w której współczynnik przepuszczalności zależy wyłącznie od fizycznych własności ośrodka.
Zastępując iloraz prędkością filtracji V, na podstawie wzoru (11.22) możemy zapisać prawo Darcy’ego w postaci
(11.25)
w której został wprowadzony znak minus, uwzględniający przeciwny zwrot prędkości do zwrotu osi z - i następnie, po przejściu do granicy, w postaci różniczkowej:
(11.26)
Uogólniając ten wzór, w przestrzennym układzie współrzędnych prostokątnych możemy napisać
(11.27)
skąd wynika, że składowe prędkości filtracji można wyrazić za pomocą pochodnych cząstkowych funkcji zwanej potencjałem prędkości filtracji :
Na mocy równania ciągłości zagadnienie wyznaczania ruchu wód swobodnych w jednorodnym ośrodku porowatym (gruncie) sprowadza się więc do rozwiązania równania Laplace’a
(11.28)
z warunkami brzegowymi zależnymi od tego, czy powierzchnie ograniczające są przepuszczalne, nieprzepuszczalne, czy też są powierzchniami swobodnymi.
Na podstawie doświadczeń ustalono, że ruch cieczy w ośrodku porowatym podlega liniowemu prawu Darcy’ego w zakresie małych liczb Reynoldsa
(11.29)
gdzie d jest średnicą ziaren ośrodka porowatego.
ĆWICZENIA
Przykład 11.1. Dla obliczenia współczynnika oporu samochodu wyścigowego o długości l = 5 m i rozwijającego prędkość V = 220 wykonano model w skali 1:10 i zbadano w tunelu wodnym. Z jaką prędkością musi przepływać woda w tunelu, aby zachowane było pełne podobieństwo dynamiczne przepływu? Temperatura wody t = 20°C.
W temperaturze t = 20°C lepkości kinematyczne powietrza i wody są równe: , = 0.01; z równości liczb Reynoldsa
mamy
.
Przykład 11.2. Z jaką prędkością musi poruszać się model statku, aby zachowane było podobieństwo dynamiczne:
a) przy uwzględnieniu sił lepkości,
b) przy uwzględnieniu sił ciężkości.
Model jest wykonany w skali 1:10. Statek porusza się z prędkością = 36
a) z równości liczb Reynoldsa znajdujemy
skąd obliczamy
b) z równości liczb Froude’a
Przykład 11.3. Posługując się metodą analizy wymiarowej wyprowadzić zależność strat liniowych ciśnienia od średnicy przewodu d, jego długości l, własności fizycznych cieczy: gęstości r i współczynnika lepkości dynamicznej m, średniej prędkości przepływu w poprzecznym przekroju przewodu V oraz średniej chropowatości k.
Poszukiwaną zależność zapiszemy w postaci
(11.30)
W zależności (11.30) mamy wielkości, których wymiary zawierają jednostki podstawowe: L , M , T.
Zgodnie z twierdzeniem p (11.18) równanie (11.30) można przedstawić za pomocą wzoru zawierającego bezwymiarowych parametrów
(11.31)
W celu wyznaczenia parametrów obieramy trzy wielkości podstawowe, np.: które zawierają wszystkie jednostki podstawowe i są od siebie wymiarowo niezależne
Tworzymy cztery iloczyny bezwymiarowe:
Z porównania wykładników potęg przy jednostkach podstawowych wynikają na-stępujące układy równań:
a) obliczanie parametru p:
b) obliczanie parametru
c) obliczanie parametru
d) obliczanie parametru
Po rozwiązaniu tych układów równań otrzymujemy:
a)
b)
c)
d)
i następnie bezwymiarowe parametry podobieństwa:
które podstawiamy do równania (11.31) uzyskując związek
Ze związku tego, przy założeniu , wynika znany wzór Darcy’ego-Weisbacha (5.22).
Przykład 11.4. Stosując analizę wymiarową wyprowadzić ogólne równanie na ciśnienie, wywierane na ciało przez ciecz.
Ogólny wzór na ciśnienie można wyrazić następująco
(11.32)
gdzie l jest wymiarem charakterystycznym ciała poruszającego się z prędkością w cieczy o gęstości r i lepkości m, przy czym przyspieszenie grawitacyjne wynosi g, a napięcie powierzchniowe cieczy s.
Wybieramy bazę składającą się z wielkości: r , V, L :
i sprawdzamy ich liniową niezależność
Zgodnie z twierdzeniem Buckinghama liczba bezwymiarowych iloczynów wyniesie: q = 4. Tworzymy więc kombinacje ciśnienia p z wielkościami fizycznymi
i następnie równanie (11.32) zapisujemy w postaci
Po wyrażeniu wielkości fizycznych p, m , g i s w układzie M L T :
i wyznaczeniu wykładników potęgowych z odpowiednich układów równań (11.20) otrzymujemy następujące parametry podobieństwa:
- bezwymiarowe ciśnienie,
Przykładowo wykładniki potęgowe określające parametr podobieństwa p tworzą układ równań:
którego rozwiązaniem są wartości wykładników:
Dodatkowo otrzymaliśmy informację o strukturze wzoru wyrażającego ciśnienie: jest to iloczyn i bezwymiarowej funkcji p, jako współczynnika
Przykład 11.5. Anemometr czaszowy (rys. 11.21), wstawiony w strumień przepływającego powietrza, obraca się ze stałą prędkością kątową w. Pomijając opory tarcia oraz zakładając, że współczynnik siły nośnej dla czasz ustawionych wzdłuż kierunku przepływu jest równy zeru, wyznaczyć prędkość powietrza. Przyjąć promień wirnika równy R oraz współczynniki dla czaszy wklęsłej i kulistej równe: = = 1.33, = 0.34.
Rys. 11.21
Prędkość kątowa wirnika w = const, zatem suma momentów pochodząca od sił aerodynamicznych względem osi O ...
Lennon90