13 GRANICA_CIAGLOSC_POCHODNA.doc

GRANICA, CIĄGŁOŚĆ, POCHODNA FUNKCJI

Należy powtórzyć:

·         obliczanie granicy funkcji;

·         określenie funkcji ciągłej, badanie ciągłości funkcji;

·         własności funkcji ciągłych w przedziale domkniętym;

·         określenie pochodnej funkcji w punkcie;

·         wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji;

·         wzory na pochodne poznanych funkcji;

·         pochodna funkcji złożonej;

·         równanie stycznej i kąt przecięcia się krzywych;

·         monotoniczność i ekstrema funkcji różniczkowalnej;

·         wartość największa i najmniejsza funkcji w przedziale domkniętym;

·         zagadnienie optymalizacji.

1. Oblicz granice:

.

2. Wykaż, że nie istnieją granice:

.

3. Wyznacz równania asymptot wykresów funkcji

.

4. Zbadaj ciągłość funkcji w x0:

.

5. Zbadaj ciągłość funkcji .

6. Dla jakich wartości parametru m funkcja f  jest ciągła w zbiorze R

?

7. Oblicz z definicji pochodną funkcji  f (x) = 2x2 – 3 w x0=2.

8. Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji  f(x)=x2 – 5 + 6 w punktach przecięcia wykresu f z osią OX.

9. Wyznacz równania stycznych do wykresu :

a)      równoległych do prostej y=2x

b)     prostopadłych do prostej y=2x

c)      przecinających oś OX pod kątem 45o.

10. Wyznacz kąt pod jakim przecinają się wykresy funkcji:

.

11. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

.

12. Naszkicuj wykres i podaj przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

.

13. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji  f (x)= 2x3 – 12x2  w przedziale .

14. Wykaż, że równanie ma w zbiorze liczb rzeczywistych trzy różne rozwiązania.

15. Jakie wymiary powinna mieć prostokątna serweta o powierzchni 100dm2, by na obszycie jej brzegów zużyć jak najmniej ozdobnej taśmy? Oblicz długość potrzebnej taśmy.

16. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji:

.