28. Interferencj.pdf

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 28

28. Interferencja

28.1 Doświadczenie Younga

Na wykładzie dotyczącym fal w ośrodkach sprężystych omawiane było nakładanie

się fal . Wykazanie, przez Thomasa Younga (w 1801 r.) istnienia takiej interferencji dla

światła było pierwszym eksperymentem wskazującym na falowy charakter światła .

Young oświetlił światłem słonecznym ekran, w którym był zrobiony mały otwór S 0 .

Przechodzące światło padało następnie na drugi ekran z dwoma otworami S 1 i S 2 i roz-

chodzą się dalej dwie, nakładające się fale kuliste tak jak na rysunku. Warunki stoso-

walności optyki geometrycznej nie są spełnione i na szczelinach następuje ugięcie fal.

Mamy do czynienia z optyką falową. Jeżeli umieścimy ekran w jakimkolwiek miejscu,

tak aby przecinał on nakładające się na siebie fale to możemy oczekiwać pojawienia się

na nim ciemnych i jasnych plam następujących po sobie kolejno.

S 1

S 0

S 2

Przeanalizujmy teraz doświadczenie Younga ilościowo.

Zakładamy, e światło padające zawiera tylko jedną długość fali (jest monochroma-

tyczne). Na rysunku poniżej punkt P jest dowolnym punktem na ekranie, odległym o r 1

i r 2 od wąskich szczelin S 1 i S 2 .

Linia S 2 b została poprowadzona tak, aby PS 2 = Pb . Trzeba zwrócić uwagę, że stosunek

d / D przedstawiony na rysunku jest dla większej jasności przesadnie duży. Naprawdę

d << D i wtedy kąt S 1 S 2 b jest równy θ z dużą dokładnością.

28-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

r 2

r 1

S 2

S 1

Oba promienie wychodzące ze szczelin S 1 i S 2 są zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego

samego czoła fali płaskiej. Jednak drogi, po których docierają do punktu P są różne

więc i ich fazy mogą być różne. Odcinki Pb i PS 2 są identyczne (tak to skonstruowali-

śmy) więc o różnicy faz decyduje różnica dróg optycznych tj. odcinek S 1 b . Aby w

punkcie P było maksimum to odcinek S 1 b musi zawierać całkowitą liczbę długości fal.

Jest tak dlatego, że po przebyciu odcinka równego λ faza fali powtarza się więc dla dro-

gi m λ fala ma fazę taką jak na początku tej drogi; odcinek S 1 b nie wpływa na różnicę

faz a ponieważ fale były zgodne w źródle (szczeliny S 1 i S 2 ) więc będą zgodne w fazie

w punkcie P . Warunek ten możemy zapisać w postaci

S 1 b = m λ, m = 0, 1, 2, ......,

lub

d sinθ = m λ, m = 0, 1, 2, ......, (maksima)

(28.1)

Zauważmy, że każdemu maksimum powyżej punktu O odpowiada położone symetrycz-

nie maksimum poniżej punktu O . Istnieje też centralne maksimum opisywane przez

m = 0.

Dla uzyskania minimum w punkcie P , odcinek S 1 b musi zawierać połówkową liczbę

długości fal, to jest:

S 1 b = ( m +1/2) λ, m = 0,1,2,....,

Lub

d sinθ = ( m +1/2) λ, m = 0, 1, 2, ......, (minima)

inaczej

d sinθ = (2 m +1)λ/2, m = 0, 1, 2, ......, (minima)

(28.2)

Przykład 1

28-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Dwie szczeliny odległe od siebie o 1 mm oświetlono światłem zielonym (linia zielona

lampy rtęciowej) o długości λ = 546 nm. Jaka jest odległość między sąsiednimi prąż-

kami interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odległości 1 m od

szczelin?

Najpierw sprawdźmy położenie kątowe np. pierwszego maksimum.

Dla m = 1 otrzymujemy: d sinθ = λ

skąd

sinθ = λ/ d = (546·10 -9 m)/(10 -3 m) = 0.000546

co daje

θ ≅ 0.03°

Dla tak małych kątów dobrym jest przybliżenie

sinθ ≅ tgθ ≅ θ

Z rysunku widać, że tgθ = y / D . Podstawiając to wyrażenie zamiast sinθ w równaniu na

maksimum interferencyjne otrzymujemy dla m -tego prążka

y m

a dla następnego

y m

(

Odległość między nimi wynosi więc

(

546

⋅

−

)

∆

−

546

−

Uwaga: Jeżeli θ jest małe to odległość między prążkami nie zależy od m , czyli prążki są

rozmieszczone równomiernie. Jeżeli mamy więcej niż jedną λ to powstaną oddzielne

układy prążków (dla każdej z długości fal) o różnym odstępie między prążkami.

Równanie opisujące położenie kątowe maksimów może posłużyć do wyznaczenia dłu-

gości fali

sin

d θ

Z tej relacji T. Young wyznaczył długości fal światła widzialnego.

28-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

28.2 Koherencja

Podstawowym warunkiem powstania dobrze określonego obrazu interferencyjnego

jest, aby fale świetlne które przybywają z punktów S 1 i S 2 miały dokładnie określoną

różnicę faz ϕ stałą w czasie . (Przypomnienie: faza jako określony stan fali w danym

miejscu i czasie, patrz równanie opisujące falę E = E m sin( kx- ω t )). Np. jest miejsce na

ekranie, dla którego różnica faz wynosi π co oznacza fizycznie, że fale docierające tam

wygaszają się (przy założeniu tej samej amplitudy); mamy ciemny prążek. I tak jest

zawsze o ile różnica faz się nie zmieni. Gdyby taka zmiana nastąpiła to w tym miejscu

natężenie światła nie będzie już równe zeru. Warunkiem stabilności obrazu jest więc

stałość w czasie różnicy faz fal wychodzących ze źródeł S 1 i S 2 . Mówimy, że te źródła

są koherentne czyli spójne .

Jeżeli szczeliny S 1 i S 2 zastąpimy przez dwa niezależne źródła fal (np. żarówki) to nie

otrzymamy prążków interferencyjnych, ekran będzie oświetlony prawie równomiernie.

Interpretujemy to w ten sposób, że różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych źró-

deł zmienia się w czasie w sposób nieuporządkowany.

W krótkim czasie są spełnione warunki dla maksimum, a za chwile (b. krótką np. 10 -8 s)

dla minimum, a jeszcze za chwilę warunki pośrednie. I tak dla każdego punktu na ekra-

nie. Natężenie (w danym punkcie) jest więc sumą natężeń od poszczególnych źródeł.

Mówimy, że te źródła są niespójne , niekoherentne .

Podsumujmy więc podstawową różnicę w opisie, podyktowaną oczywiście przez fakty

doświadczalne :

• dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy (uwzględniając stała różnicę faz),

a potem celem obliczenia natężenia podnosimy otrzymaną amplitudę wypadkową

do kwadratu (przypomnienie dla ruchu harmonicznego: Energia ∼ A 2 ).

• dla fal niespójnych najpierw podnosimy do kwadratu amplitudy, żeby otrzymać na-

tężenia poszczególnych fal a potem dopiero sumujemy te natężenia.

Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzyć światło spójne. Na tym etapie zapamiętajmy

tylko, że zwykłe źródła światła takie jak żarówki (żarzące się włókno) dają światło nie-

spójne dlatego, że emitujące atomy działają zupełnie niezależnie. Natomiast współcze-

śnie szeroko stosowanymi źródłami światła spójnego są lasery .

Szczegóły dotyczące emisji światła przez lasery jak i zasadę działania lasera poznamy

na dalszych wykładach.

28.3 Natężenie w doświadczeniu Younga

Załóżmy, że składowe pola elektrycznego obu fal w punkcie P zmieniają się następują-

E 1 = E 0 sinω t

E 2 = E 0 sin(ω t+ ϕ)

gdzie ω = 2π v jest częstością kołową fal, a ϕ różnicą faz między nimi.

• ϕ zależy od położenia punktu P a tym samym od kąta θ

• załóżmy natomiast, że E 0 nie zależy od θ (szczeliny są dostatecznie wąskie, tak że

światło ugięte na każdej ze szczelin oświetla środkową część ekranu równomiernie)

28-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wynika stąd, że wypadkowe pole elektryczne w punkcie P jest równe

E = E 1 + E 2

Uwaga: Mówimy o polu E , a nie polu B (fali EM) ponieważ działanie tego drugiego na

detektory światła (w tym oko ludzkie) jest znikome. Równanie powyższe powinno być

wektorowe ale w tych przypadkach wektory E są do siebie równoległe więc wystarczy

równanie algebraiczne.

Podstawiając równania dla obu fal obliczamy pole wypadkowe

E = E 0 sin(ω t+ ϕ) + E 0 sinω t = 2 E 0 cos(ϕ/2) sin(ω t+ ϕ/2)

Lub

E = E θ sin(ω t +β)

gdzie β = ϕ/2 oraz E θ = 2 E 0 cosβ

Teraz chcemy obliczyć natężenie fali wypadkowej

I θ ∼ E θ 2

Obliczmy stosunek natężeń dwu fal: fali wypadkowej i fali pojedynczej













czyli

cos

(28.3)

Natężenie zmienia się od zera (dla punktów, w których ϕ = 2β = π) do maksymalnego

(dla punktów, w których ϕ = 2β = 0).

Różnica faz wiąże się z różnicą dróg S 1 b poprzez prostą relację

różnica faz/2π = różnica dróg/λ

(28.4)

czyli

ϕ sin

Stąd

ϕ d

(

sin

)

lub

β sin

Poprzez to równanie mamy zależność natężenia od kąta θ.

Narysujmy teraz rozkład natężeń dla interferencji przy dwóch szczelinach (rysunek po-

niżej) porównując z wynikiem dla pojedynczego źródła jak i dla źródeł niespójnych.

28-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: