15. Fale w osrodkach sprezystych.pdf

(332 KB) Pobierz
Wyk³ad 15
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 15
15. Fale w ośrodkach sprężystych
15.1 Fale mechaniczne
Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy falami
mechanicznymi . Powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka z położe-
nia równowagi co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia.
Drgania te (dzięki właściwościom sprężystym ośrodka) są przekazywane na kolejne
części ośrodka. Sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drga-
nia w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty
pływające wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają się ruchem jednostaj-
nym. Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazu-
jąc mu energię. Można za pomocą fal przekazywać więc energię na duże odległości.
Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka.
Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki prze-
suwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii .
Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek . To właściwości spręży-
ste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.
Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali
• fale poprzeczne (np. lina)
• fale podłużne (np. sprężyna, głos)
Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach w
danej chwili) wyróżniamy
• fale płaskie (w jednym kierunku)
• fale kuliste
15.2 Fale rozchodzące się w przestrzeni
Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku x , wzdłuż którego biegnie fala po-
przeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura można opisać funkcją
y = f( x ), t = 0
y – przemieszczenie cząsteczek sznura sznura.
W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu. Po czasie t fala
przesuwa się o v t w prawo ( v - prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
postać
y = f( x − v t ), t
Oznacza to, że w chwili t w punkcie x = v t , kształt jest taki sam jak w chwili t = 0
w punkcie x = 0. Mamy więc równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.
Jeżeli śledzimy wybraną część fali (czyli określoną fazę) to musimy zbadać jak zmienia
się w czasie określona wartość y (np. maksimum - amplituda). Chcemy żeby y było cały
15-1
4224718.002.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
czas takie samo, więc argument x − - v t musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas ro-
śnie to musi też rosnąć x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma więc równanie
y = f( x+ v t ). Podsumowując, dla wybranej fazy mamy
x − v t = const.
Różniczkując względem czasu otrzymujemy
d
x
− v
=
0
d
t
czyli
d
x
=
v
d
t
To jest prędkość fazowa . Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f( x ), a dla danego
miejsca sznura x mamy równanie f( t ).
Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie. Załóżmy, że w chwili t = 0 kształt sznura
jest opisany funkcją
y
=
A
sin
2
x
λ
gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauważmy, że wychylenie jest takie samo
w punktach x , x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd. Wielkość λ nazywamy długością fali (odległość
między punktami o tej samej fazie). Jeżeli fala biegnie w prawo to po czasie t
y
=
A
sin
2
π
(
x
−
v
t
)
λ
To jest równanie fali biegnącej.
Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą λ więc:
λ = v T
stąd
y
=
A
sin
2
x
−
t
(15.1)
λ
T
Widać, że w danej chwili taka sama faza jest w punktach x , x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd.,
oraz, że w danym miejscu faza powtarza się w chwilach t , t + T , t +2 T , itd.
Często wprowadza się dwie nowe wielkości: liczbę falową k = 2π/λ i częstość ω = 2π/ T .
Wówczas y = A sin( kx -ω t ) lub y = Asin( kx +ω t ) dla fal biegnących w prawo i lewo.
Widać, że prędkość fazowa fali v jest dana wzorem
v = λ/ T = ω/ k
(15.2)
oraz, że dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
15-2
4224718.003.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
15.3 Rozchodzenie się fal, prędkość fal
Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy jak przemieszcza się w czasie
wybrana część fali czyli określona faza .
Wiemy, że prędkość fali zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Sprę-
żystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F (np. im większa siła tym
szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi). Natomiast
bezwładność jest związana z masą sznura m oraz jego długością l . Spróbujemy teraz
wyprowadzić wzór na zależność prędkości v fali od siły F i od µ = m / l tj. masy przypa-
dającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura
o długości d x pokazany na rysunku.
Końce wycinka sznura tworzą z osią x małe kąty θ 1 i θ 2 . Dla małych kątów
θ ≅ sinθ ≅ d y /d x . Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku y wy-
nosi
F wyp
=
F
sin
θ
2
−
F
sin
θ
1
=
F
θ
2
−
F
θ
1
Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
d m = µ⋅d x i jego przyspieszenia. Stąd
∂
v
∂
2
y
F
=
F
θ
−
F
θ
=
(
µ
dx
)
y
=
(
µ
dx
)
wyp
2
1
∂
t
∂
t
2
lub
∂
θ =
µ
2
y
∂
x ∂
F
t
2
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem ∂ y bo wy-
chylenie y jest funkcją dwóch zmiennych y = f ( x , t ) i liczymy pochodne zarówno
względem zmiennej x jak i zmiennej t ). Uwzględniają, że θ = ∂ y /∂ x otrzymujemy
∂
2
y
µ
2
y
=
(15.3)
∂
x
2
F
∂
t
2
15-3
4224718.004.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-
wiednie pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
2
y
=
−
A
ω
2
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
t
2
oraz
∂
2
y
=
−
Ak
2
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
x
2
W wyniku podstawienia otrzymujemy
k =
2
µ
F
2
skąd możemy obliczyć prędkość fali
v
=
ω F
k
=
µ
(15.4)
Zwróćmy uwagę, że sinusoidalna fala może być przenoszona wzdłuż struny z prędko-
ścią niezależną od amplitudy i częstotliwości.
Jeżeli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
∂
2
y
1
∂
2
y
=
(15.5)
∂
x
2
v
2
∂
t
2
to otrzymamy równanie falowe , które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzą-
cych się fal, takich jak fale dźwiękowe czy elektromagnetyczne.
15.4 Przenoszenie energii przez fale
Szybkość przenoszenia energii wyznaczymy obliczając siłę F jaka działa na koniec
struny (porusza struną w górę i w dół w kierunku y ).
15-4
4224718.005.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
W tym celu posłużymy się zależnością
P = F y v y
Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest v y = ∂ y /∂ t , a składowa siły F w
kierunku y wynosi F sinθ . Podstawiając do wzoru na moc otrzymujemy
P =
F
∂ sin
t
y
θ
∂
Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ ≅ – ∂ y /∂ x (znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). Stąd
P
=
−
F
∂
y
∂
y
∂
t
∂
x
Obliczamy teraz pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
−
ω
t
)
∂
y
=
−
A
ω
cos(
kx
−
ω
t
)
∂
t
∂
y
=
A
k
cos(
kx
−
ω
t
)
∂
x
i podstawiamy do wyrażenia na moc
P
=
FA
2
k
ω −
cos
2
(
k
x
ω
t
)
(15.6)
Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając
z tego, że k = ω / v , ω = 2π f oraz, że
v
=
F
/
µ
otrzymujemy
P
=
4
π
2
A
2
f
2
µ
v
cos
2
(
kx
−
ω
t
)
(15.7)
Widzimy, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5 Interferencja fal
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach róż-
niących się o ϕ. Równania tych fal są następujące
y 1 = A sin( kx – ω t – ϕ)
y 2 = A sin( kx – ω t )
15-5
4224718.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin