05. Dynamika punktu materialnego II.pdf

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 5

5. Dynamika punktu materialnego II

5.1 Siły kontaktowe i tarcie

5.1.1 Siły kontaktowe

Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi siły kontaktowe .

Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości

występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z maleją-

cą odległością. To jest siła elektromagnetyczna i może być bardzo duża w porównanie

z siłami grawitacyjnymi.

Jeżeli siła ciężkości pcha blok w dół siłą F g to powstaje druga siła - siła kontaktowa

F 1 . Siła wypadkowa F wyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady

dynamiki Newtona jest bardzo istotne, żeby obliczyć siłę wypadkową .

Przykład 1

Rozważmy dwa klocki m 1 i m 2 na gładkiej powierzchni. Do klocka m 1 przyłożo-

no siłę F . Czy siła F jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak było to

zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona klocek 2 działałby na klocek 1 siłą równą i

przeciwnie skierowaną. Wtedy F wyp równałaby się zero!!!!, czyli, że nie można by było

poruszyć ciała 1 bez względu na to jak duża jest siła F .

m 1

m 2

-F k

F k

Zasada Newtona nie mówi, że siła F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; po-

winno się przyjąć siłę kontaktową F k o dowolnej wartości . Ogólnie: powinno się stoso-

wać drugą zasadę dynamiki oddzielnie do każdego ciała .

Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - F k = m 1 a

Dla klocka 2 F k = m 2 a

Stąd przyspieszenie a = F /( m 1 + m 2 )

Zauważmy, że ten wynik można otrzymać gdy traktujemy te dwa klocki jak jedną masę

m = m 1 + m 2 .

5.1.2 Tarcie

Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni.

Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli

ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasa-

dy dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem to musi działać siła.

Taką siłę nazywamy siłą tarcia .

5-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Rozważmy np. klocek, do którego przykładamy "małą" siłę F tak, że klocek nie po-

rusza się. Oznacza to, że sile F przeciwstawia się siła tarcia T . Mamy więc: T = - F .

Zwiększamy stopniowo siłę F aż klocek zaczyna się poruszać. Im gładsza powierzchnia

tym szybciej to nastąpi. Oznacza to, że siła tarcia zmienia się od wartości zero do pew-

nej wartości krytycznej w miarę wzrostu siły F . Oznaczmy tę krytyczną siłę T s

(s-statyczna). To jest maksymalna siła tarcia statycznego .

T s (dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa empiryczne:

• Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),

• Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia na-

ciska na drugą .

Stosunek siły T s do nacisku F N nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego µ s

(5.1)

Uwaga: Mówimy tylko o wartościach tych sił bo są one do siebie prostopadłe. Jeżeli F

jest większe od T s to klocek poruszy się, ale będzie istniała siła tarcia T k (k - kinetycz-

na) przeciwstawiająca się ruchowi.

Siła T k spełnia trzy prawa empiryczne:

• Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),

• Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia na-

ciska na drugą ,

• Nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni .

Istnieje odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego µ k

(5.2)

Dla większości materiałów µ k jest nieco mniejszy od µ s . Np. µ k ≈ 1 dla opon na jezdni

betonowej.

Tarcie jest bardzo złożonym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości od-

działywań atomów na powierzchni. Nie będziemy się tym zajmować. Ograniczmy się

do zauważenia, że tarcie odgrywa bardzo istotną rolę w życiu codziennym. W samo-

chodzie np. na pokonanie siły tarcia zużywa się około 20% mocy silnika. Tarcie powo-

duje zużywanie poruszających się części maszyn. Staramy się je zwalczać. Z drugiej

strony bez tarcia nie moglibyśmy chodzić, jeździć samochodami, trzymać ołówka, kre-

dy, czy też nimi pisać.

5.2 Siły bezwładności

We wstępie wyszczególnione zostały cztery rodzaje sił występujących w przyrodzie.

Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi , ponieważ możemy je zawsze zwią-

zać z jakimś konkretnym ciałem, możemy podać ich pochodzenie. Czy to samo może-

my powiedzieć np. o takich siłach jakich działania "doznajemy" np. przy przyspiesza-

niu, hamowaniu czy zakręcaniu samochodu?

5-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Przykład 2

Dwaj obserwatorzy opisują ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poniżej.

Jeden z obserwatorów znajduje się w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek początkowo

porusza się ze stałą prędkością po linii prostej (rys. 1), następnie hamuje ze stałym

opóźnieniem a (rys. 2). Między kulką a wózkiem nie ma tarcia.

(1)

v k =0, F=0

(2)

F 1 =-ma

- a

v k =const, F=0

Gdy wózek jedzie ze stałą prędkością to obydwaj obserwatorzy stwierdzają zgodnie na

podstawie pierwszej zasady dynamiki, że na kulkę nie działa żadna siła. Zwróćmy uwa-

gę, że obserwatorzy znajdują się w inercjalnych układach odniesienia. Sytuacja zmienia

się gdy wózek zaczyna hamować (rys. 2). Obserwator związany z Ziemią dalej twierdzi,

że kulka porusza się ze stałą prędkością, a tylko podłoga wózka przesuwa się pod nim.

Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka zaczyna się poruszać się z przyspie-

szeniem – a w stronę przedniej ściany wózka. Dochodzi do wniosku, że na kulkę o ma-

sie m k zaczęła działać siła

F 1 = - m k a

ale nie może wskazać żadnego ciała, będącego źródłem tej siły. Mówiliśmy już, że dru-

ga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia. Zauważmy,

że obserwator w wózku znajduje się teraz w układzie nieinercjalnym. Widać, że jest w

błędzie; nie istnieje rzeczywista siła F 1 . Jest to tak zwana pozorna siła bezwładności .

Powstaje więc pytanie jak postępować gdy musimy rozwiązać problem w układzie

nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej

ścianki to wówczas według obserwatora na Ziemi (układ inercjalny) będzie poruszać się

z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo działa na nią siła F s sprężystości przedniej

ściany wózka równa

F s = m k a

Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka przestała się poruszać; spoczywa

względem niego. Jego zdaniem siła sprężystości ściany F s równoważy siłę F 1 , tak że

siła wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza się

F s + F 1 = 0

co po podstawieniu za F 1 = - m k a daje

5-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

F s = m k a

Okazuje się, że wynik otrzymany przez obserwatora w układzie nieinercjalnym jest taki

sam jak dla obserwatora związanego z Ziemią ale pod warunkiem uwzględnienia sił po-

zornych . Siły te "znikają" jeśli rozpatrujemy ruch z punktu widzenia układu inercjalne-

go. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu

zdarzeń w układach poruszających się z przyspieszeniem. W takim układzie uwzględ-

niamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przy-

spieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a .

Przykład 3

Winda porusza się ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania ciała puszczonego

swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% większy niż w

windzie stojącej. Obliczyć przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g .

Rozwiązujemy zadanie w układzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jed-

nym przypadku znajduje się na zewnątrz windy, a w drugim jest pasażerem tej windy.

W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), że ciało przebywa dłuższą drogę

gdy winda jest w ruchu.

Dla windy stojącej

H =

Dla windy w ruchu

H =

oraz

h =

przy czym

t =

Rozwiązanie tego układu równań daje wynik

5-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Drugi obserwator za każdym razem widzi, że ciało przebywa tę samą drogę H od sufitu

do podłogi ale w różnych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest różne przyspie-

szenie. Obserwator wprowadza do obliczeń dodatkową siłę nadającą przyspieszenie – a .

Odpowiednie równania wyglądają teraz:

Dla windy stojącej

H =

Dla windy w ruchu

(

−

)

Uwzględniając, że

t =

5 t

= .

otrzymujemy

Tak więc uwzględnienie sił bezwładności jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady

dynamiki w układach nieinercjalnych .

W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do

masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a .

Inny przykład stanowią układy nieinercjalne poruszające się ruchem obrotowym.

Np. obserwator w satelicie krążącym wokół Ziemi obserwując ciało spoczywające w

tym satelicie stwierdza, że siła wypadkowa działająca na ten obiekt jest równa zeru.

Musi więc istnieć, według niego, siła która równoważy siłę grawitacji (dośrodkową).

Siłę tę nazywamy siłą odśrodkową i jest to siła pozorna .

Na zakończenie rozpatrzmy ruch postępowy ciała w obracającym się układzie od-

niesienia. Przykładem może być człowiek poruszający się po linii prostej (radialnie) od

środka do brzegu karuzeli obracającej się z prędkością kątową ω. Na rysunku poniżej

pokazana jest zmiana prędkości człowieka.

v s

v r

v s

v r

∆ v r

r+ ∆ r

v r

∆θ

v r

∆θ

Linia (promień) wzdłuż której porusza się człowiek zmienia swój kierunek (karuzela

obraca się) o kąt ∆θ w czasie ∆ t , człowiek zmienia swoje położenie z punktu A do A'.

Obliczymy teraz zmianę jego prędkości radialnej v r i stycznej v s . Prędkość radialna

zmienia swój kierunek.

5-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: