
kNm
) +
k
k
EI
6
1
2
+
1
×
2
×
(
1
×
54
.
+
4
×
1
×
58
.
75
+
1
×
63
)
kNm
3
+
1
.
3889
×
EI
6
1
1
×
4
2
0
×
(
-
4
25
)
kN
1
×
39
.
kNm
kNm
3
+
×
×
×
63
kNm
3
+
+
=
402
.
787409
1
.
3889
×
EI
2
3
0
.
EI
/
m
3
EI
/
m
EI
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
134775094.077.png 134775094.078.png 134775094.079.png 134775094.080.png 134775094.081.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin