08. Zasada zachowania energii.pdf
(
300 KB
)
Pobierz
Wyk³ad 8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 8
8. Zasada zachowania energii
8.1 Wstęp
Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazaliśmy, że
W
= ∆
E
k
Często na punkt materialny działa kilka sił, których suma wektorowa jest siłą wypad-
kową:
F
=
F
1
+
F
2
+
F
3
+.......+
F
n
. Wtedy praca jest sumą algebraiczną prac wykona-
nych przez poszczególne siły:
W
=
W
1
+
W
2
+
W
3
+...........+
W
n
.
Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy postać
W
1
+
W
2
+
W
3
+...........+
W
n
=∆
E
k
Będziemy właśnie rozpatrywać układy, w których działają różne siły, pozwoli to na de-
finiowanie różnych rodzajów energii.
8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
Zaczynamy od rozważmy przykładów dwóch rodzajów sił:
sił zachowawczych
i
sił nie-
zachowawczych
.
V
Najpierw rozpatrzmy sprężynę jak w przykładzie z poprzedniego wykładu.
Przesuwamy ciało o masie
m
z prędkością
v
w kierunku sprężyny, tak jak na rysunku.
Założenia:
• ruch na płaszczyźnie odbywa się bez tarcia,
• sprężyna jest idealna tzn. spełnia ona prawo Hooke'a:
F
= -
kx
, gdzie
F
jest siłą wy-
wieraną przez sprężynę kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odległość
x
,
• masa sprężyny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą ciała, więc cała ener-
gia kinetyczna w układzie sprężyna + ciało jest zgromadzona w tym ciele.
Przy ściskaniu sprężyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczn
do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod
wpływem sprężyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało
początkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako zdolność ciała do wykonania
pracy kosztem jego ruchu (kosztem
E
k
). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność
ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest
zachowana
. Siła sprężysta wywiera-
na przez idealną sprężynę jest
zachowawcza
. Inne siły, działają także w ten sposób, np.
a maleje
aż
8-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z tą
samą prędkością i energią kinetyczną.
Jeżeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do położenia początko-
wego i ma inną energię kinetyczną niż na początku to oznacza, że po przebyciu drogi
zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to,
że przynajmniej jedną z działających sił określa się jako
niezachowawczą
.
Aby zilustrować ten przypadek, załóżmy, że powierzchnia nie jest ide
mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia się ruchowi bez względu
w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła sprężystości czy grawitacji) i ciało
wraca z mniejszą energią kinetyczną. Mówimy, że siła tarcia (i inne działające podob-
nie) są
niezachowawcze
.
Możemy przeanalizow
iła nad punktem materialnym.
W pierwszym przykładzie (be
ężyna ulega ściskaniu, jest
ujemna
(siła jest skierowana przeciwnie do przemiesz-
czenia, cos180° = -1). Gdy sprężyna rozprężą się praca jest
dodatnia
(siła i przemiesz-
czenie jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez siłę sprę-
żystą (siłę wypadkową) jest równa zero.
W drugim przykładzie (uwzględniam
ujemna
dla każdej części cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia się ruchowi).
Ogólnie:
Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punkte
rialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest nie-
zachowawcza jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który po-
rusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru
.
Możemy jeszcze trzecim sposobem rozważyć różnicę między
alnie gładka,
że
ać zachowawczy charakter sił analizując pracę jaką wykonuje
ta s
z tarcia) praca wykonana przez siłę sprężystą, gdy
spr
y tarcie). Praca wykonywana przez siłę tarcia
jest
m mate-
siłami niezachowawczy-
B
B
1
1
2
2
A
A
mi i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu
A
do
B
po jednej drodze (1) a powrót z
B
do
A
po innej (2) (patrz rysunek).
Jeżeli siła jest zachowawcza to
W
AB
,1
+
W
BA
,2
= 0
b
o droga zamknięta. Możemy to zapisać inaczej
W
AB
,1
= -
W
BA
,2
A
le gdyby odwrócić kierunek ruchu i przejść z
A
do
B
po drugiej drodze to, ponieważ
8-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
zmieniamy tylko kierunek to
W
AB
,2
= -
W
BA
,2
Skąd otrzymujemy
W
AB
,1
=
W
AB
,2
W
do
B
jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mogą mieć
dowolny kształt
byleby tylko
łączyły te same punkt
A
i
B
.
Siłę nazywamy zachowaw
lnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie
od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią
nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi
łączącej te punkty
.
Przedstawione definicje są
idać z tego, że praca wykonana przez siłę
zachowawczą
przy przemieszczaniu od
A
czą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem mate-
ria
równoważne.
8.3 Energia potencjalna
Skupimy się teraz na odosobnionym układzie ciało + sprężyna. Zamiast mówić ciało
porusza będziemy mówić:
stan układu się zmienia
.
Widzieliśmy, że gdy nie występuje tarcie to energia
e tak, że wraca do początkowej wartości w cyklu zamkniętym. W tej sytuacji (gdy
działają siły zachowawcze) staje się celowe wprowadzenie pojęcia
energii stanu
lub
energii potencjalnej
E
p
. Mówimy, że jeżeli energia kinetyczna układu zmieni się o war-
tość ∆
E
k
to tym samym zmienił się stan układu to energia potencjalna
E
p
(stanu) tego
układu musi się zmienić o wartość równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwną
co do znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru
kinetyczna maleje a potem ro-
śni
∆
E
k
+ ∆
E
p
= 0
In
do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej
E
p
układu, tak że ich
suma pozostaje przez cały czas stała
nymi słowy, każda zmiana energii kinetycznej
E
k
jest równoważona przez równą co
E
k
+
E
p
.
= const.
(8.1)
Energia potencjalna przedstawia formę nagromadzonej energii, która może być całko-
wicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną. Nie można więc wiązać energii
potencjalnej z siłą niezachowawczą.
W przykładzie ze sprężyną (bez ta
okalizowana w sprężynie energia potencjalna rośnie. Z twierdzenia o pracy i energii
rcia) energia kinetyczna ciała początkowo maleje,
a zl
W
= ∆
E
k
w
ięc dla zachowawczej siły
F
W
= ∆
E
k
= - ∆
E
p
8-3
się
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stąd
x
∆
E
p
=
−
W
=
−
∫
F
(
x
)
d
x
(8.2)
x
0
ożemy więc zapisać zależność między siłą i energią potencjalną
F
( −
x
)
=
d
E
)
p
d
(
x
(8.3)
x
T
nieważ ∆
E
p
=
E
pB
–
E
pA
. Żeby znaleźć
E
pB
trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość
E
pA
x
E
pB
=
∆
E
p
+
E
pA
=
−
∫
0
F
(
x
)
d
x
+
E
pA
x
P
E
p
było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).
Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych
• grawitacyjna energia potencjalna (w pobliżu powierzchni Ziemi)
Ruch wzdłuż osi y
F
(
y
) = -
mg
jest stała. Przyjmujemy, że dla
y
= 0,
E
p
(0) = 0.
y
y
E
p
(
y
)
=
−
∫
F
(
y
)
d
y
+
E
p
(
0
=
−
∫
(
−
mg
)
d
y
=
mgy
0
0
Sprawdzenie
F
=
−
d
E
p
(
y
)
=
−
d
(
mgy
)
=
−
mg
d
y
d
y
•
Ruch wzdłuż osi x
F
(
x
) = -
kx
rzyjmujemy dla
x
= 0,
E
p
(0) = 0.
8-4
M
rzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć ∆
E
p
a nie
E
p
samą. Po-
unkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), żeby
F
Wtedy
energia potencjalna sprężyny
P
Wtedy
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
x
kx
2
E
=
∫
−
(
−
kx
)
d
x
=
p
2
0
Sprawdzenie:
kx
2
d
d
E
(
x
)
2
F
=
−
p
=
−
=
−
kx
d
x
d
x
8.3.1 Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego
W przykładzie powyżej obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawita-
cyjną w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała.
Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną
masy
m
znajdującej się w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o
r
od
środka Ziemi.
Dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu ze stanu
A
do stanu
B
możemy zapisać jako
∆
E
p
=
E
pB
−
E
pA
=
−
W
AB
skąd
E
pB
=
−
W
AB
+
E
pB
Żeby policzyć energię potencjalną w punkcie
B
musimy znać energię potencjalną w
punkcie odniesienia
A
i policzyć pracę
W
AB
.
Dla masy
m
znajdującej się w pewnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o
r
od środka Ziemi stan odniesienia wybiera się tak, że Ziemia i masa
m
znajdują się od
siebie w nieskończonej odległości. Temu położeniu (
r
Æ
∞) przypisujemy zerową ener-
gię potencjalną,
E
pA
= 0. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem
zerowej siły. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla wybranego punktu odnie-
sienia
E
p
(
r
)
=
−
W
∞
r
+
0
Musimy teraz obliczyć pracę
−
W
∞
r
. Ponieważ znamy siłę
F
=
−
G
M
Z
m
r
2
to możemy obliczyć pracę i w konsekwencji energię potencjalną (znak minus wskazuje
kierunek działania siły do środka Ziemi; siła przyciągająca)
8-5
Plik z chomika:
lukasz236
Inne pliki z tego folderu:
34. Fale i czastki.pdf
(321 KB)
06. Ciazenie powszechne (grawitacja).pdf
(307 KB)
05. Dynamika punktu materialnego II.pdf
(278 KB)
04. Dynamika punktu materialnego.pdf
(222 KB)
03. Ruch na plaszczyznie.pdf
(276 KB)
Inne foldery tego chomika:
۞SPRAWDZIANY I ODPOWIEDZI DO KLASY 2 i 3 GIMNAZJUM۞
Chemia
elektronika(1)
Geofrafia
Hackowanie Google
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin